Phương pháp cực trị và ứng dụng

51 3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ 53 3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình.. 57 3.2 Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương trình có

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Mục lục

DANH MỤC HÌNH VẼ 3

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 5 1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) 5

1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số 5

1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 5

1.2 Các điều kiện đủ 6

1.3 Định lý cơ bản 7

2 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ 9 2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số 9

2.1.1 Phương pháp 9

2.1.2 Ví dụ 10

2.1.3 Nhận xét về phương pháp 12

2.1.4 Bài tập áp dụng 13

2.2 Phương pháp miền giá trị 14

2.2.1 Phương pháp 14

2.2.2 Ví dụ 14

2.2.3 Nhận xét về phương pháp 18

2.2.4 Bài tập áp dụng 18

2.3 Phương pháp bất đẳng thức 19

2.3.1 Phương pháp 19

2.3.2 Ví dụ 21

2.3.3 Nhận xét về phương pháp 27

2.3.4 Bài tập áp dụng 28

2.4 Phương pháp lượng giác hóa 29

2.4.1 Phương pháp 29

2.4.2 Ví dụ 29

2.4.3 Nhận xét về phương pháp 31

2.4.4 Bài tập áp dụng 31

2.5 Phương pháp hình học 32

2.5.1 Phương pháp 32

2.5.2 Ví dụ 32

2.5.3 Nhận xét về phương pháp 35

2.5.4 Bài tập áp dụng 35

2.6 Phương pháp vectơ 36

2.6.1 Phương pháp 36

2.6.2 Ví dụ 37

2.6.3 Nhận xét về phương pháp 40

2.6.4 Bài tập áp dụng 40

2.7 Ví dụ tổng quát 41

2.7.1 Ví dụ 41

2.7.2 Bài tập áp dụng 51

3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ 53 3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình 53

3.1.1 Phương pháp ứng dụng 53

3.1.2 Bài tập áp dụng 57

3.2 Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương trình có chứa tham số 58

3.2.1 Phương pháp ứng dụng 58

3.2.2 Bài tập áp dụng 64

3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 65

3.3.1 Phương pháp ứng dụng 65

3.3.2 Bài tập áp dụng 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối và cực trị tương đối Trong luậnvăn này khái niệm cực trị được đề cập đến là cực trị tuyệt đối (gồm giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất) Trong chương trình phổ thông kháiniệm hàm nhiều biến chưa được đề cập đến, do đó trong luận văn này

dù có những bài toán nhiều biến nhưng sẽ được đưa về để giải theo bàitoán cực trị một biến hoặc của một tập hợp

Luận văn "Phương pháp cực trị và ứng dụng" sẽ trình bàycác phương pháp cực trị để tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số, biểu thức, tập hợp và ứng dụng của các phương phápnày Tuy nhiên việc chia các phương pháp chỉ là tương đối, cùng với

đó các phương pháp có rất nhiều ứng dụng khác nhau, trong phạm

vi phương pháp toán sơ cấp và giới hạn của một bài luận văn thạc sĩkhông thể trình bày hết tất cả các phương pháp và ứng dụng được Do

đó, luận văn sẽ đề cập và đi sâu vào 6 phương pháp cơ bản và 3 ứngdụng thường gặp trong các bài toán toán phổ thông nhất

Trên cơ sở đó, nội dung luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Gồm các kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.Chương 2: Phương pháp tìm cực trị

Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàmsố; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phươngpháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ Cuốichương là các ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác nhau.Chương 3: Ứng dụng của phương pháp cực trị

Trình bày 3 ứng dụng thường gặp trong toán học sơ cấp: Ứng dụngcực trị để giải phương trình và bất phương trình; ứng dụng cực trị đểgiải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứngdụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức Mỗi ứng dụng có các ví dụchi tiết và bài tập áp dụng

Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắctới người thầy kính mến PGS TS Nguyễn Đình Sang Người đã trựctiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoànthành luân văn này

Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tinhọc, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội,những người đã giảng dạy, hướng dẫn em trong quá trình học, cùngcác bạn bè đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em trong học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã nỗ lực, cố gắng nhưng hiểu biết có hạn và thời gian hạnchế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót Kínhmong các thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015

Học viênĐào Thị Ngân

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90|.Hình 2: Tam giác ABC đều cạnh đơn vị 2

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ

nhất (GTNN)

1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R Số M được gọi là GTLNcủa hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

và dẫn đến khái niệm max

[a,b] f (x) , min

[a,b] f (x)

1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp

• Cho U là một tập con của tập số thực R Số α được gọi là cận trên đúngcủa U, ký hiệu α = sup U, nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:



α ≤ x, ∀x ∈ U

∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: α − ε < xε ≤ α

Nếu α ∈ U thì α là số lớn nhất của U, ký hiệu α = max U Vậy:

Sup và inf của một tập bao giờ cũng tồn tại nhưng có thể là ±∞

Chú ý: Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] (hay tổng quát hơn là f xác địnhtrên tập D) Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y} Khi đó:

max U = max

[a,b] f (x)max

D f (x),min U = min

[a,b] f = min {f (a) , f (b)}

• Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định của hàm f (x) mà tại đó đạohàm của nó bằng 0 hoặc không tồn tại thì được gọi là điểm dừng (điểm tới hạn)của hàm đã cho

Giả sử f (x)là hàm số liên tục trên[a, b] ⊂ R và chỉ có một số hữu hạn điểm

tới hạn x1, x2, , xn thì:

Định lí 1.1 Giả sử y = f (x) là hàm liên tục trên [a, b] ⊂ R Khi đó:

1 Phương trình f (x) = c có nghiệm thuộc [a, b] khi và chỉ khi:

1.Điều kiện cần: Đặt h (x) = f (x) − c Theo định nghĩa, ∃x1 ∈ [a, b],

f (x1) = min

[a,b] f và ∃x2 ∈ [a, b] , f (x2) = min

[a,b] f Khi đó h (x1) < 0, h (x2) > 0

Vì h là hàm liên tục nên tồn tại nghiệm h (x) = 0 trên [a, b]

Điều kiện đủ: Ngược lại, nếu∃x0 ∈ [a, b] màc = f (x0)thìmin f ≤ f (x0) ≤max f Do đó min f ≤ c ≤ max f

2.Điều kiện cần: Vì f (x) ≥ c có nghiệm ∈ [a; b] nên ∃x0 ∈ [a; b] sao cho

f (x0) ≥ c Ta luôn có max

[a,b] f (x) ≥ f (x) , ∀x ∈ [a; b], suy ra max

[a,b] f (x) ≥

f (x0) ≥ c

Điều kiện đủ: Ngược lại, theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) =max

[a,b] f (x) Vì min

[a,b] f (x) < c nên f (x1) < c Vậy bất phương trình f (x) < c

có nghiệm thuộc [a; b]

4.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) = min

[a,b] f (x)

Vì giả thiết f (x) > c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1) > c Suy ra min

[a,b] f (x) > c.Điều kiện đủ: Ngược lại, min

[a,b] f (x) > c và f (x) ≥ min

[a,b] f (x) , ∀x ∈ [a; b],nên f (x) > c, ∀x ∈ [a; b]

5.Điều kiện cần: Theo định nghĩa ∃x1 ∈ [a; b] sao cho f (x1) = max

[a,b] f (x)

Vì giả thiết f (x) ≤ c, ∀x ∈ [a; b] nên f (x1) ≤ c Suy ra max

[a,b] f (x) ≤ c.Điều kiện đủ: Ngược lại, max

•Ứng dụng của các phương pháp tìm cực trị: Ứng dụng cực trị để giải phươngtrình và bất phương trình, ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình

và bất phương trình có chứa tham số, ứng dụng cực trị để chứng minh bất đẳngthức

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ

Các bài toán tìm cực trị rất đa dạng và phức tạp Mỗi bài toán có thể áp dụngcác phương pháp khác nhau để giải quyết hoặc có những bài toán lại cần phốihợp nhiều phương pháp khác nhau Chương này sẽ trình bày một số phươngpháp cực trị để giải các bài toán tìm cực trị

2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số

2.1.1 Phương pháp

Xác định tập xác định của hàm số Đùng đạo hàm để khảo sát chiều biếnthiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng các giá trị đặc biệt trên tậpxác định của hàm số để suy ra GTLN, GTNN

Bài toán 2.1 Cho hàm số y = f (x) có tâp xác định D Tìm GTLN vàGTNN của hàm số

2n−1.Kết luận:

Vậy max y = y (0) = 1; min y = yπ

Suy ra S0(t) = 32t − 2 Cho S0(t) = 0 ⇔ t = 1

16.

Tính S (0) = 12, S

14



= 25

2 , S

 116

Phương trình f (x) = 0 có nghiệm x0 nào đó Ta lập bảng biến thiên:

Kết luận:

Vậy max y = max |f (x) | = 400; min y = min |f (x) | = 0

Hàm y là hàm tuần hoàn chu kì 2π nên ta chỉ cần xét trên [0; 2π].

5 − t > 0, ∀t ∈ [−1; 1] Hàm đồng biến trên [−1; 1] nên:

max u = u (1) = √

5; min u = u (−1) = −√

5.Tương tự với hàm v = −sin

Đáp số: min A = 17 − 5

√5

4 tại x = y =

1 +√

5

4 .

2.2 Phương pháp miền giá trị

[a,b] f = c và max

[a,b] f = d.Phương trình f (x) = y0 xác định trên R sẽ có các trường hợp sau:

1 Phương trình ax2+ bx + c = 0 (a 6= 0) có nghiệm khi và chỉ khi ∆ ≥ 0

2 Phương trình a sin x + b cos x = c có nghiệm khi và chỉ khi a2+ b2 ≥ c2

a2+ 1 ≥ 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.Kết luận:

Vậy a = 0 thì GTLN của hàm số y đạt giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2.2.4 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = cos 2x + 2 sin 2x + 3

Ví dụ 2.2.6 Cho (xy + yz + zx) = 1 Tìm GTNN của M = x2+ 2y2+ 5z2

Cách giải

• Khi z = 0, khi đó xy = 1 và M = x2+ 2y2

> 2√2|xy| = 2√

2.2.3 Nhận xét về phương pháp

Phương pháp này cần lợi dụng ràng buộc của tập xác định từ đó giới hạnđược tập giá trị Với một số bài toán cần biến đổi về phương trình có điều kiệnđặc biệt để tìm cực trị

Bất đẳng thức AG cho hai, ba số không âm:

• Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ta có:

a + b

2 ≥ √ab.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b

• Cho a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 ta có:

a + b + c

3 ≥ √3

abc.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức Cauchy cho 2 cặp số, 3 cặp số:

• (a2+ b2) (x2+ y2) ≥ (ax + by)2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay

• (a2+ b2 + c2) (x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by + cz)2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bx = ay và cx = az

c Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cho hàm số f (x) liên tục và nghịch biến trên [0; b] và a ∈ [0; b] Ta có:

a =

a − 9a4

b =

b − 4b

Ví dụ 2.3.3 Cho a, b, c ∈ N∗ và a + b + c = 100 Tìm GTLN của M = abc.Cách giải

Không mất tổng quát giả sử a > b > c thì a = a, a > b, a > c, suy ra:

Ví dụ 2.3.5 (Đề thi Đại học 2007 - A) Cho x, y, z là các số thực dương thayđổi thỏa mãn điều kiện xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

y và z2(x + y) ≥ 2z√

z Suy ra:

√x

y√

y + 2z√

z +

2y√y

z√

z + 2x√

x +

2z√z

,hay

P ≥ 29



− 6



Tiếp theo là một số ví dụ sử dụng phương pháp Cauchy.

Ví dụ 2.3.6 Cho ba số dươnga, b, c thỏa mãn3x+4y +25z = 39 Tìm GTNNcủa biểu thức M = 3

√x

2

·



√3x

√

3 ·√3x =

√y

3 · 2√y =

√z

6 · 5√z3x + 4y + 25z = 39

z = 65

"



43

2

+



34

2#h

(3x)2+ (4y)2i = 5

√337

12 .

Suy ra P ≤ 5

√337

12 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

Một số ví dụ áp dụng phương pháp giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 2.3.8 : (Đại học D - 2008) Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:

P = (x − y) (1 − xy)(1 + x)2(1 + y)2.

Vì x, y không âm nên ta có:

|P | = | (x − y) (1 − xy) |

| (1 + x)2(1 + y)2| ≤

(x + y) (1 + xy)[(x + y) + (1 + xy)]2.

Vậy max f (x) = 2 khi x ∈ [15; +∞)

.Suy ra 2t6+ 3t4+ 18t2− 23t ≤ 0 Thế lại vị trí đặt ta được:

f (x) = 2 cos3x + 3 cos2x + 18 cos x − 23√

cos x ≤ 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

2 (x + 1) ln (x + 1) − x2+ x (2 − 3 ln 3) ≥ 0.Kết luận:

Vậy min f (x) = 0 tại x = 0 và x = 2

+ (1 + b)



1 + 1a

11 ; b =

2√33

33 ; c =

√55

33 .

Bài 6: Tìm GTNN của f (x) = px + 3 − 4√

x − 1+px + 15 − 8√

x − 1.Đáp số: min f (x) = 2, tại x ∈ [5 : 17]

Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức:

P = √

x2+ 2x + y2+ 4y + 5 + √

x2+ 4x + y2− 10y + 29.Đáp số: min P = 3√

2.4 Phương pháp lượng giác hóa

2.4.1 Phương pháp

Trong nhiều bài toán ta nên đưa dạng đại số về dạng lượng giác để việc giảitoán thuận lợi hơn Dưới đây là một số cách đặt thường dùng:

• x2 + y2 = 1 Đặt x = sin α, y = cos α với α ∈ [0; 2π]

• x2 + y2 = a Đặt x = a sin α, y = a cos α với α ∈ [0; 2π]

, hoặc x = cos α

, hoặc x =



∪



π;3π2



• |x| ≥ m Đặt x = m

cos α, với α ∈

h

0; π2



∪



π;3π2



• √x2 + 1 hoặc không ràng buộc Đặt x = tan α , với α ∈

−π

2 ;

π2



• √x2 + m2 hoặc không ràng buộc Đặt x = m tan α, với α ∈

−π

2 ;

π2



Vì |c| ≤ 1, |d| ≤ 1, đặt |c| = cos α, |d| = cos β, với 0 ≤ α, β ≤ π

Ví dụ 2.4.2 Cho số thực x, y thỏa mãn x2+ y2 = 1 Tìm GTLN, GTNN của

Biến đổi tan theo sin và cos ta được:

P = sin2a cos2b − sin2b cos2a
cos2a cos2b − sin2b sin2a

Vậy min P = −1

4 tại x = 0, y = ±1; max P =

1

4 tại x = ±1, y = 0.

2.4.3 Nhận xét về phương pháp

Phương pháp này thường áp dụng với bài toán có chứa căn mà biểu thứctrong căn có điều kiện Nếu không đặt bằng lượng giác thì cách giải khác rấtphức tạp Tuy nhiên khi đặt cần chú ý điều kiện của biến mới sau khi đặt

2.4.4 Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = √

1 − x +√

1 + x.Đáp số : max y = 2, tại x = 0 min y = √

2, tại x = ±1.Bài 2: Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức:

2 − 2 và max y = 2√

2 − 2.Bài 4: Cho các số x, y, z, t liên hệ theo biểu thức:

√3

2 , tại x = y = z =

√3

3 .

2.5 Phương pháp hình học

2.5.1 Phương pháp

Phương pháp này sử dụng các tính chất trong hình học để giải các bài toáncực trị đại số Tuy nhiên các tính chất trong hình học rất nhiều nên không cóphương pháp cụ thể hay dạng bài tập tổng quát Các tính chất thường dùng

là tính chất về tam giác, đường thẳng, đường tròn, khoảng cách hai điểm, Chẳng hạn khi cho điều kiện là hàm bậc nhất thì ta nghĩ tới tính chất đườngthẳng, cho điều kiện (x − a)2 + (y − b)2 thì ta nghĩ tới tính chất đường trònhoặc khoảng cách giữa hai điểm

Trong hệ trọa độ Oxy, lấy điểm M (x − 1; −y) , N (x + 1; y) Với ba điểmbất kì, ta có OM + ON ≥ M N nên:

A ≥ 2√

1 + y2 + |y − 2| = f (y).Xét hai trường hợp:

Ta có P = a (2 − b) + b (2 − c) + c (2 − a), ∀a, b, c ∈ [0; 1].

• Nếu a = b = c = 0 thì P = 0, suy ra GTNN của P bằng 0

• Nếu a, b, c không đồng thời bằng 0 Ta dựng 4ABC đều cạnh 2 Trêncạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = a, BN = b,

CP = c Ta có hình sau:

ý Không mất tổng quát ta cho a = 2, b = 0, c ∈ [0; 2].

Ta biến đổi biểu thức:

P = (x − 1)2 + (y − 1)2+ 2√

2 − 3

Đặt A (1; 1), B (x; y) khi đó P = AB2+ 2√

2 − 3

Xét trên miền xác định được gách chéo:

• Dễ thấy tại (1; 0)và (0; 1), AB đạt giá trị lớn nhất và AB = 1 Khi đó giátrị lớn nhất của P là 2√

2 ;

√22

!

2.5.3 Nhận xét về phương pháp

Đây là phương pháp khó đòi hỏi cá nhân thành thạo tính chất hình học, từ

đó có sự liên tưởng vận dụng vào bài toán cực trị đại số

T = ac + bd + cd.Đáp số: max T = 25 + 20

√2

Khai triển bất đẳng thức trên ta được:

M A2+ M B2+ M C2+ 2M A.M B cos−−→

M A,−−→

M B+2M B.M C cos−−→

x +

√9

Ví dụ 2.6.2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện:

ab + bc + ca = 3abc.Tìm GTNN của biểu thức:

!

, −→v = 1

b;

√3c

! Ta có:

a2 + b2+ c2 ≤ 9R2.

Vì a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C nên:

4R2 sin2A + sin2B + sin2C

≤ 9R2

Suy ra sin2A + sin2B + sin2C
≤ 9

4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

4 khi 4ABC đều

Ví dụ 2.6.4 Cho tam giác nhọn ABC Tìm GTNN của biểu thức:

M = cos 2A + cos 2B + cos 2C.Cách giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp 4ABC Vì 4ABC là tam giác nhọnnên O nằm trong 4ABC Với mọi 4ABC ta có

OB,−→

OC+ 2OC.OA cos−→

OC,−→

OA ≥ 0