TÀI LIỆU ÔN TẬP CẢ NĂM (st)

* Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau:- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t.. A Quy tắc cộng, Quy tắc nhân I,Lý thuyết 1.Quy tắc cộng : Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một

Tiết 1+2+3: Hàm số lượng giác

A) Kiến thức cần nhớ

1.Hàm số Sin và hàm số côsin:

+,TXĐ của hai hàm số này là: R

+,Với mọi x∈¡ ta có: 1 sin− ≤ x≤1, 1 cos− ≤ x≤1, suy ra TGT là T = [ -1; 1 ]

+, Hàm y = sinx là hàm số lẻ đồ thị của này đối xứng qua gốc toạ độ

+, Hàm y = cosx là hàm số chẵn đồ thị của này đối xứng qua trục tung

+, Cả hai hàm số sin và côsin đều là hàm tuần hoàn với chu kỡ T =2π

sin(x k+ 2 ) sinxπ = , sin osx, x ,k

+, Hàm số y = tanx, y = cotx là những hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì T =π

tan(x k+ π) t anx= , cot(x k+ π) c otx, x D,k= ∀ ∈ ∈¢

1c,y=

cosx

a y =−

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Phương pháp: Chỳ ý tập giá trị của hàm sinx, cosx.

*Ví dụ áp dụng: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

3, s inx.cosx.cos2x.cos4x

2,sinx=0 x= ,

0, cos 2 sin( 45 ) 0

1e,2sinx.cos2x= s inx

5, os2x.tanx=0

1,Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

* Dạng: asinx + b = 0, acosx +b = 0, atanx + b= 0, acotx + b = 0 (a ≠0)

* phương pháp giải: biến đổi đưa về dạng phương trình luợng giác cơ bản *Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau

a 3 sinx – 6 = 0 b.2sin2x – 1 =0 c 6sin5x + 1 = 0

d 5sin3x – 4 = 0 e 2 cosx + 5 = 0 f.2cos(x – 500) - 3 =0 g.3cosx - 2 = 0 h 3tanx + 3 = 0 k 3cotx - 1 = 0

2, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

*Dạng phương trình: aSin2x + bSinx + c = 0 (a≠0)

*Cách giải:

- Đặt t = sinx, điều kiện t ≤1

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

*Ví dụ áp dụng : Giải các phương trình sau:

- Đặt t = Cosx, điều kiện t ≤1

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

* Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau:

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trinh lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

* Chú ý điều kiện tồn tại: Đối với hàm số tanx: cosx ≠0⇔x≠ π +kπ

- Giải phương trình bậc 2 theo ẩn t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản, kết luận nghiệm

* Chú ý điều kiện tồn tại:

Đối với hàm số cotx: sinx 0≠ ⇔x≠ πk , k∈Z

*Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau:

2 2

b a

c x

b a

b x

b a

a

+

=+

= +

2 2

b a

b b a

sin

b a

c x

b a

c x

*chú ý: Nếu a2 + b2 < c2 thì PT(8) vô nghiệm.

Tiết 10,11,12,13,1,4,15 :

Quy tắc đếm, Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, Nhị thức Niutơn.

A) Quy tắc cộng, Quy tắc nhân

I,Lý thuyết

1.Quy tắc cộng :

Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A hoặc B

Phương án A có thể thực hiện theo n cách

Phương án B có thể thực hiện theo p cách

Lúc đó công việc trọn có thể được thực hiện theo : n + p cách

Quy tắc trên có thể mở rộng với k phương án A1, A2, ,Ak thì ta có:

n1 + n2 + + nk cách

2.Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể tiến hành qua hai công đoạn A và B

Công đoạn A có thể thực hiện theo n cách

Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo p cách

Lúc đó công việc trên có thể được thực hiện theo : n.p cách

Quy tắc trên có thể mở rộng với k công đoạn A1, A2, ,Ak thì ta có :

N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B)

+)Nếu A và B là hai tập hợp rời nhau (A∩B = ∅) thì :

N(A∪B) = N(A) + N(B)

+)Nếu X ⊂ A thì N(A\X) = N(A) \ N(X)

+) Nếu A1, A2, ,Ak là các tập hợp rời nhau từng đôi một thì :

N( A1 ∪A2 ∪ ∪Ak ) = N( A1 ) + N(A2 ) + + N(Ak )

+)Nếu A.B = {( , ) /a b a A b B∈ , ∈ } , thì :

N( A.B) = N(A).N(B)

*Ví dụ áp dụng :

a,VD 1 : Lớp 11C cỳ 40 HS trong đó có 25 nam và 15 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một HS

để đi tham dự Đại hội Đoàn trường ?

HD : Nếu một HS được chọ là HS nam thì có 25 cách chọn, nếu HS được chọn là HS nữ thì có 15 cách chọn do đó có 25 + 15 cách chọn

b, VD2:Từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 5con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 2 con đường Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố Ađến thành phố D qua B và C ?

HD: Đi từ thành phố A đến thành phố B có 7 con đường

Với mỗi cách chọn một con đường đi từ A đến B có 5 cách chọn đường đi từ B đến C

Mỗi cách chọn con đường đi từ A đến B và một con đường đi từ B đến C có 2 con đường đi từ C đến

D

Vậy sẽ có 7.5.2 con đường đi từ A đến D

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi

HD: Gọi 4 vị trí bàn học lần lượt là 1, 2, 3, 4

Có 4 cách xếp một bạn HS ngồi vào vị trí thứ nhất

Với mỗi cách xếp 1 HS vào vị trí 1 có 3 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 2

Với mỗi cách xếp 2 HS vào vị trí 1,2 có 2 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 3

Với mỗi cách xếp 3 HS vào vị trí 1,2,3 có 1 cách xếp một HS ngồi vào vị trí 4

Vậy có 4.3.2.1 cách xếp 4 HS ngồi vào bàn học gồm 4 chỗ ngồi

3 Bài tập:

Bài tập 1: Trường THPT X có 500 HS lớp 10, 450 HS lớp 11 và 400 HS lớp 12 cần chọn một HS đại diện cho trường tham gia Ban chấp hành hội HS SV của thành phố Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?Bài tập 2: Người ta định đánh số những chiếc ghế trong một giảng đường bằng cách ghi những chữ cái

và tiếp theo là một số nguyên dương có hai chữ số Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu cái ghế

Bài tập 3: Từ các chữ só 1, 2, 3, 4, 5, 6 có bao nhiêu cách chọn:

C a b−

=

=∑ ( Quy ước a0 = b0 = 1)Trong khai triển nhị thức Niutơn ở vế phải:

+, Vì C n k =C n n k− , nên các hệ số của các số hạng có tính đối xứng.

a, VD1: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A, B, C, D vào bốn chiếc ghế kê thành hàng?

HD: Mỗi cách xếp cho ta một hoán vị của bốn bạn và ngược lại Vậy số cách xếp là: P4 = 4! = 24 (cách)

b,VD2: một HS có 12 quyển sách đôi một khác nhau trong đó có 2 quyển sách Toán, 4 sách văn, 6 sách Anh văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các quyển sách lên một kệ sách dài nếu mọi quyển sách cũng muốn được xếp kề nhau

a,VD: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm năm chữ số khác không và đôi một khác nhau ?

HD: Mỗi số cần tìm có dạng a a a a a trong đó 1 2 3 4 5 a i ≠a j với i≠ j và

a,Chọn tuỳ ý(Không phân biệt nam, nữ)

b, Lớp trưởng là nam sinh, lớp phó là nữ sinh

c, Lớp trưởng là nữ sinh và thư kí là nam

n C

1

2x x

2 ( 1)

k

k k k

k k k k k

x

− +

Ví dụ 3: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 3+ x)n là 90 Hãy tìm n

HD: Số hạng tổng quỏt trong khai triển là

( )1

− +

Bài tập 2: Tìm hệ số của a7 trong khai triển ( )17

a Phép thử, không gian mãu, biến cố

Phép thử ngầu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biếttập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử dược gọi là không gian mẫu của phép thử

và kí hiệu Ω (đọc là ô-mê-ga)

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập ∅ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không), tập Ω gọi là biến cố chắc chắn

a,VD1:Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ dược đánh số từ 1 đến 20 Tìm xác suất để thẻ

được lấy ghi số

b,VD2: Một lớp học có 60 HS trong đó 40 HS học tiếng Anh, 30 HS học tiếng Pháp và 20 HS học cả

tiếng Anh và tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên một HS Tính xác suất các biến cố sau

a A: “HS được chọn học tiếng Anh”

b B: “HS được chọn chỉ học tiếng Pháp”

c C: “HS được chọn học cả tiếng Anh lẫn tiếng Pháp”

d D: “HS được chọn không học tiếng Anh và tiếng Pháp”

A: “Lần đầu xuất hiện mặt chẵn chấm”

B: “Lần thứ hai xuất hiện mặt chẵn chấm”

C: “Tổng số chấm trong hai lần gieo là chẵn”

Ta có C AB= ∪AB Dễ thấy AB và A B xung khắc nên

Bài tập 2: Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1

đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn

a Ghi số chẵn

b Màu đỏ

c Màu đỏ và ghi số chẵn

d Màu xanh hoặc ghi số lẻ

Bài tập 3: Một con súc sắc cân đối và đồng chất được gieo hai lần Tính xác suất sao cho

a Tổng số chấm của hai lần gieo là 6

b ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm

Tiết 19,20,21,22,23,24: DÃY SỐ

I.Kiến thức cần nhớ:

+ Định nghĩa:

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên N* được gọi là dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

Đặt u(n) = un và gọi nó là số hạng tổng quát của dãy số (un)

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…,m} với m ∈N* được gọi là dãy số hữu hạn

+ Cách cho một dãy số:

- Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

- Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

- Dãy số cho bằng công thức truy hồi.

* Dạng bài tập xác định số hạng tổng quát của dãy số

Bài tập 4: Cho dãy số (un) xác định bởi 1

a) Viết 5 số hạng đầu của dãy số

b) Dự đoán công thức un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

III Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Tìm số hạng thứ 9 của dãy số 2 1

1

n

n u n

+

=+

Bài tập 2: Tìm số hạng dương đầu tiên của dãy số 1

n n

- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1> un với mọi n∈N*

- Dãy số (un) được gọi là gi¶m nếu un+1< un với mọi n∈N*

II.Vận dụng

a,VD1: Cho dãy số un=2n+1 Xét tính tăng giảm của dãy un

b,VD2: Xét tính đơn điệu của dãy số un với un= 1

n n

++ với mọi n∈N*

• Chú ý 1: Để xét tính đơn điệu của dãy số un ta lập hiệu

H=un+1 - un

+ Nếu H > 0 với mọi n ∈N* => dãy un là dãy tăng

+ Nếu H < 0 với mọi n ∈N* => dãy un là dãy giảm

c,VD3: Xét tính đơn điệu của dãy số un với

a un=2n2 1

n

+

với mọi n∈N*

+ Nếu H > 1 với mọi n ∈N* => dãy un là dãy tăng

+ Nếu H < 1 với mọi n ∈N* => dãy un là dãy giảm

d,VD4: Xét tính đơn điệu của dãy số un với

a un=3 1

3

n n

− với mọi n∈N*

b un= 2

( 1) n n

++ Với giá trị nào của a thì dãy số tăng, giảm

Bài tập 3 Cho dãy số un xác định bởi 1

a,VD1: Chứng minh dãy số sau bị chặn dưới với un = n2 - 4n +3 với mọi n ∈ N*

b,VD2: Chứng minh dãy số sau bị chặn un = 3 14

2

n n

++

c,VD3: Chứng minh dãy số sau bị chặn với dãy un được cho bởi:

1

1

11

a 3 6

n

n u

U U

15

U U

Bài 1 Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp 5 đại lượng u 1 , u n , n, d, S n

a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?

b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:

U U

+

=

(Định lý 3)

* Lưu ý: Khi giải các bài toán về cấp số nhân, ta thường gặp 5 đại lượng đó là u 1 , u n , n, d, S n Cầnphải biết ít nhất 3 trong 5 đại lượng đó thì sẽ tính được các đại lượng còn lại

* Các dạng bài tập.

Dạng 1:Xác định cấp số nhân, tìm các yếu tố của cấp số nhân

a,VD1:Cho cấp số nhân (un) với công bội q

HD: Áp dụng công thức: Un = u1qn-1 (với n≥ 2 ) suy ra qn-1 =

1

n u u

b,VD2: Tìm x sao cho ba số: 2x -1, x + 2,x2 + 3x + 5 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân

2 4

u u

u u

*Dạng 2: Tính tổng các số hạng của cấp số nhân hoặc xác định cấp số nhân biết tổng các

số hạng

a,VD4: Tính tổng của 8 số hạng của một cấp số nhân biết số hạng thứ ba là 3 và số hạng thứ sáu là

-24

b,VD5: Một cấp số nhân có số hạng đầu là -5,số hạng cuối là -1280 và có tổng là -2555.Hỏi cấp số

nhân có bao nhiêu số hạng?

*Bài tập

Bài 1:

Cho cấp số nhân, biết u5= 12, u12= 1536.Tìm u1 và q

Bài 2: Biết 2x - 3, x + 3, 5x - 3 là 3 số hạng thứ 5, thứ 10 và thứ 15 của một cấp số nhân.Tìm x

Bài 3:

Cho cấp số nhân (un),biết u1 = 2,u3 = 18.Tính tổng của mười số hạng đầu tiên

b,

Bài 4

Cấp số nhân (un) c ó: 1 5

2 6

51102

a/ Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân

b/ Hỏi tổng của bao nhi êu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?

c/Số 12288 là số hạng thứ mấy?

Bài 5:

a/ Tính tổng: S =9 + 99 + 999 +…….+ 9…9 ( số hạng cuối có n chữ số 9)b/ Tính tổng: S = 8 + 88 + 888 + ….+ 8…8 ( số hạng cuối có n chữ số 8)

1 Ôn lại nội dung định lí 1 và định lí 2 về giới hạn của hàm số

2 Nêu một số giới hạn cơ bản đã chứng minh được:

lim ( Với c=conts)

• Nếu hàm số f(x) xác định tại điểm x thì 0 lim ( ) ( 0 )

0

x f x f x

với k nguyên dương,c là hằng số

3 Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau;

12lim

1lim

22

1lim

x = lim(2 3+4 2 +9 −1)

+∞

F x

2 3

32lim2

x

x

x H

x

1lim0

*GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI HAI HAY NHIỀU BIỂU THỨC

*Kiến thức cần nhớ:

1 Ôn lại giới hạn bên phải,bên trái của hàm số tại một điểm

2 Ôn lại cách tìm giới hạn của hàm số :

0 1

)(

)()(

x x khi x f

x x khi x f x f

B1: Tính các giới hạn: lim f(x) L1

o x

x − =

0

L x f x

12

3)

(

x khi x

x khi x

21

)(

x khi x

x khi x

x f

0)

(

)

x khi x

x khi x x f

3

11

)(

x khi x

x khi x

x f

b

*TÍNH GIỚI HẠN DẠNG

00 +) Phương pháp chung:

Khử dạng vô định

0

0 bằng cách làm xuất hiện nhân tử chung:

+,Khử nhân tử chung để đưa về dạng xác định

+,Đưa về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải

+)Các dạng bài tập:

)(

lim

0 g x

x f x

1lim 2

1(

1lim

1lim

1 +

41

b)

4

8lim 2

2(

)42)(

2(

++

−

x x x

2lim

2 3

x b

1572

10133

c) 3 2

1

1lim

- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng đã biết cách giải

Lưu ý : Liên hợp của biểu thức

a

lµ a

aa

lµ a 4)

lµ a

lµ

lµ

3 3

3 3

b b

b b

b b a a b

b b a a b

b a b

a

b a b

a

−+

+

−

+

−+

++

−

−+

+

−

)6

)5

.)

3

)2

)1

2 3

2

2 3

2

lµ

*Ví dụ áp dụng: Tìm các giới hạn sau:

11

−

−+

−

x x

2lim 23

x (nhân liên hợp với biểu thức 3 x2 +23 x+4)

*Bài tập đề nghị: Tính các giới hạn sau:

a,

2 0

x

x x x

1lim

3 2

x

x x

→−

++ −

của hàm hữu tỷ f(x) tại vô cực

- Khai triển và sắp sếp tử và mẫu thức theo lũy thừa giảm dần của x

- Tìm giới hạn L ( có thể là vô cực ) của thương với tử và mẫu tương ứng

là các số hạng có bậc cao nhất ở tử và mẫu thức trong phân thức khai

triển

Bài tập 2 : Tìm xlim→+∞

12

32

*Khử dạng vô định (∞−∞) của đa thức f bậc n tại vô cực

*) Phương pháp :

- Đặt xn làm nhân tử chung (n là bậc cao nhất)

- áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích

- sử dụng biểu thức liên hợp để viết f(x) dưới dạng thương

- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng

lµ a

aa

lµ a

4)

lµ a

lµ

lµ

3 3

3 3

b b

b b

b b a a b

b b a a b

b a b

a

b a b

a

−+

+

−

+

−+

++

−

−+

2

2 3

2

lµ

*) Bài tập áp dụng :

VD1 : Cho hàm số f(x) = x2 −x+1−x Tìm xlim→+∞ f(x)

VD2 : Tìm xlim→+∞ ( 1+x− x)

*) Bài tập đề nghị :

Bài tập 1 : Tìm giới hạn sau : xlim→+∞ ( x2 +1−x)

Bài tập 2 : Tìm giới hạn sau : xlim→+∞ ( 3x−1− 2x−1)

GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC (dạng

0

0

) 1.VD1: Tính các giới hạn sau:

a)

x

x x

sinlim0

b)

)(

)(sinlim0 ) ( F x

x F x

ax

sin

sin =

b a

2.Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:

0

→ b)

x

x x

5sinlim0

→

d)

x

x x

2sin

→ ; f)

x

x x

5tanlim0

→

g) 2

0

2cos1lim

x

x x

*Liên tục: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và x0∈( ; )a b

+) f(x) liên tục tại điểm x0 khi và chỉ khi

x x

Lim f x f x

+) f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a ; b)

+)f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và

Lim x a→ + = f a Lim( ); x b→ = f b( );

*Gián đoạn: f(x)gián đoạn tại x0 nếu không thoả mãn một trong những điều kiện sau

+) x0 không thuộc tập xác định của f(x)

+) đồ thị của hàm số liên tục trên khoảng (a ; b) là một đường nét liền trên khoảng này

+) f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] nếu ( )f a ≠ f b( ) thì mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c∈( ; )a b sao cho: f(c) = M

1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0

b)

8 31( )

1

6

x x

f x = −x liên tục trên đoạn: [-2 ; 2]

3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x0:

khi x≠1 khi x=1

v x à 0=1

khi x≠-3 khi x=3

, nếu x≠3f(x)=

* ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC y = sinx ,y = cosx

Hàm số y = sinx có đạo hàm tại x R∀ ∈ và (sinx)' = cosx

Nếu hàm số y= sinu và u = u(x) thì : (sin ) 'u =u'cosu

Hàm số y = cosx có đạo hàm tại ∀ ∈x R và (cosx)' = -sinx

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)' = -u' sinu

Hàm số y = tanx có đạo hàm tại mọi ,

Bài 4 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =x+ tanx b) y=tan(4x2 + 3) c) y = 1 tanx+

d) y = 2x + cotx e)y = cot4x f)y = cot( 2x – 1)