c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông. d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên một đường cố định [r]
Trang 120 bài đầu tiên download here
Bài 21: (LHP 2003 - 2004) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao
AH và trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB tại D, cắt AC tại E (D khác E và khác điểm A).
a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn
(O) Tứ giá AMOH là hình gì?
d) Cho Tính diện tích tam giác HEC theo a.
Hướng dẫn giài
a) Ta có nên DE là đường kính của đường tròn (H; HA) Suy ra D, H, E thẳng hàng
b) Tam giác HAD cân tại H nên
Trong tam giác vuông ABC có AM là đường trung tuyến nên , suy
ra tam giác MAC cân tại M, từ đó
Trang 2Hơn nữa ( cùng phụ với góc ABC)
Từ đó ta có:
c) Theo câu b thì ta có
Suy ra tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông) Gọi O là tâm đường tròn đi qua 4 điểm B, E, C, D
Vì M, H là lần lượt là trung điểm của DE và BC nên
Mà
Suy ra AM // OH và OM // AH, suy ra tứ giác OMAH là hình bình hành
d) Trong tam giác vuông AHC có:
Tam giác AHE cân tại H có nên là tam giác đều, suy ra AE =
AH = a, suy ra EC = AC - AE = a
Vậy
Bài 22 (LHP 2003 - 2004) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD cùng bằng đáy lớn AB M là trung điểm của CD Cho biết Tính các góc của hình thang.
Hướng dẫn giải
Trang 3Ta có AC = BD nên ABCD là hình thang cân, suy ra $latex \widehat{DAB}
=\widehat{ABC}
Mà
Nên ta có:
Gọi N là trung điểm của AD, ta có MN là đường trung bình của tam giác DAC, suy ra
Từ đó ta có tứ giác NABM là tứ giác nội tiếp, suy ra
Mặt khác tam giác ADB cân tại B có BN là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, do đó:
Suy ra
Tam giác AMN vuông tại M có MA = MB (t/c đối xứng trục của hình thang) nên là tam giác vuông cân, suy ra
Tam giác ABC cân tại A, suy ra
$latex =\widehat{MBC} + 2 \widehat{MBC} + 2 \widehat{ABM}$
Trang 4Suy ra
Từ đó ta có
Và
Bài 13:(LHP 2004 - 2005)
Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R) Về phía ngoài tam giác dựng tam giác đều ACD BD cắt đường tròn tại E và cắt đường cao AH của tam giác ABC tại M
a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp
b) Tính DE theo R
Hướng dẫn giải
a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO là đường trung trực của BC nên cũng là đường cao
và là đường phân giác góc A
Suy ra
Trang 5Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) và AC = AB (tam giác ABC cân) suy ra AD = AB, tam giác ABD cân tại A, do đó:
Từ (1) và (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)
b) Ta có
Xét tam giác AOC và tam giác DEC có:
+ (ADCM là tứ giác nội tiếp)
Suy ra
Bài 14: (PTNK AB 2006 - 2007)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, có và AC cắt BD tại I Biết rằng
IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm
a) Chứng minh tam giác ABC cân ) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD Tính độ dài đoạn MN
c) Gọi P là giao điểm của IO và MN Tính độ dài đoạn PN
Hướng dẫn giải
Trang 6a) Xét và có:
+ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Do đó:
Vậy
Khi đó AC = IA + IC = 10cm
Tam giác IAB vuông tại I, theo định lý Pytagore ta có:
Tam giác ABC có AB = AC (=10cm) nên là tam giác cân tại A
Trang 7b) Gọi E là trung điểm của BC.
Vì M, E lần lượt là trung điểm của AB, BC nên ME là đường trung bình của tam giác ABC
Vì N, E lần lượt là trung điểm của CD, BC nên NE là đường trung bình của tam giác BCD
Ta có:
Và
Tam giác MEN vuông tại E, theo định lý Pytagore ta có:
c) IN cắt AB tại S
Tam giác ICD vuông tại I, IN là đường trung tuyến nên IN = DN, cân tại N
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Suy ra
Mặt khác
Ta có (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
và
Chứng minh tương tự ta cũng có NO // IM
Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên là hình bình hành P là trung điểm của MN
Do đó
Bài 15 (LHP 2002 - 2003 đề chung) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không
qua O cắt đường tròn tại A và B Từ một điểm M di động trên đường thằng (d) và nằm ngoài (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với (O) (N, P là hai tiếp điểm)
Trang 8a) Chứng minh
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua một điểm cố định khi M lưu động trên đường thẳng (d)
c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên một đường cố định khi M lưu động trên (d)
Hướng dẫn giài
a) Ta có (MN là tiếp tuyến của (O))
Và (MP là tiếp tuyến của (O))
Suy ra tứ giác ONMP nội tiếp, khi đó ta có
b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Vậy khi
M thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua O cố định
c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) và ON = OP (1) suy ra OM là đường trung trực của NP,
do đó Tứ giác ONMP có hai đường chéo vuông góc nhau nên để là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thôi, do (1) nên điều này tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân tại N
d) Gọi I là giao điểm của OM và (O) Ta có MI là phân giác của (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
Vì I thuộc OM đường trung trực của NP nên ta có IN = IP, suy ra tam giác INP cân tại I
Trang 9Mặt khác (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó)
Do đó NI là phân giác góc MNP
Vậy I là giao điểm hai đường phân giác của tam giác NMP nên là tâm đường tròn nội tiếp tam giác và I thuộc (O) cố định
Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn
tâm O Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D Chứng minh ED song song với AC
Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân tại B nội tiếp trong đường tròn
tâm O Trên cung AC không chứa B lấy hai điểm M và K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM và BK cắt nhau tại E, các đoạn thẳng KC và BM cắt nhau tại D Chứng minh ED song song với AC
Hướng dẫn giải
Ta có (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
và (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Mà (tam giác ABC cân tại B)
Do đó suy ra tứ giác DEMK nội tiếp
Trang 10Mặt khác (góc nội tiếp cùng chắn cung AK) Nên ta có mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên