Bài giảng ĐỒNG DƯ THỨC

Định nghĩaCho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng cho cùng số dư khi chia cho n hay là a-b chia hết cho n.. Nếu ta có: Thì ta có: • • • Luật

Định nghĩa

Cho số nguyên dương n, hai số nguyên a,b được gọi là đồng dư theo mô-đun n nếu chúng cho cùng số dư khi chia cho n (hay là a-b chia hết cho n)

Kí hiệu là:

Ví dụ:

Vì 11 và 5 khi chia cho 3 đều cho số dư là 2

Tính chất

Ngoài các tính chất của một quan hệ tương đương (phản xạ, đối xứng, bắc cầu), phép đồng

dư còn có thêm các tính chất sau: Có thể cộng, trừ, nhân và nâng lên lũy thừa các đồng dư thức có cùng một mô-đun, cụ thể Nếu ta có:

Thì ta có:

•

•

•

Luật giản ước

Nghịch đảo mô-đun

Nếu số nguyên dương n và số nguyên a nguyên tố cùng nhau thì tồn tại duy nhất một số

sao cho: , số x này được gọi là nghịch đảo của a theo mô-đun n.

Hệ thặng dư đầy đủ

Tập hợp được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n nếu với mọi số

Tính chất

• Nếu là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n thì

là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n với mọi

số nguyên a.

• Nếu là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n thì

là một hệ thặng dư đầy đủ mô-đun n với mọi số nguyên a nguyên tố cùng nhau với n.

Định lý nhỏ Fermat

Định lý nhỏ của Fermat (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn)

khẳng định rằng nếu p là một số nguyên tố, thì với số nguyên a bất kỳ , ap – a sẽ chia hết cho p Nghĩa là :

Một cách phát biểu khác của định lý như sau: nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên

nguyên tố cùng nhau với p, thì ap-1 - 1 sẽ chia hết cho p Bằng ký hiệu đồng dư ta có:

Cũng có một cách phát biểu khác là: Nếu p là một số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì a lũy thừa bậc p-1 có số dư bằng 1 khi chia cho p.

Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong kiểm tra

Fermat

Lịch sử

Pierre de Fermat lần đầu thông báo định lý trong một bức thư đề ngày 18 tháng mười, năm

1640 cho bạn ông là Frénicle de Bessy (theo [1]): p chia hết khi p là nguyên tố

và a là số nguyên tố cùng nhau với p.

Như thường lệ, Fermat không chứng minh định lý này chỉ thông báo:

Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop long

(And this proposition is generally true for all progressions and for all prime numbers; the proof of which I would send to you, if I were not afraid to be too long.)

Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào năm 1736 trong bài báo tựa đề

"Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio", nhưng

Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683

Tên gọi "định lý nhỏ của Fermat" được dùng lần đầu vào năm 1913 trong Zahlentheorie

bởi Kurt Hensel:

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist."

(There is a fundamental theorem holding in every finite group, usually called Fermat's little Theorem because Fermat was the first to have proved a very special part of it.)

Lịch sử xa hơn

Một cách độc lập các nhà toán họcTrung quốc đưa ra một giả thuyết (thường gọi là giả thiết Trung quốc) rằng p là một số nguyên tố nếu và chỉ nếu Đúng

là nếu p là số nguyên tố , thì Đây là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ của Fermat Tuy thế, điều ngược lại (nếu thì p là số nguyên tố)

là sai Chẳng hạn, , nhưng 341=11×31 là hợp số (nó là số giả nguyên tố (pseudoprime)

Chứng minh

Fermat phát biểu định lý mà không chứng minh Xem chi tiết trong Các chứng minh của định lý nhỏ Fermat

Tổng quát hóa

Một dạng tổng quát của định lý này là: nếu p là số nguyên tố và m và n là các số nguyên

Định lý Fermat còn được tổng quát hóa bởi Định lý Euler: với modulo n bất kỳ và số nguyên a bất kỳ là số nguyên tố cùng nhau vớí n, ta có

trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và n nguyên tố cùng nhau với n Đây là tổng quát hóa của định lý nhỏ Fermat vì nếu n = p là số nguyên tố thì φ(p) = p − 1.

Tổng quát hơn nữa là Định lý Carmichael

Một định lý khác tống quát hóa của nó nằm trong các trường hữu hạn

Số giả nguyên tố

Nếu p là hợp số và có số nguyên a sao cho chia hết cho p, thì p được gọi là số giả nguyên tố cơ sở a F Sarrus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố đầu tiên,với cơ sở 2

Một số p là số giả nguyên tố cơ sở a với mọi a nguyên tố cùng nhau với p được gọi là số Carmichael (chẳng hạn 561)

Nguồn WIKIPEDIA