Về toán tử đơn điệu trong không gian hilbert

-NGUYỄN QUANG TRUNG VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH... Mục lục1 KI

-NGUYỄN QUANG TRUNG

VỀ TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI - 2014

Mục lục

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 4

1.1 Không gian Hilbert 4

1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert 4

1.1.2 Tính trực giao và hình chiếu 9

1.1.3 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm trên không gian Hilbert 11

1.2 Toán tử đa trị 14

1.2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi 14

1.2.2 Toán tử đa trị 20

2 TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT 24 2.1 Toán tử đơn điệu 24

2.1.1 Toán tử đơn điệu 24

2.1.2 Toán tử đơn điệu tuần hoàn 32

2.1.3 Toán tử đơn điệu cực đại 34

2.1.4 Hàm Fitzpatrick 40

2.2 Tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại 43

Tài liệu tham khảo 49

Lời nói đầu

Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực quan trọng của giảitích hiện đại, nó có rất nhiều ứng dụng trong giải tích ứng dụng và nhiềungành toán học ứng dụng khác như bất đẳng thức biến phân, cân bằng,tối ưu hóa,

Nội dung của luận văn là trình bày các kiến thức cơ sở liên quan;Các định nghĩa, tính chất và điều kiện để toán tử đơn điệu, đơn điệu cựcđại; Điều kiện để tổng của hai toán tử đơn điệu cực đại là một toán tửđơn điệu cực đại nhờ hàm Fitzpatrick

Bố cục Luận văn gồm hai chương:

• Chương 1 Kiến thức cơ bản về toán tử đa trị trong không gianHilbert

• Chương 2 Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert

Nội dung chính của các chương là:

Chương I: Trình bày các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert.Sau đó trình bày các kiến thức cơ bản về toán tử đa trị trong không gianHilbert, trong đó có trình bày một số kiến thức cơ bản về Giải tích lồiphục vụ cho nghiên cứu về toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert.Chương II: Trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệutuần hoàn, đơn điệu cực đại và các tính chất của nó như: điều kiện đủ đểtoán tử là đơn điệu, đơn điệu cực đại Tiếp theo là trình bày tính cực đạicủa tổng hai toán tử đơn điệu cực đại

Lời cảm ơn

Để hoàn thành Luận văn này, trước hết tác giả xin bày tỏ sự kínhtrọng và biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Thầy đã dành nhiềuthời gian hướng dẫn, giải đáp thắc mắc của học trò trong suốt quá trìnhnghiên cứu và đã giúp đỡ tác giả hoàn thành hoàn thiện luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo KhoaToán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốcgia Hà Nội, các thầy giáo thuộc Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học

và Công nghệ Việt Nam đã tham gia giảng dạy nhiệt tình trong khóa học,giúp tác giả tích lũy nhiều kiến thức quan trọng phục vụ cho bản luận vănnày Tác giả xin cám ơn Seminar Toán của Viện toán học - Viện Hàn lâmKhoa học và Công nghệ đã nhận xét góp ý cho bản luận văn này

Tác giả xin cám ơn tới cơ quan nơi tác giả công tác, gia đình và bạn

bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập

và làm luận văn tốt nghiệp

Mặc dù đã có nhiều cố gắng và tích cực trong học tập, nghiên cứukhoa học, song trong quá trình thực hiện không tránh khỏi những sai sót

Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,

cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 10 tháng 4 năm 2014

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TOÁN

TỬ ĐA TRỊ TRONG KHÔNG

GIAN HILBERT

Trong chương này chúng ta giới thiệu các kiến thức cơ bản về khônggian Hilbert và toán tử đa trị Các khái niệm và kết quả ở đây được thamkhảo từ tài liệu [1, 2, 3, 4, 10]

1.1 Không gian Hilbert

Chúng ta ký hiệu H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

h.|.i và chuẩn là k.k Toán tử đồng nhất trên H là Id

1.1.1 Khái niệm không gian Hilbert

Một tập X mà các phần tử của nó là những đối tượng bất kỳ, đượcgọi là một không gian vectơ, nếu:

a) Trên X chúng ta trang bị hai phép toán:

thì (X , p) được gọi là không gian metric.

Định nghĩa 1.1 Một không gian vectơ định chuẩn là một tập X vừa làkhông gian vectơ, vừa là không gian metric Khi đó X được trang bị mộtchuẩn là kxk = p (x, 0) thỏa mãn các điều kiện:

ii) hx + y|zi = hx|zi + hy|zi

iii) hλx|yi = λ hx|yi

iv) hx|xi ≥ 0 với mọi x, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 0

v) hx|xi = kxk2

Nhận xét 1.1 Từ các tính chất i), ii), iii) và v) trong Định nghĩa 1.2 ta

suy ra:

kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + kyk2 (1.1)Công thức (1.1) được gọi là điều kiện bình hành

Mệnh đề 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert X là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn, với chuẩn xác định:

0 ≤ hx − λy|x − λyi = hx|xi − 2λ hx|yi + λ2hy|yi ,

cho nên tam thức bậc hai theo λ có biệt thức ∆ ≤ 0:

|hx|yi|2 − hx|xi hy|yi ≤ 0,

hay

Từ đó

0 ≤ hx + y|x + yi = hx|xi + 2 hx|yi + hy|yi ≤

≤ kxk2 + 2 kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2

Vậy

nghĩa là bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn Mặt khác từ (1.2), (1.3)

và (1.4) ta suy ra ngay kxk > 0 nếu x 6= 0, kxk = 0 nếu x = 0 và kλxk =

Nhận xét 1.2 Qua chứng minh trên ta thấy rằng trong không gian tiềnHilbert luôn có bất đẳng thức (1.3) gọi là bất đẳng thức Schwarz Hơnnữa, theo trên đẳng thức hình bình hành (1.1) luôn đúng Vì:

hx + y|x + yi − hx − y|x − yi = 4 hx|yi

nên chúng ta có:

hx| yi = 1

4(hx + y| x + yi − hx − y| x − yi) (1.5)

Định nghĩa 1.3 Cho X là một không gian định chuẩn Dãy {xn} ⊂ X

được gọi là dãy cơ bản trong X nếu

limn,m→∞kxn− xmk = 0

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là

kxn− xmk → 0 ⇒ ∃x0 ∈ X : xn → x0,

thì X được gọi là không gian đủ hoặc không gian Banach

Định nghĩa 1.4 Không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gianHilbert

Định nghĩa 1.5 Không gian Banach thỏa mãn điều kiện bình hành đượcgọi là không gian Hilbert

Bổ đề 1.1 (xem [10]) Cho x, y ∈ H Khi đó chúng ta có kết quả sau:i)hx| yi ≤ 0 ⇔ (λ ∈ R++) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [0, 1]) kxk ≤ kx − λyk

ii) x⊥y ⇔ (λ ∈ R) kxk ≤ kx − λyk ⇔ (λ ∈ [−1, 1]) kxk ≤ kx − λyk

Ví dụ 1.1 Cho(Ω, F , µ)là một không gian có độ đo, cho(H, h.|.iH)là mộtkhông gian Hilbert thực, và cho p ∈ [1; +∞) Ký hiệu Lp((Ω, F , µ) ; H) làkhông gian của các ánh xạ Boren đo được x : Ω → H sao cho

là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

Ví dụ 1.3 Cho T ∈ R++ và cho (H, h.|.iH) là không gian Hilbert thực.Với mọi y ∈ L2([0, T ] ; H), hàm x : [0, T ] → H : t 7→

Ví dụ 1.4 Trong Ví dụ 1.1, cho T ∈ R++, tập Ω = [0, T ] và cho µ là độ

đo Lebesgue Khi đó chúng ta có không gian Hilbert

Ví dụ 1.5 Trong Ví dụ 1.1, cho H = R Khi đó chúng ta thu được không

ii) Nếu x⊥y1, y2, , yk thì x⊥λ1y1 + λ2y2 + + λkyk

iii) Nếu x⊥yk, yk → y (k → +∞) thì x⊥y

Thật vậy, do tính liên tục của tích vô hướng nên chúng ta có:

hx|yi = lim

k→+∞hx, yki = 0

iv) Nếu tập C trù mật trong H thì C⊥ = {θ}

Thật vậy, vì C trù mật trong H nên mọi x ∈ H đều là giới hạn củamột dãy xk ∈ C: x = lim

k→+∞xk Vậy x⊥C kéo theo x⊥xk với mọi k và do

đó x⊥x ⇒ x = 0

v) Nếu x⊥y thì kx + yk2 = kxk2 + kyk2

vi) Nếu {xk} là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ xk đôi một trựcgiao) thì chuỗi

Định lý 1.1 Cho C là một không gian con đóng của một không gianHilbert H Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cáchduy nhất dưới dạng

x = y + z với y ∈ C, z ∈ C⊥, (1.6)trong đó y là phần tử của C gần x nhất, tức là kx − yk ≤ kx − uk với mọi

u ∈ C

Chứng minh

Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại của (1.6), ta đặt:

d = infu∈C kx − uk

Theo định nghĩa cận dưới đúng, tồn tại một dãy uk ∈ C sao cho

kx − ukk → d (k → ∞)

hz − λu|z − λui = kz − λuk2 = kx − (y + λu)k2 ≥ d2.

Mặt khác kzk2 = kx − yk2 = d2, do đó với mọi số thực λ chúng ta đều có:

−2λ hz|ui + λ2kuk2 ≥ d2 − d2 = 0,

điều này chỉ có thể xảy ra nếu hz|ui = 0, tức là z⊥u Vậy z ∈ C⊥

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh sự phân tích (1.6) là duy nhất Thật vậy,nếu có x = y + z = y0 + z0 với y, y0 ∈ C , z, z0 ∈ C⊥ thì y − y0 = z0 − z,

mà C,C⊥ đều là không gian con nên y − y0 ∈ C , z0 − z ∈ C⊥, tức là

z0− z⊥z0 − z, do đó y − y0 = z0 − z = 0 Vậy sự phân tích ở (1.6) là duy

1.1.3 Toán tử tuyến tính và phiếm hàm trên không gian Hilbert

Trước hết, chúng ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về toán tửtuyến tính và phiếm hàm tuyến tính trên không gian vectơ định chuẩn

Định nghĩa 1.7 Cho X và Y là các không gian định chuẩn thực Mộtánh xạ T : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu T (λ1x1 + λ2x2) =

λ1T (x1) + λ2T (x2) với mọi x1, x2 ∈ X và mọi λ1, λ2 ∈ R.

Toán tử T từ X vào Y được gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn kéotheo T xn → T x0

Toán tử T từ X vào Y được gọi là giới nội nếu có một hằng số dương

K sao cho

(∀x ∈ X ) kT xk ≤ K kxk (1.7)

Số K nhỏ nhất thỏa mãn (1.7) được gọi là chuẩn của toán tử T.Định lý 1.2 (xem [2]) Ký hiệu L (X , Y) là tập hợp tất cả các toán tửtuyến tính liên tục từ X vào Y và L (X ) = L (X , X ) Khi đó L (X , Y)

là không gian định chuẩn và là không gian Banach khi Y là không gianBanach

Định lý 1.3 (xem [2]) Một toán tử tuyến tính T từ X vào Y là liên tụckhi và chỉ khi nó giới nội

Định lý 1.4 (xem [2]) Nếu T toán tử từ X vào Y thì

kT k = sup

x6=0

kT xkkxk = supkxk=1kT xk

Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gianHilbert được xác định bởi định lý Riesz sau đây

Định lý 1.5 (Riesz - Fréchet) Với mỗi vectơ u cố định thuộc một khônggian Hilbert H, hệ thức

(1.8) trong đó u là một vectơ của H thỏa mãn (1.9).

Chứng minh

Rõ ràng f (x) = hu| xi là một phiếm hàm tuyến tính và do

|f (x)| = |hu| xi| ≤ kuk kxk (1.10)

|f (u)| = |hu| ui| = kuk kuk (1.11)nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.9) Do đó chúng ta đã chứngminh được phần thứ nhất của định lý

Để chứng minh phần ngược lại của định lý, ta xét một phiếm hàmtuyến tính liên tục f (x) trên một không gian Hilbert H Xét tập

C = {x ∈ H| f (x) = 0}

Rõ ràng C là không gian con đóng của H

Trước hết chúng ta xét trường hợp C⊥ = {0} thì theo Định lý 1.1, chúng

ta có x = y + z, với y ∈ C, z ∈ C⊥, chúng ta thấy rằng z = 0, cho nên

f (x) = f (y) = 0 với mọi x ∈ H, do đó

f (x) = h0| xi ,

nghĩa là ta có biểu diễn (1.8) với u = 0

Tiếp theo, chúng ta xét trường hợp C⊥ 6= {0}, tức là tồn tại

x0 ∈ C⊥, x0 6= 0

Chúng ta có f (x0) 6= 0, nên vectơ u = f (x0 )

kx 0 k2.x0 6= 0 Với mọi x ∈ H, thìchúng ta có

x0

= hx| x0i − f (x)

f (x0).kx0k2 = 0,

1.2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi

Trong phần này chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản của tập lồi,hàm lồi và các vấn đề liên quan để phục vụ cho việc nghiên cứu toán tửđơn điệu

Định nghĩa 1.9 Một tập con C của H được gọi là lồi nếu C chứa mọiđoạn thẳng đi qua hai điểm bất kỳ của nó Tức là C lồi khi và chỉ khi

∀α ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ C ⇒ αx + (1 − α) y ∈ C

Định nghĩa 1.10 Cho C ⊂ H Bao lồi của C là giao của tất cả các tậpcon lồi của H chứa C, ký hiệu là convC Bao lồi đóng của C là tập con lồiđóng nhỏ nhất của H chứa C, ký hiệu là convC

Định nghĩa 1.11 Một tập C ⊂ H được gọi là nón nếu

coreC = {x ∈ C| cone (C − x) = H} ; (1.13)điểm trong tương đối mạnh của C là

sriC = {x ∈ C| cone (C − x) = span (C − x)} ; (1.14)

điểm trong tương đối của C là

riC = {x ∈ C| cone (C − x) = span (C − x)} ; (1.15)Định nghĩa 1.13 Cho C ⊂ H và f : C → [−∞; +∞] Khi đó f được gọi

là hàm lồi nếu trên đồ thị của nó

epif = {(x, ξ) ∈ C ×R| f (x) ≤ ξ}

là tập lồi trong H ×R Miền hữu dụng của nó là

domf := {x ∈ C| f (x) < +∞};

hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ ∀x

Mệnh đề 1.2 (xem [3])f : H → [−∞; +∞] Khi đó f được gọi là hàmlồi khi và chỉ khi

(∀x ∈ domf ) (∀y ∈ domf ) (∀α ∈ (0, 1))

Ví dụ 1.7 Hàm mặt cầu Cho S := {x ∈ Rn| kxk = 1} là một mặt cầu

và h : S →R+ là một hàm bất kỳ Định nghĩa hàm f như sau:

Định nghĩa 1.14 Cho f và g : H → [−∞; +∞] Tích chập (convolution)của f và g là:

fg : H → (−∞, +∞] : x 7→ inf

y∈H(f (y) + g (x − y)) , (1.16)

và nó nhận giá trị đúng tại điểm x ∈ H nếu

(fg) (x) = min

y∈H (f (y) + g (x − y)) ,

Tập hợp các hàm lồi, nửa liên tục dưới từ H → 2H được ký hiệu là Γ (H)

Tập hợp các hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới từ H → (−∞, +∞]

được ký hiệu là Γ0(H)

Mệnh đề 1.3 (Xem [10]) Cho f, g ∈ Γ0(H) Khi đó

int (domf − domg) = core (domf − domg) (1.17)Định lý 1.6 (Hahn - Banach Sandwich, [5, 13]) Giả sử f và g là cáchàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trên không gian Banach X saocho

f (x) ≥ g (x)

với mọi x trong X Giả sử rằng:

0 ∈ core (dom (f ) − dom (g))

Khi đó có một hàm tuyến tính liên tục λ thỏa mãn:

f (x) − g (y) ≥ hλ|x − yi ,

với mọi x ∈ dom (f ) , y ∈ dom (−g) trong X

Định nghĩa 1.16 Cho f : H → [−∞, +∞] Hàm liên hợp của hàm f là

f∗ : H → [−∞, +∞] : u 7→ sup

x∈H(hx| ui − f (x)) (1.18)

Mệnh đề 1.4 (Bất đẳng thức Fenchel-Young, xem [3, 10]) Cho f : H →[−∞, +∞] là hàm chính thường Khi đó

Định nghĩa 1.18 Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới

vi phân (subdifferential) của f tại x, ký hiệu là ∂f (x), tức là:

∂f (x) = {x∗ ∈ H∗| f (x) − f (x) ≥ hx∗| x − xi , ∀x ∈ H} (1.19)Đối với dưới vi phân của tổng các hàm lồi, ta có định lý sau

Định lý 1.7 (Moreau - Rockafellar, xem [3]) Cho fi, i = 1, 2, , m là cáchàm lồi chính thường trên H Khi đó

Ví dụ 1.8 Ta ký hiệu J là đạo hàm của hàm h (x) = 12kxk2 hay J cònđược gọi là ánh xạ đối ngẫu gán mỗi x ∈ H thành một phần tử duy nhất

Vậy dưới vi phân của hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng tại một điểm

x0 ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x0

Mệnh đề 1.6 Cho f là một hàm lồi, đóng, chính thường trên H Khi đó

ta có đẳng thức Fenchel sau:

f∗(x∗) + f (x) = hx∗| xi ⇔ x∗ ∈ ∂f (x) , x ∈ ∂f∗(x∗) (1.20)Chứng minh Theo định nghĩa hàm liên hợp, ta có

f∗(x∗) = sup

x{hx∗| xi − f (x)}

Điều này tương đương với

f∗(x∗) ≥ hx∗| yi − f (y) ∀y

Cho H, K là hai không gian Hilbert Cho T : H → 2K là ánh xạ từ

H vào tập hợp gồm toàn bộ tập con của K (được ký hiệu là 2K) Ta nói

T là ánh xạ đa trị từ H vào K Như vậy với mỗi x ∈ H, T (x) là một tậphợp con của tập K

Ta sẽ thường sử dụng ký hiệu T : H → 2K để nói rằng T là ánh xạ

đa trị từ H vào K

Nếu với mỗi x ∈ H tập T (x) chỉ gồm đúng một phần tử của K, thì

ta nói T là ánh xạ đơn trị từ H vào K

Định nghĩa 1.19 Cho ánh xạ đa trị T : H → 2K Khi đó đồ thị gra T,miền hữu dụng dom T, miền ảnh ran T tương ứng được xác định bởi cáccông thức sau:

gra T = {(x, y) ∈ HxK : y ∈ T (x)} ,dom T = {x ∈ H : T (x) 6= ∅} ,ran T = {y ∈ K : ∃x ∈ H sao cho y ∈ T (x)}

Ví dụ 1.9 Xét phương trình đa thức

xn + a1xn−1 + a2xn−2 + + an−1x + an = 0, (1.21)trong đón ∈ N, ai ∈ R, i = 1, n Quy tắc cho tương ứng mỗi bộ(a1, a2, , an)

= a với tập nghiệm, ký hiệu T (a) của (1.21) là một ánh xạ đa trị

T : Rn → 2C Theo định lý cơ bản của đại số T (a) 6= ∅ và |T (a)| ≤ n

với mọi a ∈ Rn Nếu ta đồng nhất mỗi số phức x = u + vi ∈ C với cặp số

Nếu M ⊂ H là một tập con cho trước thì hạn chế của T trên M là ánh

xạ đa trị T|M : M → K được cho bởi

Ví dụ 1.10 Cho C ⊂ H là một tập lồi và f : H → R ∪ {+∞} là mộthàm lồi Giả sử ri (domf ) ∩ riC 6= ∅ Xét bài toán quy hoạch lồi

là nón pháp tuyến ngoài của C tại x

Chứng minh Gọi δC(.) là hàm chỉ của tập C Khi đó x là điểm cựctiểu của hàm f trên C khi và chỉ khi nó là cực tiểu của hàm h (x) :=

f (x) + δC(x) trên toàn không gian Điều kiện cần và đủ để x là cựctiểu của h trên H là 0 ∈ ∂h (x) Do ri (domf ) ∩ riC 6= ∅, theo Định lýMoreau-Rockafelar ta có:

có đồ thị là tập tô đậm trong Hình 1.1 Hiển nhiên graT không phải làtập lồi

Định nghĩa 1.21 Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert

H và không gian Hilbert K T được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ dom T

nếu mọi tập mở V ⊂ K thỏa mãn T (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x

sao cho

T (x) ⊂ V ∀x ∈ U

T (x) ∩ V 6= ∅ ∀x ∈ U ∩ dom T.

Nếu T là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc dom T, thì ta nói T là nửaliên tục dưới trong H

Định nghĩa 1.23 Cho T : H → 2K là ánh xạ đa trị từ không gian Hilbert

H và không gian Hilbert K Ta nói T là liên tục x ∈ dom T nếu đồng thời

T là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x ∈ dom T Nếu T là liêntục tại mọi điểm thuộc dom T, thì ta nói T là liên tục tại mọi điểm trong

H

Chương 2

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG

KHÔNG GIAN HILBERT

Chương này đề cập đến các vấn đề quan trọng của toán tử đơn điệutrong không gian Hilbert như các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệutuần hoàn, đơn điệu cực đại, các ví dụ về toán tử đơn điệu trong đó dưới

vi phân của hàm lồi chính thường là ví dụ điển hình cho toán tử đơn điệucực đại; điều kiện đủ để một toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại Đặc biệt,giới thiệu và chứng minh điều kiện đủ để tổng hai toán tử đơn điệu cực đại

là một toán tử đơn điệu cực đại nhờ một hàm do Fitzpatrick giới thiệu.Các khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo từ các tài liệu [3, 5, 6, 7,

8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]

2.1 Toán tử đơn điệu

2.1.1 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 2.1 Cho A : H → 2H Ta nói A là đơn điệu nếu

(∀ (x, u) ∈ gra A) (∀ (y, v) ∈ gra A) hx − y| u − vi ≥ 0

Một tập con của H × H là đơn điệu nếu nó là đồ thị của một toán tử đơnđiệu

Trong Hình 2.1, đồ thị bên trái là đồ thị của toán tử đơn điệu, còn

đồ thị bên phải không phải là đồ thị của toán tử đơn điệu