Tai lieu on thi TN DH CD

Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành.. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung.[r]

Ch ơng I : ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

& vẽ đồ thị của hàm số

-@@@@ -Chủ đề i : tính đơn điệu của hàm số Soạn : 5/9/2009 Dạng 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số Phơng pháp:  Bớc 1: Tìm TXĐ, tính đạo hàm  Bớc 2: Tìm các điểm mà ở đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định  Bớc 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên  Bớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y=x3− 3 x2+5 ; b) y=− x4+2 x2−3 c) y= 2 x −3 x +1 ; d) y= x 2 −2 x +5 x − 1 e) y=√x2− 4 Gợi ý: a) y=x3− 3 x2+5 BBT: x − ∞ 0 2 +∞

y ' + 0 - 0 +

5 +∞

y − ∞ 1

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; 0), (2; +∞ ) và nghịch biến trên khoảng (0; 2) b) y=− x4+2 x2−3 D = IR BBT: x − ∞ -1 0 1 +∞

y ' + 0 0 + 0

-2 -2

y − ∞ -3 − ∞

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; -1), ,(0; 1) và nghịch biến trên khoảng (-1; 0), (2; +∞ ) c) y= 2 x −3 x +1 TXĐ : D = IR\ {−1} y ' = 5 (x +1)2 > 0 ∀ x ∈ D BBT: x − ∞ -1 +∞

y ' + +

+∞

y − ∞

Kết luận : Hàm số đồng biến trên các khoảng ( − ∞ ; -1), (-1; +∞ )

1) PT (*) cã hai nghiÖm tr¸i dÊu x1< 0 < x2  P0.

2) PT (*) cã hai ngiÖm cïng dÊu

g g g

S P

cã hai nghiÖm x1, x2 tho¶ m·n  x1x2

tøc lµ 0x1  x2 

 g t 0

cã hai nghiÖm cïng d¬ng

000

g g g

S P

m m

m m

0

0( )0(*)

f¿ Đây là một tam thức bậc hai Do đó:

a) f(x) đồng biến trên TXĐ R của nó khi và chỉ khi :

x¿' ≥ 0 ⇔ ∀ x ∈ R : x2− 2 x +m≥ 0 ⇔ Δ '=1 −m ≤ 0⇔ m≥ 1

∀ x ∈ R : f¿b) f(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞) khi và chỉ khi :

2=1<2

¿{ {

¿Xét chung 2 trờng hợp, đk m phải thoả mãn là:

 Chọ hàm số f(x) thích hợp (thông thờng đặt bằng hiệu hai vế)

 Xét tính đơn điệu của f(x) để suy ra BĐT phải chứng minh

Đặt f(x) = x – sinx với x > 0 (vì cos x ≤ 1 )

Suy ra hàm số đồng biến khi x > 0

Suy ra g(x) > g(0) = 0

Suy ra : sin x − x + x

3

6 >0 ,∀ x>0 ⇒ (đpcm) b) sinx + tanx > 2x , (0<x <π

Do đó : sinx + tanx – 2x > 0 với 0<x < π

2 Ta có đpcm

Bài tập1:CMR với x > 0 ta có: e ẽ>1+x +x2

2(ĐHKT HN -98)

Gợi ý: BĐT phải chứng minh tơng đơng với

3 thì hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trong (0; 1/3)Với m<4

3; Δ

'

=4 −3 m Để hàm số đồng biến trong (0; 1/3) điều kiện là:

Vậy với m≥ 1 thì hàm số luôn đồng biến trong (0 ; 1/3)

Bài 3: Cho hàm số : y = x3 – 3(a - 1)x2 + 3a(a - 2)x +1 trong đó a là tham số Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho : 1≤|x|≤2

1

0341

.1

011

.1

012

a a f

a f

 TH4: 2≤ x1≤ x2

⇔

Δ '=1≥ 0

1 f (2)=a2−6 a+8 ≥0 S

= 1

⇔ Δ>0

Trong đó m – tham số Xác định tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số luôn

nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

¿{

vô nghiệm

KL : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña m tho¶ m·n.

⇔ m>−1(1)

x2+2 mx − 8 m≥ 0∀ x ∈¿(2)

¿{XÐt (2): Cã 2 TH

v      , ta thờng biến đổi:

loga u loga v v u loga u u loga v v

, vì hàm số f t loga tt

đồng biến khi t > 0, suy ra v = u

 Với BPT dạng loga ulogb v

, ta thờng giải nh sau: Đặt: tloga u

( hoặc tlogb v);đa về BPT mũ; sử dụng chiều biến thiên của hàm số để suy ra nghiệm

 Với PT dạng loga ulogb v

, ta thờng giải nh sau:

 Khảo sát và lập BBT của hàm số y = f (x) trên TXĐ của nó.

 Căn cứ vào BBT, xác định dáng điệu đồ thị hàm số y = f(x) trên TXĐ để suy ra các giá trị của m cầntìm

Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt

Do đó, dấu của đạo hàm f x

chỉ phụ thuộc vào dấu của nhị thức bậc nhất 7 – 2x

2 62 64 4122 3

Từ BBT suy ra các giá trị của m cần tìm là 2 62 64 m3 26

Ví dụ 3: Tìm m để PT :tan2x + cot2x + m(tanx + cotx) + 3 = 0 có nghiệm

Đặt : tanx + cotx = t, khi đó t 2.PT đã cho trở thành t2 + mt +1 = 0

Nhận thấy t = 0 không phải là nghiệm của PT trên Do đó :

 

52

Từ BBT ta thấy PT đã cho có nghiệm khi

52

m 

hoặc

52

(cosx + 2sin2

 Quy tắc 2:

 Tìm f '(x )

 Tìm các nghiệm xi(i = 1, 2, 3….) của phơng trình f '(x )=0

 Với mỗi xi , tính f ' '

(x i) Nếu f ' '

(x i) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi Nếu f ' '(x i) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y = - x3 + 3x2 – 1 ; b) y = x4

2 − x

2+3 c) y= x − 3

2 − x ; d) y=

x2− x −1

x −2

Gợi ý:

Dùng quy tắc I

a) y = - x3 + 3x2 – 1

x − ∞ 0 2 +∞

y ' 0 + 0

+∞ 3

y 1 − ∞

-1

Vậy hàm số đạt yCT=−1 , tại x = 0 và yCĐ = 3 tại x = 2 b) y = x4 2 − x 2 +3 + TXĐ : D = R y '=2 x3−2 x=2 x(x2− 1) y '=0⇔ x =0 ¿ x=±1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + BBT: x − ∞ -1 0 1 +∞

y ' - 0 + 0 - 0 +

+∞ 3 +∞

y 5

2

5 2

Vậy : Hàm số đạt yCT = 5

2 , tại x = ±1 và yCĐ =3 tại x = 0.

c) y= x − 3

2 − x

+ TXĐ : D = R \ {2}

+ y '

= −1

(2− x )2<0,∀ x∈ D

+ BBT :

x − ∞ 2 +∞

y ' - -

+∞ +∞

y − ∞ − ∞

Vậy hàm số không só cực trị d) y= x 2 − x −1 x −2 + TXĐ : D = R \ {2} + y '=x2− 4 x+3 ( x − 2)2 ; y '=0⇔ x=1 ¿ x=3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ + BBT : x − ∞ 1 2 3 +∞

y ' + 0 0

1 +∞

y − ∞ 5

Vậy : Hàm số đạt yCT =5 , tại x =3 và yCĐ =1 tại x = 1 Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) y = x4 – 2x2 + 1 ; b) y = sin2x – x c) y = sin2x + cos2x ; d) y = sin2x Gợi ý: Dùng quy tắc II

Dạng 2: Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0 hay đạt cực trị bằng y 0

1 Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x 0

Phơng pháp:

 Giải phơng trình f '

(x0)=0 để định m

 Thử lại điều kiện đủ bằng cách dùng lại dấu hiệu I hoặc II

2 Định m để hàm số y = f(x) đạt cực trị bằng y 0

Phơng pháp:

¿

f '(x0)=0

f(x0)=y0

¿{

¿

(x0 cha biết để định m)

 Thử lại đk đủ nh phần 1

Ví dụ 1: Định m để hàm số :

y = f(x) = 1

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5 đạt cực đại tại x = 0

Gợi ý:

y = f(x) = 1

3 x3 – (m - 1)x2 + (m2 – 3m +2)x +5

D = R

y '

=f '(x ) =x2 – 2(m - 1)x + m2 – 3m +2

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 nên :

f '(0)=0⇔m2− 3 m+2=0 ⇔

m=1

¿

m=2

¿

¿

¿

¿

¿ Thử lại :

+ Dùng dấu hiệu I:

 m = 1: y '

=x2; y '=0⇔ x=0

BBT : x 0 +∞

y ' + 0 +

+∞

y − ∞

Nh thế hàm số không đạt cực đại tại x = 0 Nên loại m = 1  m = 2: y ' =x2− 2 x ; y '=0⇔ x=0 ¿ x=2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ BBT : x − ∞ 0 2 +∞

y ' + 0 - 0 +

+∞

CĐ

y

− ∞ CT

Nh thế hàm số đạt cực đại tại x = 0 Nên nhận m = 2

Ví dụ 2: Cho hàm số : y= x

2 +mx+1

x +m

a) Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2

b) Định m để hàm số đạt cực tiểu yCT = 3

Gợi ý:

y= x2+mx+1

x +m

x=− m− 1

¿

x=−m+1

¿

¿

¿

¿

y '=x2+2 mx+m2− 1

(x+m)2 y

'

=0⇔ x2

+2 mx+m2− 1=0 ⇔¿ + BBT:

x − ∞ - m -1 - m - m + 1 +∞

y ' + 0 0

CĐ +∞

y

CT

− ∞

a) Theo bảng biến thiên ỏ trên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = - m +1 = 2 ⇔ m = -3 b) yCT = y(- m +1) = 2 (-m +1) + m = - m + 2

⇔ yCT = - m +2 = 3 Suy ra : m = -1

Vậy m = -1

Dạng 3: Điều kiện để hàm số y = f(x) có cực đại và cực tiểu.

Phơng pháp:

 Tìm TXĐ D

 Tính y '=f ( x )

 Điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu là y ' đổi dấu 2 lần ⇔ phơng trình :

y '=0 có hai nghiệm phân biệt thuộc D ⇔ Δ>0

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng hàm số : y = x2+2 x+m

x2+2 luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Gợi ý:

+ D = R

+

y '=− 2 x2+2 (2− m) x +4

2[− x2 +(2 − x ) x +2]

y '=0⇔− x2

+(2 − x ) x+2=0()

Δ=(2− m)2+8 >0∀ m

Chứng tỏ phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Do đó hàm số đã cho có mọtt cực đại , cực tiểu

Ví dụ 2: Cho hàm số : y= x

2

− m(m+1) x +m3+1

x − m

a) CMR : Hàm số luôn có CĐ, CT

b) Định m để cực yCĐ và yCT trái dấu

Gợi ý:

a) y= x

2− m(m+1)x +m3+1

x − m

 Định m để phơng trình y '=0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức cho trớc:

o Nếu thoả một đẳng thức thì thờng dùng hệ thức Viét

o Nếu thoả mãn BĐT thì thờng dùng cách so sánh 1 số α với các nghiệm của phơng trình bậc hai

+ y '=mx2− 2( m −1) x −3(m −2)

y '=0⇔ mx2− 2( m −1) x −3(m −2)=0(1)

Trớc tiên để hàm số có 2 cực trị là pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Bài 4: Cho hàm số : y = 2x3 + ax2 – 12x – 13 Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và hai điểm này cách

đều trục tung

Do Δ '=a2+72>0∀ a nên y luôn có 2 điểm cực trị với mọi a

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của pt y’ = 0

Hai điểm cực trị cách đều trục tung

+m2− 9=0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m≠ 0

Bài 7: Xác định m để hàm số : y= x

2+mx+1

x +m đạt cực đại tại x = 2.

ĐS : m = -3

Bài 8: Cho hàm số : y = f(x) = x3 + ax2 + bx +c có đồ thị (C) Định a, b, c biết rằng (C) có một điểm cực trị (-

2 ; 0) và đi qua điểm A(1 ; 0)

+2 x −m=0 (1) , x ≠ −1 Đặt g (x) = x2+2 x − m

ĐK bài toán ⇔ PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 đều khác -1 sao cho x1 < x2 < 2

⇔− 1<m<8

¿{ { {

Bài 10: Định m để hàm số y= − x

2+3 x+m

2 ; Min f(x) = - π

2 [− π

y=g (t )=2 t −4

3t3

3 ; Min f(x) = 0 [0; π ] [0; π ]

 Chú ý : Trên đoạn [a ; b]

 Hàm số tăng thì Min y = f(a) ; Max y = f(b)

 Hàm số giảm thì Min y = f(b) ; Max y = f(a)

 Hàm số có cực trị duy nhất tại điểm x0 mà cực trị đó là cực đại thì:

¿

Min y=min{f ( a) , f (b)}

Max y=f(x0)

¿{

¿

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phơng pháp khảo sát trực tiếp

Phơng pháp:

Lập bảng biến thiên của hàm số trên D, rồi dựa vào đó kết luận.

Ví dụ 1: Tìm GFTLN, GTNN của các hàm số sau:

3 , tại x = 1

 Chú ý: Với kết quả trên ta đợc 2

3≤

x2+1

x2+x+1 ≤ 2 , ∀ x ∈ R

x2+x +1

Gợi ý: Gọi T là miền giá trị của hàm số trên, thì y ∈ T ⇔ Phơng trình x2+1

x2+x+1 = y có nghiệm x ∈ R(1)

3≤ y ≤ 2 Miền giá trị của hàm số là T=[2/3; 2]

Vậy : Maxy = 2, Min y =2/3 (có thể tính đợc x là nghiệm kép của PT (2) ứng với y = 2;

2 4 x lớn nhất khi (3 −2 x)2 4 x lớn nhất

Ta có: tổng 3 số 3 – 2x, 3 – 2x, 4x bằng 6 không đổi nên tích lớn nhất khi :

3 – 2x = 4x ⇔ x=1

2 Khi đó: y = 2

2.1

2=2Vậy : Max y =2

Ví dụ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y=5 sin x − 12cos sx −5

Gợi ý:

áp dụng BĐT Bunhiacôxki cho 4 số 5, -12, sinx, cosx ta có:

|5 sin x −12 cos x|≤√169 √sin2x +cos2x=13

Nên −13 ≤ 5sin x −12 cos x ≤ 13 ⇒−18 ≤5 sin x −12 cos x−5 ≤ 8

Vậy : Max y = 8; Min y = -18

b) XÐt hµm sè : f(x) = x2−2 x +3 ; dÔ thÊy hµm sè liªn tôc trªn ®o¹n [0; 2]

Baì 2: Cho hàm số y= 13 x3−3

2x

2+2 x Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

x − 1 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-1;0]

Bài 6: Cho hàm số y= sin x −1 Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [ π

x ,( x >0)

Bµi 9: T×m GTLN, GTNN cña hµm sè sau: f(x) = x3 – 3x +3 trªn ®o¹n [-3; 3/2]

Bµi 10: T×m GTLN, GTNN cña c¸c hµm sè sau:

(t )=4 t +2 ; f ' (t )=0 ⇔t=1

2 + BBT:

2sin 2 x +4

Đặt : t = sin2x, −1 ≤t ≤1 Khi đó : y=f (t)=−t2−1

2t +5+ f '(t )=−2 t −1

2; f

'

(t)=0 ⇔t=−1

4+ BBT :

Vậy : Max y = 1; Min y = 0

Bài 12: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y=√2 cos 2 x+4 sin x trên đoạn [0; π

x ;b= lim x →± ∞[f ( x )− ax] (nếu a = 0 thì ta có tiệm cận ngang)

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:

, nên đờng thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau: f ( x )= x3

Đờng thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Ví dụ 3: Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Vậy tiệm cận xiên là : y=− x+4

3

Dạng 2: Biện luận số tiệm cận của đồ thị hàm số tuỳ theo m

Ví dụ 1: Biện luận theo m các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số: y= x

2

− 4 x +m x+2

 Với : m + 12 = 0 hay m = -12 Hàm số có dạng suy biến : y = x – 6( x ≠ −2 ) đồ thị là một ờng thẳng nên không có tiệm cận

đồ thị có một tiệm cận đứng : x = - m và một tiệm cận xiên : y = 2x – 2m -3

Dạng3: Tìm m để đờng tiệm cận thoả mãn một điều kiện cho trớc

x+m có đờng tiệm cận xiên nếu m≠ 0

Phơng trình đờng tiệm cận xiên là d: y = - x + m +1( m≠ 0 )

d đi qua A(2; 0) ⇔0=−2+m+1 ⇔m=1

4

√8Suy ra : h1 + h2 nhỏ nhất khi h1 = h2 = 1

Bài 2: Hãy xác định tiệm cận xiên của các đồ thị hàm số sau:

x − 1 (Cm) Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm):

a) Đi qua điểm M(1; -3)

b) Tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt)

Nên : y = x + m + 1 (Δ m) là tiệm cận xiên của (Cm)

a) (Δ m) đi qua M(1 ; -3) ⇔− 3=1+m+1 ⇔m=− 5 thoả đk (*)

Theo giả thiết :

S ΔOAB=8⇔1

2(m+1)

2=8⇔ (m+1 )2=16⇔ m+1=4

x −2 (C) Chứng minh tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai

tiệm cận của (C) không phụ thuộc vào vị trí của điểm đó

 Các bớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

 Tìm TXĐ của hàm số ; xét tính chẵn , lẻ và tuần hoàn của hàm số(nếu có)

 Xét sự biến thiên của hàm số

+ Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số Tìm các đờng tiệm cận của

+ Nhận xét đồ thị: chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có)

Dạng 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số theo các bớc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

TXĐ: D = R

y’ = 3x2 + 6x ; y’ = 0

⇔ x=0

Đồ thị hàm số nhận điểm I (-1 ; 1) làm tõm đối xứng.

¿{

¿

4 Để tìm giá trị của điểm cực trị ( Đờng thẳng đi hai điểm cực trị) trong trờng hợp hoành độ cực trị là những

số lẻ ,ta thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta đợc:

y=y’.g(x) +h(x)

ta có:

+Gọi (x o ; y0) là toạ độ điểm cực trịcủa đồ thi hàm số thì y’( x0¿ =0

+Do đó: y ( x0¿ =y’( x0¿ g( x0¿ + h( x0¿ = h( x0¿

Khi đó : Đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của đồ thịhàm số có dạng: y= h(x)

Chú ý: Nếu tìm đợc hai điểm cực trị lần lợt là A (x1; y1) và B (x2; y2)

Thì đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng: x − x1

x2− x1=

y − y1

y 2 − y1

5 Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Thật vậy, thực hiện phép tinh tiến đồ thị theo véc tơ ⃗OI

Với I là điểm uốn có toạ độ là:

Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận điểm I (x o ; y0) làm tâm đối xứng

6.Tiếp tuyến tại điểm uốn:

Tếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc K nhỏ nhất nếu a>0 và lớn nhất nếu a<0 trong tấtcả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Thật vậy, ta có y’= 3 ax02+2 bx0+c=a(x0+ b

mà y’’=6ax +b=0 <=> x= − b

3 a nên x ¿−

b

3 a chính là hoành độ điểm uốn => ĐPCM

7 Đồ thị hàm số cắt trục hoành.( Giao điểm của đồ thị với trục hoành)

*Bài toán1: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại3 điểm phân biệt(hoặc ph ơng trình ax3 + bx2

+ cx + d = o có 3 nghiệm pb) , thông thờng ta sử dụng các cách sau đây:

Cách 1(ph ơng pháp đại số) Hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành là nghiệm của phơng trình: ax3 +

Chú ý: Khi đó điểm A (α ;0) là mộtđiểm cố định của đồ thị hàm số

Cách2.Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm pb

p >0 g(α )≠ 0