Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

————— o0o —————

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO

HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ THANH KHUYÊN

MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO

HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT

VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Trương Minh Tuyên

2 TS Phạm Hồng Trường

Thái Nguyên – 2020

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS Trương Minh Tuyên và

TS Phạm Hồng Trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến

TS Trương Minh Tuyên và TS Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướngdẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các thầy giáo, cô giáotrường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Caohọc Toán K12A3 đã tạo điều kiện tốt nhất và tận tình giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPTLương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện giúp

đỡ tôi trong suốt thời gian đi học

Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân,bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quátrình học tập và nghiên cứu

Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnhcao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau

-Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót vàhạn chế Tôi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô vàcác bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

1.1 Không gian Banach phản xạ 31.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 41.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman 41.2.2 Phép chiếu Bregman 201.2.3 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 24Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp

2.1 Toán tử giải hỗn hợp và tính chất 292.2 Phát biểu bài toán và phương pháp lặp 332.3 Sự hội tụ mạnh của phương pháp 33

Một số ký hiệu và viết tắt

argminx∈XF (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X

Mở đầu

Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đóphải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co củaBanach (1922) Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và khônggian khác nhau Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vựctoán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạohàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng,bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu,

đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó

T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó đượcgọi là một điểm bất động của T Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việcgiải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thíchhợp Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong

X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = ychính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với

x ∈ X Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất độngcủa một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làmtoán trong và ngoài nước

Trong thời gian gần đây, lớp bài toán cân bằng mà tổng quát hơn là bài toáncân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Hilbert hay Banach đã thu hút sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước

Một trong những khó khăn khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động

và bài toán cân bằng trong không gian Banach là ta phải sử dụng đến ánh xạđối ngẫu của không gian Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đốingẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính Do đó việctìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu trongkhông gian Banach là “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử

dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thaythế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux.Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Darvish và cáccộng sự trong bài báo [14] về một phương pháp chiếu (kết hợp phương phápchiếu lai ghép và chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung của một họ hữuhạn toán tử Bregman không giãn tương đối yếu và nghiệm của hệ bài toán cânbằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ

Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banachphản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và một số lớp toán tửBregman không giãn

Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợptổng quát và bài toán điểm bất động

Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kếtquả của Darvish V và các cộng sự trong tài liệu [14] về một phương pháp chiếucho bài toán tìm nghiệm chung của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát vàbài toán điểm bất động cho lớp ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu trongkhông gian Banach phản xạ

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này bao bồm hai mục Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bảncủa không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếuBregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn Nội dung của chương nàyđược tham khảo trong các tài liệu [1, 15, 21, 24, 27]

1.1 Không gian Banach phản xạ

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banachphản xạ

Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ,nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X∗∗ của X, đều tồn tạiphần tử x thuộc X sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ X∗.Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗, xi để chỉ giá trịcủa phiếm hàm x∗ ∈ X∗ tại x ∈ X

Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X là một không gian Banach Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương:

i) X là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trongkhông gian tuyến tính định chuẩn

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi n ≥ 1 Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn, x∗i → hx, x∗i Do đó, trong bấtđẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.1.5 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng

1.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman

không giãn

Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm

số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < ∞} Với mỗi x ∈int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f0(x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trêntồn tại đều trên tập {y ∈ X : kyk = 1} Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đềutrên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1.Chú ý 1.2.3 i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tửgradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.

ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì fliên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpôyếu* trên int domf (xem [6])

iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M ,với mọi x ∈ X

Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều

Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8) Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều,thì f liên tục đều trên X

Chứng minh Lấy bất kỳ u, v ∈ X Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi

Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới.

Ví dụ 1.2.6 Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi

Mệnh đề 1.2.7 Hàm f : X −→ (−∞, ∞] là lồi khi và chỉ khi

f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) (1.1)với mọi x, y ∈ X và mọi t ∈ [0, 1]

Chứng minh Giả sử f là hàm lồi trên X Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức(1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1) Nếu x hoặc y không thuộc dom f , thì hiển nhiênbất đẳng thức (1.1) đúng Giả sử x, y ∈ dom f Khi đó ta có (x, f (x)) ∈ epi f và(y, f (y)) ∈ epi f Vì epi f là tập lồi, nên (t(x, f (x)) + (1 − t)(y, f (y))) ∈ epi f vớimọi t ∈ (0, 1), tức là (tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y)) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1).Suy ra

Mệnh đề 1.2.8 Nếu f là một hàm lồi và x ∈ dom f , thì các khẳng định sau làđúng:

i) Hàm ϕf(y, x; ·) : R \ {0} −→ (−∞, ∞] xác định bởi

ϕf(y, x; t) = f (x + ty) − f (x)

t

là hàm không giảm trên mỗi khoảng (0, ∞) và (−∞, 0)

ii) Với mọi y ∈ X, giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) là tồn tại và

ii) Theo i) giới hạn f0(x, y) = limt↓0ϕf(y, x; t) tồn tại và f0(x, y) ≤ ϕf(y, x; 1),tức là

f0(x, y) ≤ f (x + y) − f (x)

Mệnh đề 1.2.9 Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàmlồi trên D Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây:

i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cụccủa f trên D

ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.Chứng minh i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0không là điểm cực tiểu toàn cục Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1) < f (x0)

Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận Ucủa x0 sao cho

f (x0) ≤ f (x),với mọi x ∈ D ∩ U Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0+ t(x1− x0) ∈ D ∩ U , do

Từ tính lồi chặt của f suy ra

f (x1+ x2

2 ) <

1

2(f (x1) + f (x2)) = m,mâu thuẫn với m = minx∈Df (x) Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất.Định nghĩa 1.2.10 Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường vànửa liên tục dưới Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định bởi

Dễ thấy f khả vi tại mọi x 6= 0, nên ta có ∂f (x) = {1} nếu x > x0 và

∂f (x) = {−1} nếu x < x0 Tại x0, ta có ξ ∈ ∂f (x0) khi và chỉ khi

|x − x0| ≥ ξ(x − x0), ∀x ∈ R

Điều này tương đương với ξ ∈ [−1, 1] và do đó ∂f (x0) = [−1, 1]

Ví dụ 1.2.12 Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, g(x) = 1

Thật vậy, f ∈ ∂g(0) khi và chỉ khi

1

2kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X

Thay y bởi λy với λ > 0, ta nhận được

λ

2kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X

Cho λ → 0, ta nhận được hy, f i ≤ 0 với mọi y ∈ X Thay y bởi −y ta thu được

hy, f i ≥ 0 Suy ra, hy, f i = 0 với mọi y ∈ X Do đó, f = 0 Vậy ∂g(0) = {0}.Giả sử x 6= 0, dễ dàng kiểm tra được rằng

ka + bk2 ≤ kak2+ kbk2+ 2kakkbk, ∀a, b ∈ X,

hz, f i ≤ 1

2(λkzk

2+ 2kxkkzk)

ra, |hz, f i| ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X Với z = x, ta nhận được

Trong bất đẳng thức đầu tiên của (1.2), với x = z và λ < 0, ta nhận được

hx, f i ≥ λ + 2

2 kxk2.Cho λ → 0−, ta được

Từ (1.3) và (1.4), ta nhận được

hx, f i = kxk2 = kf k2.Tóm lại, ta nhận được

Định nghĩa 1.2.13 Hàm liên hợp của f là f∗ : X∗ −→ (−∞, ∞] và được xácđịnh bởi

Nếu x∗ < 0, vì x∗x − e2x → ∞ khi x → −∞, nên f∗(x∗) = ∞

Giả sử x∗ > 0, đặt g(x) = x∗x − e2x với x ∈ R Ta có g0(x) = x∗− 2e2x = 0 khi

Định nghĩa 1.2.15 Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm

f : X −→ (−∞, ∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn haiđiều kiện sau:

L1) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteauxtrên int domf và dom5f = int domf ;

L2) Phần trong int domf∗ của miễn hữu hiệu của f∗ khác rỗng, f∗ khả viGâteaux trên int domf∗ và dom5f∗ = int domf∗

Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f∗ (xem [6]) Do đó, từ các điều kiện L1) và

Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với 5f (xem [9]) Bauschke

và cộng sự (xem [4]) đã chỉ ra các điều kiện L1) và L2) cũng suy ra các hàm f và

f∗ là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng Nếu X là một khônggian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = 1

pkxkp, 1 < p < ∞ là hàm Legendre

Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ

Mệnh đề 1.2.16 (xem [20], Mệnh đề 2.1) Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả viFréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì 5f liên tục đều trênmỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X∗

Chứng minh Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn{xn}, {yn} và số dương ε sao cho kxn − ynk → 0, nhưng

h5f (xn) − 5f (yn), wni ≥ 2ε,trong đó {wn} là một dãy trong X thỏa mãn kwnk = 1 với mọi n Vì f khả viFréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho

f (yn+ twn) − f (yn) − th5f (yn), wni ≤ εt,

với mọi t ∈ (0, δ) Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có

h5f (xn), (yn+ twn) − xni ≤ f (yn+ twn) − f (xn),với mọi n ≥ 1

Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregmantrong không gian Banach Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi khả viGâteaux Hàm Df : domf × int domf −→ [0, ∞) xác định bởi

Df(y, x) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi, (1.5)được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2])

Nhận xét 1.2.17 i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩathông thường, vì nó không có tính đối xứng

ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df(·, x) là hàm lồi chặt và

5Df(·, x)(y) = 5f (y) − 5f (x)

iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức bađiểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f ,

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = h5f (z) − 5f (y), x − yi, (1.6)

và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f ,

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x)

+ Df(ω, z) = h5f (z) − 5f (x), y − ωi

(1.7)

Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

Df(x, y) + Df(y, z) − Df(x, z) = f (x) − f (y) − h5f (y), x − yi

+ f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi

− [f (x) − f (z) − h5f (z), x − zi]

= h5f (z) − 5f (y), x − yi,suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh

Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có

Df(y, x) − Df(y, z) − Df(ω, x) + Df(ω, z) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi

− [f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi]

− [f (w) − f (x) − h5f (x), w − xi]+ f (w) − f (z) − h5f (z), w − zi

= h5f (z) − 5f (x), y − ωi,suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh

Định nghĩa 1.2.18 Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux.Khi đó, f được gọi là:

a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nótại x, vf : int domf × [0, ∞) −→ [0, ∞) xác định bởi

vf(x, t) = inf{Df(y, x) : y ∈ domf, ky − xk = t},

là dương với mọi t > 0;

b) lồi hoàn toàn nếu nó là lồi hoàn toàn tại mọi x ∈ int domf ;

c) lồi hoàn toàn trên các tập con bị chặn nếu vf(B, t) là dương với mọi tậpcon bị chặn B của X và t > 0, trong đó modul của tính lồi hoàn toàn củahàm f trên tập B là hàm vf : int dom f × [0, ∞) −→ [0, ∞) xác định bởi

vf(B, t) = inf{vf(x, t) : x ∈ B ∩ int domf }

Tính chất của modul lồi của hàm lồi f được giới thiệu trong mệnh đề dướiđây

Mệnh đề 1.2.19 (xem [2], Mệnh đề 1.1.8) Cho f là một hàm lồi, chính thường,nửa liên tục dưới Nếu x ∈ int dom f thì ta có các khẳng định dưới đây:

i) Miền hữu hiệu của vf(x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf(x)) hoặc [0, τf(x)]với τf(x) ∈ [0, ∞);

ii) Nếu c ∈ [1, ∞) và t ≥ 0, thì vf(x, ct) ≥ cvf(x, t);

iii) Hàm vf(x, ·) là cộng tính trên, tức là vf(x, s + t) ≥ vf(x, s) + vf(x, t) vớimọi s, t ∈ [0, ∞);

iv) Hàm vf(x, ·) là đơn điệu tăng và nó là đơn điệu tăng ngặt nếu và chỉ nếu

f là hàm lồi hoàn toàn tại x

Chứng minh i) Giả sử x ∈ int dom f và vf(x, t) < ∞ Khi đó, từ định nghĩa của

vf(x, t) tồn tại yt ∈ dom f sao cho kyt− xk = t Vì dom f là tập lồi nên đoạn nối

x và yt, ký hiệu là [x, yt] nằm hoàn toàn trong dom f Suy ra với mọi s ∈ [0, t]tồn tại ys ∈ dom f sao cho kys− xk = s Như vậy khoảng (0, t) chứa trong miềnxác định của vf(x, ·) khi mà vf(x, t) < ∞ Điều này chỉ ra rằng miền xác địnhcủa vf(x, ·) là một khoảng có dạng [0, τf(x)) hoặc [0, τf(x)]

ii) Nếu c = 1 hoặc nếu t = 0 hoặc nếu vf(x, ct) = ∞ thì kết luận của mệnh đề

là hiển nhiên Trong các trường hợp khác, cho ε là một số thực dương Từ địnhnghĩa của vf(x, ct), tồn tại u ∈ dom f sao cho ku − xk = ct và

vf(x, ct) + ε > Df(u, x) = f (u) − f (x) − h5f (x), u − xi (1.8)

= βf (u) + (1 − β)f (x) − f (uβ)

β+

= 1β



f (uβ) − f (x) −

f (x + α

β(uβ − x)) − f (x)α

β



Cho α & 0, từ định nghĩa của hàm vf(x, ·), ta nhận được

vf(x, ct) + ε > cDf(uβ, x) ≥ cvf(x, t)

Vì ε là số dương tùy ý nên ta nhận được vf(x, ct) ≥ cvf(x, t)

iii) Cho s và t là các số thực dương Khi đó, từ ii) ta có

vf(x, s + t) = vf(x, s + t

s s) ≥

s + t

s vf(x, s)

vf(x, ·) là hàm tăng ngặt thì hiển nhiên f là hàm lồi hoàn toàn.

Định nghĩa 1.2.20 Một hàm f : X → (−∞, ∞] được gọi là:

(a) đồng xác định nếu dom f∗ = X∗;

(b) bức (xem [27]) nếu tập mức dưới của f bị chặn hoặc tương đương vớilimkxk→∞f (x) = ∞, trong đó tập mức dưới của f được xác định bởi

Khi đó, Vf là ánh xạ không giãn và Vf(x, x∗) = Df(x, 5f∗(x∗)) với mọi x ∈ X

và mọi x∗ ∈ X∗ Hơn nữa, từ định nghĩa của dưới vi phân, ta có

Vf(x, x∗) + hy∗, 5f∗(x∗) − xi ≤ Vf(x, x∗+ y∗) (1.12)với mọi x ∈ X và x∗, y∗ ∈ X∗ [16] Nếu thêm điều kiện f : X → (−∞, ∞] làhàm chính thường, nửa liên tục dưới, thì f∗ : X∗ → (−∞, ∞] là hàm lồi, chínhthường và nửa liên tục trong tô pô *yếu (xem [17]) Do đó, Vf là hàm lồi theobiến thứ hai Vì vậy, với mọi z ∈ X, từ 5f = (5f∗)−1, ta có

Chứng minh Vì dãy {Df(xn, x0)} bị chặn nên tồn tại một số dương M sao cho

Df(xn, x0) ≤ M với mọi n ≥ 1 Từ định nghĩa của modul của tính lồi hoàn toàn

vf(x, t) ta có

vf(x0, kxn − x0k) ≤ Df(xn, x0) ≤ M (1.14)Suy ra dãy {vf(x0, kxn − x0k)} cũng bị chặn bởi M Vì f là hàm lồi hoàn toànnên theo Mệnh đề 1.2.19 iv) vf(x, ·) là hàm tăng ngặt và dương trên (0, ∞) Suy

ra vf(x, 1) > 0 với mọi x ∈ X

Bây giờ, giả sử ngược lại rằng dãy {xn} không bị chặn Khi đó, tồn tại một dãycon {xnk} ⊂ {xn} sao cho limk→∞kxnkk = ∞ Do đó limk→∞kxnk − x0k = ∞.

Từ Mệnh đề 1.2.19 ii), ta có

vf(x0, kxnk − x0k) ≥ kxnk − x0kvf(x, 1) → ∞,suy ra dãy {vf(x0, kxnk − x0k)} không bị chặn, mâu thuẫn với (1.14) Vậy dãy{xn} bị chặn

Mệnh đề 1.2.22 (xem [23], Mệnh đề 2.2) Nếu x ∈ domf , thì các khẳng địnhdưới đây là tương đương:

i) Hàm f là lồi hoàn toàn tại x;

ii) Với bất kỳ dãy {yn} ⊂ domf,

và chỉ nếu nó ổn định dãy trên C

Mệnh đề 1.2.24 (xem [8], Bổ đề 2.1.2) Hàm f : X −→ (−∞, ∞] là một hàmlồi và C ⊂ int dom f Khi đó các khẳng định sau là tương đương

i) f là ổn định dãy trên C;

ii) Với mọi dãy {xn} và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãnlimn→∞Df(yn, xn) = 0 thì limn→∞kxn− ynk = 0

Chứng minh i)⇒ii) Giả sử f là ổn định dãy trên C, nhưng tồn tại hai dãy {xn}

và {yn} trong C với {xn} là dãy bị chặn thỏa mãn limn→∞Df(yn, xn) = 0 nhưng

kxn − ynk 9 0 Khi đó, tồn tại số dương α và các dãy con {xnk} ⊂ {xn} và{ynk} ⊂ {yn} thỏa mãn kxnk − ynkk ≥ α với mọi k ≥ 1 Đặt E = {xn}, khi đó E

là tập bị chặn Do đó

Df(ynk, xnk) ≥ vf(xnk, kxnk − ynkk) ≥ vf(xnk, α) ≥ inf

x∈Evf(x, α),

n > vf(xn, t) = inf{Df(y, xn) : ky − xnk = t}

Suy ra tồn tại dãy {yn} ⊂ E sao cho kyn− xnk = t và Df(yn, xn) < 1/n với mọi

n ≥ 1 Do đó limn→∞Df(yn, xn) = 0 Từ tính bị chặn của dãy {xn} và giả thiết

ta nhận được

0 < t = lim

n→∞kxn− ynk = 0,đây là điều vô lý Vậy infx∈Evf(x, t) > 0 với mọi tập con bị chặn E trong C vàmọi số thực dương t, hay f là ổn định dãy trên C

Đặt Br = {x ∈ E : kxk ≤ r} với r > 0 Hàm g : E −→ R được gọi là lồiđều trên các tập con bị chặn của E [26] nếu ρr(t) > 0 với mọi r, t > 0, trong đó

Ta có mệnh đề dưới đây

Mệnh đề 1.2.25 [18, Bổ đề 2.1] Cho E là một không gian Banach và r > 0.Cho g : E −→ R là một hàm lồi và lồi đều trên các tập con bị chặn của E Khiđó