Bài soạn Kiểm tra 01.2011

Khi đó d gọi là tiếp tuyến của parabol P, vẽ tiếp tuyến đó.. Từ đồ thị suy ra, tập những giá trị của m để d cắt P tại 2 điểm có hoành độ dơng.. Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đ

Trờng thcs vĩnh an đề kiểm tra học sinh giỏi lớp 9

Môn : Toán

Bài 1:

Cho biểu thức:

3 3

3

x

= − − + + ữữ + − ữữ

1 Rút gọn biểu thức A

2 Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.

Bài 2:

Cho parabol (P): 1 2

2

y= − x và đờng thẳng :d y= − +2x m ( m là tham số).

1 Với giá trị nào của m thì (P) và d chỉ có một điểm chung? Khi đó d gọi là tiếp tuyến của parabol (P), vẽ tiếp tuyến đó

2 Vẽ parabol (P) và đờng thẳng :d y= − +2x m trên cùng một đồ thị Từ đồ thị suy ra,

tập những giá trị của m để d cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ dơng

3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau

4 Tìm các giá trị của m để phơng trình x4−4x2+2m=0 có 4 nghiệm phân biệt Tính

các nghiệm đó theo m

Bài 3:

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 23 5

1

y x

=

2 Hãy tìm các chữ số , , ,a b c d biết rằng các số , , , a ad cd abcd là các số chính phơng.

3 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x y2 2 − − x2 8 y2 = 2 xy (1)

Bài 4:

Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A

và B Từ một điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ở ngoài đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN

và MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm)

1 Chứng minh rằng MN2 =MP2 =MA MB

2 Dựng vị trí điểm M trên đờng thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông

3 Chứng minh rằng tâm của đờng tròn nội tiếp và tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP lần lợt chạy trên hai đờng cố định khi M di động trên đờng thẳng d

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm (1;0), (0;2), ( 3;0)A B C − Điểm D ở trên đoạn

BC sao cho DA = DC E là điểm tùy ý trên đoạn AC, đờng thẳng d đi qua E và song song với đờng thẳng AD cắt đờng thẳng BA tại F Đoạn BE cắt đoạn DA tại G Chứng minh rằng

2 tia CG và CF đối xứng với nhau qua CA

Cõu 6 Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 3

2 Biết A(2; -3), B(3; - 2) và trọng tõm G thuộc đường thẳng d cú

Đáp án

1.1

3 3

3

x

= − − + + ữữ + − ữữ

3x+2 3x+ =4 3x+1 + >3 0;1+ 3x > ∀ ≥0, x 0, nên điều kiện để A có nghĩa là

3

3

3

3

3

x

x

+

( 3 32 3)(4 2 32 3 4) (3 2 3 1)

( )2

x

A

x

−

=

− (

4 0

3

x

≤ ≠ ) 1.2

3

Với x là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì

x x

=

Khi đó: A=4

Câu 2.1 Phơng trình cho hoành độ giao điểm của (P) và d là:

1

Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm chung thì phơng trình (1) có nghiệm kép, tơng đơng với:

Khi đó đờng thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phơng trình

y= − +x

Vẽ đúng tiếp tuyến

2.2 + Vẽ đúng (P)

+ Đờng thẳng d y: = − +2x m song song với đờng thẳng

y= − +x và cắt trục Oy tại điểm B(0; m)

+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ dơng thì 0< <m 2

Gọi M x y là điểm từ đó có thể vẽ 2 tiếp tuyến vuông góc đến (P) Phơng trình đờng thẳng d' qua 0( ; )0 0

M0 và có hệ số góc k là: y kx b= + , đờng thẳng này đi qua M0 nên y0 =kx0+ ⇔ =b b y0−kx0, suy ra

pt của d': y kx kx= − 0+y0

Phơng trình cho hoành độ giao điểm của d và (P) là:

1

2x = −kx kx +y ⇔x − kx+ kx − y = (**)

Để từ M0 có thể kẻ 2 tiếp tuyến vuông góc tới (P) thì phơng trình:

2

0 0

4k 8kx 8y 0

∆ = − + = có 2 nghiệm phân biệt k k và 1, 2 k k1 2 = −1

1

2

Vậy quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến vuông góc của (P) là đờng thẳng 1

2

y= 2.4 x4 −4x2+2m=0 (2) ⇔ X2−4X +2m=0 và (X =x2 ≥0) (3)

Để phơng trình (2) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (3) phải có 2 nghiệm dơng phân biệt Từ

câu 1 và 2 ta suy ra 0< <m 2

Khi đó 4 nghiệm của (2) là: x1,2 = ± 2− 4 2− m và x3,4= ± 2+ 4 2− m

Câu3.1

2

2

1

y

x

=

+ (xác định với mọi x∈R) ⇔(y−1)x2− + − =3x y 5 0 (**)

• y− = ↔ =1 0; y 1 pt (**) có nghiệm 4

3

x= − y≠1: để pt (**) có nghiệm thì: ∆ = −9 4(y−1)(y− = −5) 4y2+24y− ≥11 0

Vậy tập giá trị của y là 1 11;

2 2

 , do đó

;

Max y= Min y= 3.2

a là số chính phơng, nên a=1, 4,9

Ta có 92 =81; 102 =100 nên không có số 9x nào là số chính phơng Do đó a chỉ có thể là 1 hoặc 4

ad là số chính phơng nên ad chỉ có thể là 16, hoặc 49 Nên d chỉ có thể là 6 hoặc 9.

cd là số chính phơng nên cd chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49 Nên Nên c chỉ có thể là 1, hoặc 3,

hoặc 4

Nếu a=1 thì d =6và c=1 hoặc c=3, khi đó abcd=1 16b hay b1 36 và

( )2 ( )2

1 6bc = x4 hay x6

26 =676; 34 =1156; 36 =1296; 44 =1936; 46 =2126 Chỉ chọn đợc 1936

Nếu a=4 thì d =9 và c=4, khi đó ( )2 ( )2

abcd= b = x hay x

63 =3969; 67 =4489; 73 =5329 Không chọn đợc số nào

Vậy chỉ có các chữ số a=1,b=9, c=3,d =6 thỏa mãn điều kiện bài toán

3.3 Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn: x y2 2 − − x2 8 y2 = 2 xy (1)

BG: Dễ thấy pt cú nghiệm: x = y = 0.

Với , x y ≠ 0 ta cú: (1)⇔ y x2( 2− = +7) (x y)2 (2)

Từ (2) suy ra x2 − 7 là bỡnh phương của một số nguyờn Gọi x2 − = 7 a2(3), a

là số nguyờn.

1

7

x a

x a

 − =

⇒  ⇒  = ⇒ = ± 

+ =



*Thay x = 4 vào (2) ta được y = -1, y = 2.

*Thay x = -4 vào (2) ta được y = 1, y = -2.

Vậy PT cú cỏc nghiệm nguyờn (x; y) là: (0;0), (4; -1), (4;2), (-4;1), (-4;2).

(1,25 đ)

Ta có: MN = MP (Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh đợc 2 tam giác MAN và MNB đồng dạng

Suy ra: MA MN MN2 MP2 MA MB

0,25 0,50 0,50

4.2

(1,25 đ) Để MNOP là hình vuông thì đờng chéo OM =ON 2 =R 2

Dựng điểm M: Ta dựng hình vuông OACD, dựng đờng tròn tâm O đi qua điểm D, cắt (d) tại M

Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP Ta có MN = MO2−ON2 =R, nên Tam giác ONM vuông cân tại N Tơng tự, tam giác OPM cũng vuông cân tại

P Do đó MNOP là hình vuông

Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì OM =R 2>R

0,25 0,25 0,50 0,25

4.3

(2,0 đ) + Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp đờng tròn đờng kính OM Tâm là trung điểm H của OM Suy ra tam giác cân MPQ nội

tiếp trong đờng tròn đờng kính OM, tâm là H

+ Kẻ OE⊥AB, thì E là trung điểm của AB (cố định) Kẻ HL⊥( )d thì HL // OE, nên HL là đờng trung bình của tam giác OEM, suy ra: 1

2

HL= OE (không đổi)

+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi, nên H chạy trên đờng thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE

0,25 0,5

0,25

+ Ta có: OM là phân giác trong góc ãNMP (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Kẻ tia phân giác trong góc ãPNM cắt đờng tròn (O) tại điểm F, khi đó ằNF =ằFP (ứng với góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng nhau)

+ Suy ra F ở trên OM, do đó F là tâm đờng tròng nội tiếp tam giác MNP

+ Vậy khi M đi động trên (d) thì tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MNP chạy trên đ-ờng tròn (O)

0,5 0,25 0,25 5

+ Đờng thẳng BC có phơng trình dạng: y ax= +2 (đi qua B(0; 2) và qua C(-3; 0) nên 2

3

a=

Do đó phơng trình của đờng thẳng BC là: 2 2

3

y= x+ + Tam giác ADC cân tại D (gt), nên ãCAD DCA=ã , suy ra hệ số góc của AD là số đối của hệ

số góc của BC, nên phơng trình của AD có dạng 2

3

y= − x b+ Mà AD đi qua A(1; 0) nên 2

3

b= , suy ra, phơng trình của đờng thẳng AD là: 2 2

y= − x+

+ Gọi E( m ; 0) thuộc đoạn CA thì ( 3− ≤ ≤m 1) Đờng thẳng d song song với AD nên d: 2

3

y= − x b+ , d đi qua E nên: : 2 2

m

d y= − x+

+ Phơng trình đờng thẳng BE: y ax= +2 BE đi qua E(m; 0) nên a 2

m

= − khi m≠0; còn

nếu m=0 thì BE Oy≡ Do đó phơng trình của BE là: y 2 x 2

m

= − + (m≠0) và x=0 (m = 0)

+ Phơng trình cho hoành độ giao điểm G của BE và AD là:

m

−

− suy ra tung độ của G:

2( 1) 3

m y m

−

=

− (m≠0;m≠3)

+ Phơng trình đờng thẳng CG: y ax b= + , CG đi qua C và G nên ta có

hệ phơng trình:

2( 1)

9

9

m

m

m b

b

m

−



2 2 3

− + = − + ⇔ = ; suy ra tung độ của F là: y m= −1

+ Phơng trình đờng thẳng CF có dạng: y a x b= ' + ', CF đi qua C và F nên:

2( 1)

9

m

m

m

−



− + =

+ = −

Suy ra hệ số góc của đờng thẳng CF là: 2( 1)

' 9

m

m

−

+ Hai đờng thẳng CG và CF ở về hai phía đối với CA và có hệ số góc đối nhau, nên cùng tạo với CA (trục Ox) một góc nhọn bằng nhau, suy ra: CG và CF đối xứng nhau qua CA

+ Trờng hợp m=0: BE: x =0, nên 2

0;

3

G 

 , hệ số góc của CG là

2 9

a= ; đờng thẳng d: 2

3

y= − x,

tọa độ điểm 3

; 1 2

F − 

 , hệ số góc của CF là

2 ' 9

a = − , bài toán vẫn còn đúng

Câu 6

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 3

2 Biết A (2; - 3), B(3; - 2) và trọng tõm G thuộc đường thẳng d cú phương trỡnh: 3x – y – 8 = 0 Tớnh bỏn kớnh đường trũn nội tiếp tam giỏc ABC.

Giải: Gọi C (a; b)

• S = 1

AB= (x −x ) +(y −y ) )

Phương trỡnh AB: x – y – 5 = 0 => CH=d(C, AB)= a b 5

2

− −

( vỡ c 2Byc2 C

A B

+

Ax

)

do đú: (1)  3 1 a b 5 2 a b 5 3

− −

a b 2

− =



 − =



• Toạ độ G (a 5 b 5;

3 3

) (Vỡ xG xa xb xc; yG ya yb yc

Ta cú: G ∈ ∆  3(a 5) b 5 8 0

+ − − − =

 3a – b = 4.

TH1: a b 8 a 2

3a b 4 b 10

 − =  = −

Chu vi tam giỏc: 2p = AB + BC + CA = 2+ 65+ 89

=> r = 2S 3

2p = 2 65 89

TH2: a b 2 a 1

3a b 4 b 1

 − =  = −

Chu vi tam giỏc: 2p = AB + BC + CA = 2 5+ 2=> r = 3

2 5+ 2.