CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP HOT

MỤC LỤC

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 2

B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 2

Dạng I: Chứng minh tứ giác nội tiếp 2

Dạng 2: Một số dạng bài toán liên quan 6

C BÀI TẬP VẬN DỤNG 7

1 bài tập tự luận 7

2 Bài tập trắc nghiệm 8

3 Hướng dẫn giải và đáp án 8

3.1 Tự luận 8

3.2:Trắc nghiệm 11

D ĐỀ TỔNG HỢP VÀ BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 12

Ma trận đề 12

ĐỀ TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ 14

Phần I TRẮC NGHIỆM ( 3 điểm): 14

Phần II TỰ LUẬN (7 điểm): 18

ĐÁP ÁN 19

CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP: 22

LỜI CAM ĐOAN: 24

NHẬN XÉT - ĐÁNH GIÁ 25

+ Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0

+ Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

Tóm lại ta có:

Tứ giác ABCD nội tiếp ⇔Tổng hai góc đối diện bằng 180 0

3 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

a Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 0

b Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm cho trước, điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

c Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α

d Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối diện

4 Các định lý khác thường được áp dụng:

a Hình thang nội tiếp được trong một đường tròn là hình thang cân và ngược lại

b Hình bình hành nội tiếp trong một đường tròn là hình chữ nh

a) Đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó.b) Đường kính đi qua điểm chính giữa một cung thì vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại đường thẳng vuông góc với dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.c) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng 900

d) Tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

B CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Dạng I: Chứng minh tứ giác nội tiếp

1 Phương pháp chung:

Phương pháp 1: Dựa vào bài toán quỹ tích cung chứa góc

Ta chứng minh hai đỉnh M, N kề nhau cùng nhìn đoạn AB cố định dưới

một góc ·AMB ANB=· ⇒ Tứ giác AMNB nội tiếp

Đặc biệt khi α =900 thì tứ giác AMNBnội tiếp đường tròn đường kính

Chứng minh 4 A, B, C, D điểm cùng thuộc một đường tròn thì tứ giác ABCD nội tiếp

Phương pháp 4: Tính chất góc ngoài của tứ giác

Nếu góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác bằng với góc trong của đỉnh

đối diện thì tứ giác nội tiếp

xAB BAD+ = , hai góc kề bù)

Vậy bản chất của phương pháp này vẫ là tổng hai góc đối diện bằng

0

180

1 Các ví dụ:

BEDC và ADHE là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải:

Ta có BD CE là các đường cao , ⇒ ⇒ · 0

90

ADH =+ Xét tứ giác BEDC ta có:

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O), từ điểm M nằm ngoài đường

tròn kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ( A, B là các tiếp

điểm) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp đường tròn

⇒ + = + = mà ·MAO MBO là hai góc đối của tứ giác ,· AMBO ⇒

Tứ giác AMBO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO

( vì · 0

90

MAO= )

Ví dụ 3:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây AC, từ điểm D trên

AC vẽ DE ⊥AB tại E Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

mà µQ và ·MNP là hai góc đối của tứ giác MNPQ suy ra tứ giác

MNPQ nội tiếp đường tròn Do đó bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc

một đường tròn

Nhận xét: Ta thấy tứ giác MNPQ không có góc nào bằng 900 và

cũng không có đỉnh nào nhìn cạnh dưới một góc 900 Cho nên ta

nghĩ tới phải chứng minh góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong

của cạnh đối diện Ta chứng minh ¶ µ

Hướng dẫn giải: Ta sễ dàng chứng minh được AEHF là hình chữ

nhật ⇒ AEHF nội tiếp được một đường tròn Suy ra µ ¶

Ví dụ 6:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn Trên tia

Bx lấy hai điểm C và D ( C nằm giữa B và D) Các tia AC và AD lần lượt cắt đường tròntại E và F Hai dây AE và BF cắt nhau tại M Hai tia AF và BE cắt nhau tại N Chứng minhcác tứ giác FNEM và CDFE là các tứ giác nội tiếp đường tròn

⇒ = ⇒ + = Suy ra ·ADB FEA=· hay

FDC FEC+ = ⇒ Tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn

Ví dụ 7: Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai:

Một tứ giác nội tiếp được đường tròn nếu:

A Có góc ngoài tại một đỉnh bằng với góc trong của đỉnh đối diện

B Tổng hai góc đối diện bằng 180 0

Tứ giác nào sau đây không nội tiếp được một đường tròn:

A Hình thang cân B Hình vuông C Hình chữ nhật D Hình thangHướng dẫn chọn: D

Dạng 2: Một số dạng bài toán liên quan

1 Phương pháp: Sử dụng phương pháp tứ giác nội tiếp để suy các góc bằng nhau từ đó

chứng minh một tia là tia phân giác, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng bằng nhau, tỉ số bằng nhau, ………

2 Ví dụ

Ví dụ 1 Cho đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Gọi I là điểm chính giữa của

cung AB ( Không chứa C và D) IC cắt AB tại M và cắt AD kéo dài tại N ID cắt AB tại

a) Xét (O) ta có: ·IPM =(Sđ »AD + Sđ ºIB ):2 mà ºIB = ºIA

⇒ ·IPM = 12Sđ ºID ta lại có ·DCM = 12Sđ ºID suy ra

·IPM = ·DCM suy ra PMCD nội tiếp.

b) Xét (O): do ºIB = ºIA nên ·ADI = ·ICP ⇒NDCQ nội tiếp⇒

DCM =NQP mà ·IPM = ·DCM ⇒ ·IPM = ·NQP ⇒ AB//NQ

Ví dụ 2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi I là giao điểm

của AC và BD H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống AD M là trung điểm của ID Chứngminh rằng:

a Các tứ giác ABIH, HICD nội tiếp

b Tia CA là tia phân giác của góc BCH suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp ∆BCH

+ Tương tự: HICD nội tiếp

b) do HICD, ABCD nội tiếp⇒ ·ICH=IDH· =900; ·IDH=ICB· =900⇒

ICH =ICB= ⇒ CI là phân giác ·BCH hay CA là phân giác ·BCH (1)

do ABIH, ABCD nội tiếp⇒ IBH· =IAH· =900; ·IBC=IAH· =900⇒ ·IBH=IBC· =900

⇒ BI là phân giác AHC (2)

Từ 1 và 2 ⇒ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH

Ví dụ 3 Cho (O; R) và dây AB < 2R, qua A vẽ đường thẳng d tiếp xúc với (O) Vẽ BE

vuông góc với d tại E và cắt đường tròn tâm O tại C Vẽ dây CD của (O) vuông góc với

AB tại H

a) Chứng minh rằng AHCE nội tiếp

AEC+AHC= mà ·AEC AHC đối nhau ,·

Suy ra AEHC nội tiếp đường tròn đường kính AC

b) AEHC nội tiếp ⇒ ·EAC EHC= · mà ·EAC= ·ADC

⇒ EH // AD.

c) Do ·NBA ACH=· mà ·AEN= ·ACH ⇒ ·NBA AEN=·

⇒ AEBN nội tiếp ⇒ · · 0

TL1.1: chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi M là điểm chính giữa cung AB, trên cung AM lấyđiểm N Trên các tia AM, AN và BN lần lượt lấy các điểm C, D, E sao cho

MC MA ND NB NE NA= = = Chứng minh A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

TL1.2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BF Từ một điểm I nằm giữa B và F vẽ các đường thẳng a song song với AC, cắt AB và BC lần lượt tại M và N Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN vắt AI tại điểm thứ hai là D Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

TL2.1: Chứng minh các đương thẳng đồng quy

TL2.3 Chứng minh hai góc bằng nhau

Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC Từ một điểm

D trên AC vẽ DE⊥ AB Hai đường thẳng DE và BC cắt nhau

tại F Chứng minh rằng ·AFE=·ACE

TL2.4: Chứng minh tia phân giác

Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AC lấy M sao cho AM <MC Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E, đường thẳng BM cắt (O) tại D, AD kéo dài cắt (O) tại S Chứng minh:

1 Tứ giác BADC nội tiếp

2 CA là tia phân giác của góc BCS

3 DM là tia phân giác của góc ADE

TL2.5: Chứng minh vuông góc

Cho đường tròn đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F Trên cung BC lấyđiểm M, AM cắt CD tại E, cắt BC tại N.

1 Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp

2 Gọi I là giao điểm của MD với AB Chứng minh NI ⊥AB

TL2.6 Chứng minh vuông góc

cắt nhau ở A Trên cung nhỏ BC lấy điểm I, qua I vẽ tiếp tuyến với (O) cắt AB, AC lầnluợt tại M, N, Gọi H là giao điểm của MO và BC Chứng minh rằng NH ^ MO

2 Bài tập trắc nghiệm

TN1.1: Cho hình vẽ Các cặp góc bằng nhau là:

A ·AMB AMD=· B ·ABM =·DMC

C ·ABD ACD=· D ·ACB BAC=·

TN1.2:

Hãy chọn câu sai: Trong một đường tròn, góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc

bằng 90 bằng:0

A Nửa số của cung bị chắn

B Nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

C Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung

D Hai lần số đo của cung bị chắn

TN1.4: Cho hình vẽ Khẳng định nào sau đây sai

A Tứ giác AEHF nội tiếp

B Tứ giác BEFC nội tiếp

C EF là tiếp tuyến chung của (I) và (K)

D EFKI là tứ giác nội tiếp

TN1.5:

Trong các hình vẽ sau, hãy chọn hình không phải là tứ giác nội tiếp:

3 Hướng dẫn giải và đáp án

3.1 Tự luận TL

1 1 :

A.

⇒ = ( kề bù với goc ANB)

Mà NB=ND suy ra ∆BND vuông cân tại N

Suy ra E, C, D cùng thuộc cung tròn chứa góc 45 dựng trên đoạn AB.0

Suy ra năm điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

B =D nên B và D thuộc cung chứa góc dựng trên đoạn AE

Suy ra bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn

Nhận xét: Ta sử dụng quỹ tích cung chứa góc, chứng minh 2 góc bằng nhau µ ¶

+ OA OB= ⇒O thuộc đường trung trực của AB

+ OA OC= ⇒O thuộc đường trung trực của AC

+ OB OD= ⇒O thuộc đường trung trực của BD

Vậy các đường trung trực của AB, AC, BD cùng đi qua một điểm là tâm

O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

TL2.2: chứng minh song song

Ta có ABEC nội tiếp đường tròn (O)

TL2.3: Chứng minh hai góc bằng nhau

ACF =ACE= suy ra tứ giác AECF nội tiếp đường tròn

Suy ra ·AFE=·ACE ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

Nhận xét:

Bài toán yêu cầu chứng minh ·AFE=·ACE, mà hai đỉnh F và E kề nhau, cùng nhìn AC Do

đó tứ giác AECF phải là tứ giác nội tiếp Ta đi chứng minh tứ giác AECF nội tiếp bằng cách sử dụng bài toán quỹ tích cung chứa góc, chứng minh: · · 0

BAC= ( giả thiết)

Tứ giác ADCB có hai đỉnh A và D kề nhau cùng nhìn BC cố

định dưới một góc 90 0 ⇒ADCB là tứ giác nội tiếp

b.Vì ADCB nội tiếp ¶ µ

D =D ⇒DM là tia phân giác của ·ADE

c.Ta có MDSC là tứ giác nội tiếp suy ra ¶ ·

C = ACS⇒CA là tia phân giác của ·BCS

Nhận xét: Để chứng minh được một tia là tia phân giác ta làm theo sơ đồ sau:

DM là tia phân giác của ·ADE ⇐D¶1=D¶2 ¶¶1 µµ1

1.Ta có CD⊥ AB tại F suy ra ·CFB=900 hay ·EFB=900

Lại có ·AMB=900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

· 900

EMB

⇒ = ( vì E thuộc AM)

⇒ = ⇒ = ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét tứ giác MNIB ta có: Hai đỉnh M và B kề nhau cùng nhìn NI dưới một góc ¶ µ

Nhận xét: Nhận thấy tứ giác HNCO có góc C vuông nên ta

chỉ cần chứng minh tứ giác HNCO nội tiếp rồi từ đó suy ra

Vì ·DAB=80 ,0 ·DAO=300 nên ·OAB DAB DAO=· −· =800−300 =500

Lại có OB OC= ⇐ ∆BOC cân tại O

AEF =AHF ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)

Mà ·AHF FHC+· =90 ,0 FHC C· + =µ 900⇒·AHF C=µ suy

IEH OEH+ =IHE EHO AHB+ = = suy ra EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Chứng minh tương tự ta có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Vậy D là khẳng định sai.

TN

1 5:

Dựa vào các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp ta có tứ giác ABCD ở đáp án D không phải

là tứ giác nội tiếp Suy ra ta chọn D

D ĐỀ TỔNG HỢP VÀ BÀI TẬP CỦA CHUYÊN ĐỀ

Ma trận đề.

Phần I TRẮC NGHIỆM (3 điểm): Có 20 câu trắc nghiệm (ứng với 30 %) Mức độ 70 %nhận biết thông hiểu (14 câu); 20 % vận dụng (4 câu); 10 % vận dụng cao (2 câu) Sắp xếp cáccâu từ nhận biết thông hiểu (từ câu 1 đến câu 14); vận dụng (từ câu 15 đến câu 18; vận dụng cao(câu 19,20)

Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

- Hiểu về tứ giác nội tiếp

Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18

Tính số

đo góc thông qua tứ giác nội tiếp

Câu 19 Câu 20

203đ

thấp

Cấp

độ cao

Câu 22

Tích bằng nhau

Câu 23

Bài tổng hợp

1 1,5đ

1 2,5đ

47đ

Câu 8 Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC Lấy điểm A trên tia đối của của BC Kẻ

tiếp tuyến AF, Bx của đường tròn O (F là tiếp điểm) Tia AF, Bx cắt nhau tại D Khi đó tứ giác OBDF là:

A Hình thang B Hình bình hành

C Tứ giác nội tiếp D Hình thang cân

Câu 9 Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có hai cạnh đối AB, CD cắt nhau tại M (C nằm

giữa M, D) và ·BAD=700 thì ·BCM =?

A 550 B 700 C 300 D 1100

chứa A vẽ tam giác đều BCD Khi đó:

A Tam giác ACD cân B ABDC là hình thang

C ABDC nội tiếp D ABDC là hình vuông

Câu 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M thuộc cung nhỏ AC ( ¼CM nhỏ hơn

¼

AM ) vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc với AC tại I Hãy chon câu “đúng”

A MIHC là hình chữ nhật B MIHC là tứ giác nội tiếp

C MIHC là hình vuông D MIHC không nội tiếp

Câu 12 Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa O và B kẻ dây CD

vuông góc với AB tại H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc với AE tại K,

DE cắt CK tại F Tứ giác AHCK là

Câu 18 Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H khi đó ta có

A BH.BE = BC.BD B CH.CF = CD CB

C A, B đều đúng D A, B đều sai

Câu 18 Cho tam giác ABC vuông tại A Điểm E di động trên cạnh AB Qua B vẽ một

đường thẳng vuông góc với CE tại D và cắt tia CA tại H Biết · 0

30

BCA= Số đo ·ADH là:

A 900 B 300 C 1500 D 600

Câu 19 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Đường thẳng qua O và vuông

góc với AB cắt cung AB tại C Gọi E là trung điểm BC AE cắt nửa đường tròn O tại F Đường thẳng qua C và vuông góc với AF tại G cắt AB tại H Khi đó góc OGH có số đo là:

A 600 B 900 C 450 D 1200

Câu 20 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) M là điểm chính giữa cung AB Nối

M với D, M với C cắt AB lần lượt ở E và P Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A Tứ giác PEDC nội tiếp B Tứ giác PEDC không nội tiếp

C Tam giác MDC đều D Các câu trên đều sai

Phần II TỰ LUẬN (7 điểm):

70

BAD= Tính ·BCD.

Câu 22 (1,5điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Từ một điểm M nằm giữa hai điểm A

và C kẻ MH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng ·BAH =BMH·

Câu 23 (1,5điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), Hai cạnh đối AB, CD cắt nhau tại P

Chứng minh rằng: PA.PB = PC.PD

Câu 24 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB <

AC) Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

a) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C)

và N là điểm đối xứng của M qua AC Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.b) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN

Chứng minh ¶AJI ANC=·

c) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ

Câu 1 Dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp nên đáp án sai là A

Câu 2 Dựa vào định nghĩa tứ giác nội tiếp, nên ta chọn A

Câu 3 Dựa vào dấu hiệu nhận tứ giác nội tiếp, nên đáp án sai là C

Câu 4 Dựa vào dấu hiệu nhận tứ giác nội tiếp, nên đáp án sai là D

Câu 5 Do ABCD nội tiếp nên tổng góc A và C là 1800 nên · 0

130

BCD= Ta chọn ACâu 6 Dựa vào tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp nên · µ 0

Câu 10 Tứ giác ABDC có tổng góc A và D bằng 1800 nên ABDC nội tiếp và dễ dàng tính được góc B và C bằng 900 nên ta chọn đáp án C

Câu 11 Tứ giác MIHC có đỉnh I, H kề nhau và nhìn cạnh MC một góc 900 nên MIHC nội tiếp Chọn đáp án B

Câu 12 Tứ giác AHCK có tổng hai góc K và C bằng 1800 nên AHCK nội tiếp

Câu 15 MNPQ nội tiếp đường tròn nên x + 2x = 1800 suy ra x = 600 Chọn đáp án BCâu 16.Tam giác MQR và MHP đồng dạng (g.g) nên MP.MQ = MR.MH

II Tự luận (7 điểm)

Câu 21 Do tứ giác ABCD nội tiếp nên

70 0

Suy ra ·BCD=1100 0.5đCâu 22 Chứng minh tứ giác ABHM

Câu 24 a) Ta có tứ giác BFHD nội

0.25đ

0.25đ

b) Ta sẽ chứng minh tứ giác AHIJ nội tiếp

Ta có ·NAC MAC=· do MN đối xứng qua AC mà

NAC CHN= (do AHCN nội tiếp)

⇒IAJ IHJ¶ =¶ ⇒ tứ giác HIJA nội tiếp

⇒ ¶AJI bù với ·AHI mà ·ANC bù với ·AHI (do AHCN nội

tiếp)

⇒AJI ANC¶ =·

0.25đ0.25đ0.25đ0.25đ

d) Kẻ OA cắt đường tròn (O) tại K và IJ tại Q ta có ·AJQ =