Toán tử đơn điệu trong không gian HIlbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Nguyễn Hoàng Hà TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Hoàng Hà

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Hoàng Ngọc Tuấn đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành đề tài này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo emtận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình họctập và thực hiện đề tài thực tập này

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Hoàng Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luậnnày là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cảmđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm

ơn và các thông tin thu trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồngốc

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Nguyễn Hoàng Hà

Mục lục

1.1 Những khái niệm cơ bản 1

1.1.1 Toán tử và hàm 1

1.1.2 Lưới 4

1.1.3 Tính liên tục 5

1.2 Không gian Hilbert 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Các đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản 7

1.2.3 Topo mạnh và topo yếu trên không gian Hilbert 9 1.3 Tập lồi và hàm lồi 11

1.3.1 Tập lồi 11

1.3.2 Hàm lồi 13

1.4 Hàm liên hợp 14

1.5 Dưới vi phân 17

1.5.1 Các tính chất cơ bản 17

2.1 Toán tử đơn điệu 20

2.2 Toán tử đơn điệu cực đại 26

2.3 Hàm hai biến và tính đơn điệu cực đại 31

2.4 Hàm Fitzpatrick 34

2.5 Định lý Minty 40

2.6 Định lý Debrunner-Flor 43

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bàitoán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóngvai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn Để nắm vững hơncác kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn

đề tài khóa luận tốt nghiệp: " Toán tử đơn điệu trong không gianHilbert"

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu vềgiải tích và đặc biệt là toán tử đơn điệu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu toán tử đơn điệu

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

• Chương 2: "Toán tử đơn điệu".

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn đã tậntình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuậnlợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luậnnày

Hà Nội, ngày 03/05/2016Tác giả khóa luận

Nguyễn Hoàng Hà

x ∈ X đến một tập Ax nằm trong Y Cho A : X → 2Y Thế thì A biểuthị đặc điểm bởi đồ thị của nó

Miền xác định và miền giá trị của A tương ứng là

dom A =x ∈ X

Ax 6= ∅ và ran A = A(X ), (1.3)

Nếu X là một không gian tôpô, bao đóng của dom A kí hiệu bởi domA;tương tự như vậy, nếu Y là một không gian tôpô, bao đóng của ran Ađược kí hiệu bởi ran A Nghịch đảo của A, kí hiệu bởi A−1, được đặctrưng bởi đồ thị của nó

gra A−1 = (u, x) ∈ Y × X

(x, u) ∈ graA (1.4)

Do đó, với mỗi (x, u) ∈ X ×Y, u ∈ Ax ⇔ x ∈ A−1u Hơn nữa, dom A−1 =ranA và ranA−1 = dom A Nếu Y là một không gian vectơ, tập các khôngđiểm của A là

Một lựa chọn của một toán tử đa trị A : X → 2Y là một toán tử

T : dom A → Y sao cho (∀x ∈ dom A) T x ∈ Ax Bây giờ cho T : X → Y,

Do đó, gra (A+λB) = {(x, u + λv) | (x, u) ∈ graA, (x, v) ∈ graB} và

dom (A + λB) = dom A ∩ dom B

Bây giờ giả sử rằng X là một không gian vectơ thực và cho T : X → Y.Thế thì T là thuần nhất dương nếu

2Y thì tịnh tiến của A bởi y ∈ X là τyA : x 7→ A(x − y)

Định nghĩa 1.1 Cho f : X → [−∞, +∞] Miền xác định của f là

dom f = {x ∈ X | f (x) < +∞}, (1.10)

graph của f là

graf = {(x, ξ) ∈ X × R | f (x) = ξ} , (1.11)epigraph của f là

epi f = {(x, ξ) ∈ X × R | f (x) ≤ ξ}, (1.12)tập mức dưới của f tại ξ ∈ R là

lev≤ξf = {x ∈ X | f (x) ≤ ξ}, (1.13)

và tập mức dưới chặt của f tại ξ ∈ R là

lev<ξf = {x ∈ X | f (x) < ξ} (1.14)Hàm f là chính thường nếu −∞ /∈ f (X ) và dom f 6= ∅

1.1.2 Lưới

Cho (A,4) là 1 tập có định hướng Cho a và b nằm trong A, kí hiệu

b < a nghĩa là a 4 b Cho X là một tập khác rỗng Một lưới (hoặc dãysuy rộng) trong X , chỉ mục bởi A là một toán tử từ A đến X và được

kí hiệu bởi (xa)a∈A Cho N = {0, 1, } Vì (N, ≤) là một tập có hướng,mỗi dãy là một lưới; (a)a∈(0,1) là một ví dụ của một lưới không là mộtdãy Cho (xa)a∈A là một lưới trong X và cho Y ⊂ X Một lưới (yb)b∈B là

một lưới con của (xa)a∈A thông qua k : B → A nếu

Định nghĩa 1.2 Cho (X , TX) và (Y, TY) là các không gian topo và cho

T : X → Y Thế thì T liên tục tại x ∈ X nếu

Mệnh đề 1.2 Cho X và Y là các không gian Hausdorff, cho T : X → Y,

và cho x ∈ X Thế thì T liên tục tại x nếu và chỉ nếu T xa → T x vớimọi lưới (xa)a∈A thuộc X hội tụ tới x

Mệnh đề 1.3 Cho X và Y là các không gian Hausdorff, cho T : X → Yliên tục, và cho C ⊂ X là compact Thế thì T (C) là compact

Định nghĩa 1.3 Cho X là một không gian Hausdorff, cho f : X →[−∞, +∞], và cho x ∈ X Thế thì f là nửa liên tục dưới tại x nếu, vớimỗi lưới (xa)a∈A thuộc X

xa → x ⇒ f (x) ≤ lim f (xa), (1.18)hoặc tương đương, nếu

(ii) epi f đóng trong X × R

(iii) Với mỗi ξ ∈ R, lev≤ξf đóng trong X Định lý 1.1 (Weierstrass) Cho X là một không gian Hausdorff, cho

f : X → [−∞, +∞] là nửa liên tục dưới, và cho C là một tập con compactcủa X Giả sử rằng C ∩ dom f 6= ∅ Thế thì f đạt được cận dưới đúngcủa nó trên C

1.2 Không gian Hilbert

1.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.4 Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P làtrường số thực R hoặc trường số phức C) Ta gọi là tích vô hướng trênkhông gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệuh· | ·i, thỏa mãn các tiên đề:

(i) (∀x, y ∈ X ) hy | xi = hx | yi ;(ii) (∀x, y, z ∈ X ) hx + y | zi = hx | zi + hy | zi;

(iii) (∀x, y ∈ X )(∀α ∈ P ) hαx | yi = α hx | yi;

(iv) (∀x ∈ X ) hx | xi ≥ 0, hx | xi = 0 nếu x = 0

Định nghĩa 1.5 Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:(i) H là không gian tuyến tính trên trường P ;

(ii) H được trang bị một tích vô hướng;

(iii) H là không gian Banach với chuẩn kxk = phx | xi, x ∈ H

Ta gọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H làkhông gian Hilbert con của không gian H

Phần bù trực giao của một tập con C của H được kí hiệu bởi C⊥, tứclà

C⊥ = u ∈ H

(∀x ∈ C) hx | ui = 0 (1.20)

1.2.2 Các đồng nhất thức và bất đẳng thức cơ bản

Mệnh đề 1.5 Cho x và y thuộc H, thì

|hx | yi| ≤ kxk kyk.

Hơn nữa, |hx | yi| = kxk kyk ⇔ (∃α ∈ R++) x = αy hoặc y = αx

Mệnh đề 1.6 Cho (xi)i∈I và (ui)i∈I là các họ hữu hạn thuộc H và cho(αi)i∈I là một họ thuộc R sao cho P

i∈I αi = 1 Thế thì ta có nhữngkhẳng định sau:

(i)

DP

i∈Iαixi

P

j∈Iαjuj

E+P

i∈I

P

j∈Iαiαjhxi− xj | ui− uji /2 =P

i∈Iαihxi | uii(ii) Pi∈I αixi

2

+Pi∈IPj∈Iαiαjkxi− xjk2/2 = Pi∈Iαikxik2.Mệnh đề 1.7 (Riesz-Fréchet) Cho f ∈ B(H, R) là tập tất cả các toán

tử tuyến tính liên tục từ H vào R Thế thì tồn tại một vectơ duy nhất u

∈ H sao cho (∀x ∈ H) f (x) = hx | ui Hơn nữa kf k = kuk

Nếu K là một không gian vectơ Hilbert thực và T ∈ B(H, R), liênhợp của T là một toán tử duy nhất T∗ ∈ B(K, H) thỏa mãn

(∀x ∈ H) (∀y ∈ K) hT x | yi = hx | T∗yi (1.21)

Mệnh đề 1.8 Cho K là một không gian Hilbert thực, cho T ∈ B(H, K),tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H lên K, và cho ker T ={x ∈ H | T x = 0} là kernel của T Thế thì ta có các khẳng định sau:(i) T∗∗ = T

(ii) kT∗k = kT k = pkT∗T k

(iii) (ker T )⊥ = ranT∗.(iv) (ranT )⊥ = kerT∗.(v) kerT∗T = ker T và ranT T∗ = ranT

1.2.3 Topo mạnh và topo yếu trên không gian Hilbert

Topo metric của (H, d) được gọi là topo mạnh (hoặc topo chuẩn) của

H Do đó một lưới (xa)a∈A thuộc H hội tụ mạnh đến một điểm x nếu

kxa− xk → 0; kí hiệu, xa → x Khi sử dụng mà không được giải thíchthêm, các khái niệm topo trong H (tập đóng, tập mở, lân cận, tính liêntục, tập compact, hội tụ, ) sẽ được hiểu tương ứng với topo mạnh.Giả sử rằng u ∈ H r {0} và cho η ∈ R Một siêu phẳng đóng trong

Định nghĩa 1.6 Họ của tất cả giao hữu hạn của các nửa không gian

mở của H tạo nên cơ sở lập thành cơ sở topo yếu của H; và kí hiệu topoyếu của H là Hyếu

Mệnh đề 1.9 Hyếu là không gian Hausdorff

Một tập con của H là tập mở yếu nếu nó là hợp của các giao hữu hạncủa các nửa không gian mở Nếu H là vô hạn chiều, các giao khác rỗngcủa hữu hạn các nửa không gian mở là không bị chặn, do đó, các tập

mở yếu không rỗng là không bị chặn Một lưới (xa)a∈A thuộc H hội tụyếu tới một điểm x ∈ H nếu, với mỗi u ∈ H, hxa | ui → hx | ui; kí hiệu,

xa * x Hơn nữa, một tập con C của H là đóng yếu nếu giới hạn yếucủa mỗi lưới hội tụ yếu trong C cũng thuộc C, và là compact yếu nếumỗi lưới trong C có một điểm tụ thuộc C Tương tự, một tập con C của

H là đóng yếu theo dãy nếu giới hạn yếu của mỗi dãy hội tụ yếu trong Ccũng thuộc C, và là compact yếu theo dãy nếu mỗi dãy trong C có mộtđiểm tụ yếu theo dãy thuộc C Cuối cùng, cho D là một tập con khácrỗng của H, cho K là một không gian Hilbert thực, cho T : D → K, vàcho f : H → [−∞, +∞] Thế thì T liên tục yếu nếu nó liên tục tươngứng với các topo yếu trên H và K, tức là, nếu với mỗi lưới (xa)a∈A thuộc

D thỏa mãn xa * x ∈ D, ta có T xa * T x Tương tự, f là nửa liên tụcdưới yếu tại x ∈ H nếu với mỗi lưới (xa)a∈A thuộc H sao cho xa * x, ta

có f (x) ≤ limf (xa)

Mệnh đề 1.10 Các khẳng định sau là tương đương:

(i) H có số chiều hữu hạn

(ii) Hình cầu đơn vị đóng B(0; 1) của H là compact

(iii) Topo yếu của H trùng với topo mạnh của nó

(iv) Topo yếu của H là khả metric

Mệnh đề 1.11 (Banach-Alaoglu) Hình cầu đơn vị đóng B(0; 1) của

H là compact yếu

Mệnh đề 1.12 Cho (xa)a∈A và (ua)a∈A là các lưới thuộc H, cho x và

u là các điểm thuộc H Giả sử rằng (xa)a∈A bị chặn, xa * x, ua → u.Thế thì hxa | uai → hx | ui

Mệnh đề 1.13 (xn)n∈N là một dãy bị chặn thuộc H Thế thì (xn)n∈Nchứa một dãy con hội tụ yếu.

Mệnh đề 1.14 Cho (xn)n∈N là một dãy thuộc H Thế thì (xn)n∈N hội

tụ yếu nếu và chỉ nếu nó bị chặn và có nhiều nhất một điểm tụ yếu theodãy

Mệnh đề 1.15 Cho (xn)n∈N và (un)n∈N là các dãy thuộc H, cho x và

u là các điểm thuộc H Thế thì ta có những khẳng định sau:

(∀x ∈ C)(∀y ∈ C) (x, y) ⊂ C (1.25)

Đặc biệt, H và ∅ là các tập lồi

Định nghĩa 1.8 Cho C ⊂ H Bao lồi của C là giao của tất cả các tậpcon lồi của H chứa C, tức là tập con lồi nhỏ nhất của H chứa C Nó

được kí hiệu bởi conv C Bao lồi đóng của C là tập lồi đóng nhỏ nhấtcủa H chứa C Được kí hiệu bởi conv C.

Định nghĩa 1.9 Cho C là một tập con của H, cho x ∈ H, và cho p ∈ C.Thế thì p là một xấp xỉ tốt nhất từ x lên C (hoặc một phép chiếu của

x lên C) nếu kx − pk = dC(x) = inf{kx − yk : y ∈ C} Nếu mỗi điểmthuộc H có đúng một hình chiếu lên C, thì C là một tập Chebyshev.Trong trường hợp này, hình chiếu (hoặc toán tử chiếu) lên C là toán tử,

kí hiệu bởi PC, ánh xạ mỗi điểm thuộc H đến một hình chiếu duy nhấttrên C

Mệnh đề 1.16 Giả sử rằng H có hữu hạn chiều và cho C là một tậpcon Chebyshev của H Thế thì PC liên tục

Mệnh đề 1.17 Cho C là một tập đóng yếu khác rỗng của H Thế thì

(ii) PC là một toán tử affine

Định lý 1.2 Cho C là một tập con lồi của H Thế thì những khẳngđịnh sau là tương đương:

(i) C là tập đóng yếu theo dãy

(ii) C là tập đóng theo dãy

(iii) C là tập đóng.

(iv) C là tập đóng yếu

Định nghĩa 1.10 Cho D là một tập con khác rỗng của H và ánh xạ

T : D → H T được gọi là không giãn nếu

kT x − T yk ≤ kx − yk ∀x, y ∈ D,

và được gọi là không giãn vững nếu

kT x − T yk2 + k(Id − T )x − (Id − T )yk2 ≤ kx − yk2 ∀x, y ∈ D

Mệnh đề 1.19 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng thuộc H Thếthì Id − PC là không giãn vững và 2PC − Id là không giãn

Mệnh đề 1.20 Cho C là một không gian affine con đóng của H Thếthì ta có những khẳng định sau:

(i) PC là liên tục yếu

(ii) (∀x, y ∈ H) kPCx − PCyk2 = hx − y | PCx − PCyi

1.3.2 Hàm lồi

Định lý 1.3 Cho f : H → [−∞, +∞] Thế thì f là lồi nếu epigraphcủa nó epi f = {(x, ξ) ∈ H × R | f (x) ≤ ξ} là một tập con lồi của H ×R.Hơn nữa, f là lõm nếu −f là lồi

Mệnh đề 1.21 Cho f : H → [−∞, +∞] là lồi Thế thì miền xác địnhcủa nó dom f = {x ∈ H | f (x) < +∞} là lồi

Mệnh đề 1.22 Cho f : H → [−∞, +∞] Thế thì f là lồi nếu và chỉnếu

Mệnh đề 1.24 Cho (fi)i∈I là một họ thuộc Γ (H) Thế thì supi∈Ifi ∈

Γ (H)

Định lý 1.4 Cho f : H → (−∞, +∞] là lồi Thế thì những khẳng địnhsau là tương đương:

(i) f là nửa liên tục dưới yếu theo dãy

(ii) f là nửa liên tục dưới theo dãy

(iii) f là nửa liên tục dưới

(iv) f là nửa liên tục dưới yếu

Định nghĩa 1.11 Cho f : H → [−∞, +∞] Liên hợp (hoặc phépbiến đổi Legendre, hoặc phép biến đổi Legendre-Fenchel, hoặc liên hợp

(i) f∗(0) = − inf f (H).

(ii) −∞ ∈ f∗(H) ⇔ f ≡ +∞ ⇔ f∗ ≡ −∞

(iii) Giả sử rằng f∗ là chính thường Thế thì f là chính thường.Mệnh đề 1.26 Cho f : H → [−∞, +∞] Thế thì ta có những khẳngđịnh sau:

(i) Cho (u, ν) ∈ H × R Thế thì (u, ν) ∈ epi f∗ ⇔ h· | ui − ν ≤ f (ii) f∗ ≡ +∞ nếu và chỉ nếu f không tồn tại một hàm affine liêntục nào nhỏ hơn f

Mệnh đề 1.27 f : H → [−∞, +∞] Thế thì f∗ ∈ Γ (H)

Mệnh đề 1.28 (Fenchel-Young) Cho f : H → (−∞, +∞] là chínhthường Thế thì

(∀x, u ∈ H) f (x) + f∗(u) ≥ hx | ui (1.29)

Mệnh đề 1.29 Cho f và g là các hàm từ H đến [−∞, +∞] Thế thì

ta có những khẳng định sau:

(i) f∗∗ ≤ f (ii) f ≤ g ⇒ [f∗ ≥ g∗ và f∗∗ ≤ g∗∗]

(iii) f∗∗∗ = f∗.Mệnh đề 1.30 Cho f : H → [−∞, +∞] Thế thì

f = f∗ ⇔ f = (1/2)k · k2 (1.30)

Mệnh đề 1.31 Cho f : H → (−∞, +∞] Thế thì ta có những khẳngđịnh sau:

(i) (∀α ∈ R++) (αf )∗ = αf∗(·/α)

(ii) (∀α ∈ R++) (αf (·/α))∗ = αf∗.(iii) (∀y, v ∈ H)(∀α ∈ R) (τyf +h· | vi+α)∗ = τvf∗+hy | ·i−hy | vi−α

Mệnh đề 1.32 Cho F ∈ Γ (H × H) là tự liên hợp Thế thì F ≥ h· | ·i

và F∗ ≥ h· | ·i

Định lý 1.5 (Fenchel-Moreau) Cho f : H → (−∞, +∞] là chínhthường Thế thì f là nửa liên tục dưới và lồi nếu và chỉ nếu f = f∗∗.Trong trường hợp này, f∗ cũng là chính thường

Mệnh đề 1.33 Cho f ∈ Γ0(H) Thế thì f∗ ∈ Γ0(H) và f∗∗ = f

Mệnh đề 1.34 Cho f : H → (−∞, +∞] là một hàm lồi chính thường

có một hàm affine liên tục nhỏ hơn f Thế thì ta có những khẳng địnhsau:

(i) dom f ⊂ dom f∗∗ ⊂ domf (ii) epi f∗∗ = epif

(iii) (∀x ∈ H) f∗∗(x) = limy→xf (y)

Mệnh đề 1.35 Cho f và g là các hàm thuộc Γ0(H) sao cho 0 ∈sri(dom f − dom g) Giả sử rằng f + g ≥ 0 và g∗ = g ◦ L, mà L ∈ B(H).Thế thì tồn tại v ∈ H sao cho f∗(v) + g(−Lv) ≤ 0.

Kí hiệu tập tất cả các cực tiểu của f là Argmin f Định lý 1.6 Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường Thế thì

(ii) ∂ f (x) = T

y∈dom f{u ∈ H | hy − x | ui ≤ f (y) − f (x)}

(iii) ∂ f (x) là đóng và lồi

(iv) Giả sử x ∈ dom ∂ f Thế thì f nửa liên tục dưới tại x

Mệnh đề 1.38 Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường, cho x ∈ H.Giả sử x ∈ dom ∂f Thế thì f∗∗(x) = f (x) và ∂f∗∗(x) = ∂f (x)

Mệnh đề 1.39 Cho f : H → (−∞, +∞] là chính thường, cho x ∈ H

và u ∈ H Thế thì u ∈ ∂f (x) ⇔ f (x) + f∗(u) = hx | ui ⇒ x ∈ ∂f∗(u).Mệnh đề 1.40 Cho f ∈ Γ0(H) Thế thì f = (f + ιdom ∂f)∗∗, ở đó ιC làhàm chỉ của C, tức ιC(x) lấy giá trị 0 nếu x ∈ C và lấy giá trị +∞ nếungược lại

Mệnh đề 1.41 Cho f ∈ Γ0(H) Thế thì ran(Id + ∂f ) = H

Cho C là một tập con lồi của H C là nón nếu C = R++C

Kí hiệu cone C là nón nhỏ nhất của H chứa C

Phần trong tương đối mạnh của C là

sri C = x ∈ C ... gian Banach với chuẩn kxk = phx | xi, x ∈ H

Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H l? ?không gian Hilbert không gian H

Phần bù trực giao tập C H kí hiệu C⊥,... tập H 6= ∅ gồm phần tử x, y, z không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện:(i) H không gian tuyến tính trường P ;

(ii) H trang bị tích vơ hướng;

(iii) H khơng gian Banach với chuẩn... A−1 =ranA ranA−1 = dom A Nếu Y không gian vectơ, tập không? ?iểm A

Một lựa chọn toán tử đa trị A : X → 2Y toán tử

T : dom A → Y cho (∀x ∈ dom A) T x ∈ Ax