Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số 1.. Viết phương trình đường thẳng d cắt P tại hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy đi
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC NINH
NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán - Khối: 11 Thời gian: 150 phút
Câu I.( 2 điểm )
Cho hàm số y=- x2- 2x+3 1( ) và hai điểm (A - 2;2 ,) (B 2; 2)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số (1).
2. Viết phương trình đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là
hình bình hành.
Câu II.( 2 điểm )
1. Giải hệ phương trình:
( )
2
2
ïí ïï
ïî
x y
2. Giải phương trình: sinx+cosx- sin 2x= -1 2sin2 x
Câu III ( 2 điểm )
1. Từ các số 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số đôi một khác nhau mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.
2. Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: 3 2 n 2 9
A + C − ≤ n, trong đó k
n
A là
chỉnh hợp chập k của n phần tử, k
n
C là tổ hợp chập k của n phần tử.
Câu IV ( 3 điểm )
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình : ( )2 ( )2
x- + -x = Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông, biết
đường thẳng chứa cạnh AB đi qua điểm (M - 3; 2- ) và x A>0.
2. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, lấy điểm M thuộc AB và điểm P thuộc CD sao cho
3
AM DP Mặt phẳng ( )a qua MP song song với AC.
a. Xác định thiết diện của mặt phẳng ( )a với tứ diện.
b. Tính diện tích của thiết diện đó theo a.
Câu V ( 1 điểm )
Cho các số dương x y z, , thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
13 3
S
==========Hết==========
Trang 2ĐÁP ÁN TOÁN 11
điểm
I.1
I.2
Vì ABCD là hình bình hành nên CD//AB hay d//AB mà AB//Ox nên pt d có dạng: = y m 0,25
PT hoành độ giao điểm của d và (P): x2+2x- + =3 m 0(2)
Từ đồ thị suy ra, d cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m<4
0,25
Gọi C x m D x m với ( 1; ) (, 2; ) x x là nghiệm PT (2) theo hệ thức Viét: 1; 2 x1+ =-x2 2,x x1 2 = -m 3
Với tính chất trên thì ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi CD=AB=4
0,25
II.1
Hệ tương đương với:
( ) ( )
( )
2
2
ïí ïï
ïî
x y
³ - ³
-x y (*), ( )2 Û x2+3x y( + +1) 2y2+2y- 4=0
D =x y+ - y + y- =y + y+ = y+
0,25
1 (t/m (*))
2 4 ( ko t/m (*))
é =
-ê
Þ
ê =-
-ë
Với y= -1 x thay vào (1) ta được: 2 1 3 2 (2 1)2 3( )
2
x
Điều kiện 1 3
− ≤ ≤
0,25
4
x
Trang 3( ) ( ) ( )2
1
2
2
x
x
= −
=
Vậy nghiệm (x y của hệ là: ; ) 1 3; , 3; 1
æ ö æ÷ ö÷
ç- ÷ç - ÷
0,25
II.2
− = − +
⇔
− = − + +
0,25
2 2 x=
x k
k
π
=
⇔
+
Vậy PT có nghiệm 2 , x= 2 ,
k
III.1
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6
4 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn và 2 10
5 =
C cách chọn 2 chữ số lẻ
Do đó, có C 52 2
5
C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán
0,5
Mỗi bộ 4 số như thế có 4! số được thành lập Vậy có tất cả 2
4
III.2
ĐK:n³ 3,nÎ ¢
BPT ⇔ n n n(≥3−1)(n− +2) n n( −1) 9≤ n
0,25
⇔ 2 3
n
≥
IV.1 Gọi vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB là nr=(a b a; ,) 2+b2¹ 0
PT đường thẳng AB đi qua M( 3; 2)− − có dạng ax by+ +3a+2b=0
0,25
