Chứng minh P luôn xác định.. Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q.. Chứng minh PQ//BC.. Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 9 vòng
Trang 1Đề thi chọn học sinh giỏi toán lớp 9 vòng 1
Năm học 2009-2010
Ngày thi: 03 tháng 11 năm 2009
(Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề)–
Bài 1: ( 2.5 điểm ) Chứng minh rằng:
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2 + b
ab
Xét biểu thức P = aa xx aa xx+31b
−
− +
− + +
1 Chứng minh P luôn xác định Rút gọn P
2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: ( 2.0 điểm )
a) Chứng minh rằng: biểu thức sau cú giỏ trị khụng phụ thuộc vào x ( với x≥
0 )
4
2 3 7 4 3 x
A x
9 4 5 2 5 x
b) Chứng minh tớch của 4 số tự nhiờn liờn tiếp cộng 1 luụn là số chớnh phương
Bài 3: (2,.5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x+ y = 1980
b) Cho 0 < a, b,c < 1 Chứng minh rằng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 +a2b+b2c+c2a
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho ∆ABC đờng thẳng d cắt AB và AC theo thứ tự ở E , F và trung tuyến AM tại N
a) Chứng minh : AE AB +AF AC =2AN AM
b) Giả sử đờng thẳng d // BC Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng
KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q Chứng minh PQ//BC
Họ và tên thí sinh: ……… SBD: ………
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán lớp 9 vòng 1
Trang 2Năm học 2008-2009
A Một số chú ý khi chấm bài:
• Hớng dẫn chấm dới đây dựa vào lời giải sơ lợc của một cách Thí sinh giải cách khác mà cho kết quả đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm từng phần ứng với thang
điểm của Hớng dẫn chấm.
• Giám khảo cần bám sát yêu cầu giữa phần tính và phần lí luận của bài giải của thí sinh để cho điểm
• Tổ chấm nên chia điểm nhỏ đến 0, 25 Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần
không làm tròn
B Đáp án và biểu điểm
Bài 1: ( 2.5 điểm ) Chứng minh rằng:
Cho các số dơng: a; b và x =
1
2
2 + b
ab
Xét biểu thức P = aa xx aa xx+31b
−
− +
− + +
1 Chứng minh P luôn xác định Rút gọn P.
2 Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
điểm
Ta có: a; b; x > 0 ⇒ a + x > 0 (1)
1
) 1 ( 2
2
≥ +
− b
b
a (2)
Ta có a + x > a – x ≥ 0 ⇒ a + x − a − x ≠ 0 (3)
Từ (1); (2); (3) ⇒ P xác định
0.5
Rút gọn:
Ta có: a + x =
1
) 1 ( 1
2
2
2
+
= +
+
b
b a b
ab
1 )
1
+ +
= +
b
a b
x a
a - x =
1
) 1 ( 1
2
2
2
−
= +
−
b
b a b
ab
1
+
−
=
−
b
a b
x a
⇒ P =
b b
b
b b
b b
a b
b
a b
b
a b
b
a b
3
1 1 1
1 1 3
1 1 1
1 )
1 (
1
1 1
) 1 (
2 2
2 2
+
−
− +
− + +
= + +
−
− + +
+
− + + +
• Nếu 0 < b < 1 ⇒ P =22b+31b =34b
• Nếu b≥ 1 ⇒ P =
b
b b
b
3
1 3 3
1 = 2 + +
0.25
0.25
0.25
0.25
2 (1.0 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
• Nếu 0 < b < 1, a dơng tuỳ ý thì P = ⇒
b
4
P 4
3
>
• Nếu b≥ 1, a dơng tuỳ ý thì P = b 31b 3b 31b+23b
+
=
Ta có:
3
2 3
1
b
b
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
0.25
0.25
Trang 3MÆt kh¸c:
3
2 3
2
≥ b
, dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1 VËy P
3
4 3
2 3
2 + =
≥ , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi b = 1
KL: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P =
3
0.25
Bµi 2: ( 2.0 ®iÓm )
a) Chứng minh rằng: biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x ( với x ≥ 0 )
4
2 3 7 4 3 x
A x
9 4 5 2 5 x
b) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương
2
2 4 4
*TÝnh: 2 3 2 3 7 4 3
2 5 2 5 9 4 5
*Suy ra: A = 1
0.25
0.25 0.5 Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈N) Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là
số chính phương
0.5
0.5
Bµi 3: (2,.5 ®iÓm)
a) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: x+ y = 1980
b) Cho 0 < a, b,c < 1 Chøng minh r»ng : 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 +a2b+b2c+c2a
a) x+ y = 1980 ⇔ x+ y = 6 55
V× x, y nguyªn d¬ng nªn vai trß nh nhau x vµ y cã d¹ng :
x = a 55 vµ y=b 55
Víi a + b = 6 ⇒ a = 1; b = 5 hoÆc a = 2; b = 4 hoÆc a =3; b= 3
VËy cÆp nghiÖm nguyªn d¬ng cÇn t×m lµ: (55, 1375); (1375,55);
(220, 880); (880, 220); ( 495, 495)
0.25
0.25
0.5
Trang 4Do a <1 ⇒ a2< 1 và b < 1
Nên (1 −a2) 1( − > ⇒ +b) 0 1 a b a2 − − > 2 b 0
Hay 1 +a2b>a2 +b (1)
Mặt khác 0 <a,b <1 ⇒ a2 >a3 ; b>b3
⇒ 1 +a2b>a3 +b3
Vậy a3 +b3 < 1 +a2b
Tơng tự ta có
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1
+
<
+
+
<
+
⇒ 2a3 + 2b3 + 2c3 < 3 +a2b+b2c+c2a
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
Bài 4: ( 3.0 điểm )
Cho ∆ABC đờng thẳng d cắt AB và AC theo thứ tự ở E , F và trung tuyến AM tại N
a) Chứng minh : AE AB +AF AC =2AN AM
b) Giả sử đờng thẳng d // BC Trên tia đối của tia FB lấy điểm K, đờng thẳng
KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q Chứng minh PQ//BC
điểm
a) Kẻ BI,CS//EF (I,S∈AM)
Ta có: AE AB = AN AI ,AC AF = AN AS
) ( ∗ +
=
+
⇒
AN
AS AN
AI AF
AC
AE
AB
Ta có: ∆BIM = ∆CSM (cgc)
MS
⇒
Vậy: AI+ AS= AI+AI+IM +MS = 2AM
Thay vào (*) ta đợc (đpcm)
0.5
0.5
0.5 b) Khi d//BC⇒EF//BC⇒N là trung điểm của EF +Từ F
kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L
Ta có: ∆NEP= ∆NFL(cgc) ⇒EP=LF
Do đó :
( 1 )
KB
KF PB
LF
PB
+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt
KM tại H
Ta có ∆BMH = ∆CMQ (cgc)
⇒BH =QC
KB
KF BH
FQ QC
FQ
=
=
0.5
0.5
E E
I
S M
N
C B
A
K
F
L
B A
Trang 5Tõ (1)va(2) FP FQ PQ BC//
PB QC
0.5