Tuyển tập các bài hình học vào lớp 10

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN a Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp... Đường phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O tại điểm

TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO

LỚP 10 TP.HÀ NỘI

Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007)

Cho  O đường kính AB2R,C là trung điểm của OA, dây MN vuông góc với OA tại C

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp

c) Ta chứng minh tam giác BMN đều thật vậy:

Ta có:

23

N

Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 )

Cho O R tiếp xúc với đường thẳng ;  d tại A Trên d lấy điểm H không trùng với A sao cho

AH R Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai

điểm E và B ( E nằm giữa B và H )

a) Chứng mình ABE EAH và ABH ~EAH

b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB

tại K Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABH ~EAH ( g.g )

b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên ACE cân tại E

Khi đó ACE  CAE ABE

Suy ra AHEK nội tiếp

230

AI AIO OAI

OA OAI

AB R ABH AH

Khi đó H là giao điểm của d và ; 3

2

R A

Cho  O có đường kính AB2R và điểm E bất kì trên đường tròn (E khác A B, ) Đường

phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh rằng: KAF ~KEA

b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường

tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với  O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F

c) Chứng minh MN/ /AB , trong đó M N, lần lươt là giao điểm thứ hai của AE BE, với đường

tròn  I

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn

 O , với P là giao điểm của NF và AK; Q là giao điểm của MF và BK

Hướng dẫn giải:

a) Do EK là phân giác AEB

Suy ra  I tiếp xúc với AB tại F

c) Ta có: IMIF IME cân tại I IEM  IME

Lại do OEOA OAE cân tại OOAE OEA

QP

I

KF

E

A

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn O R lấy điểm ;  K bất kì ( K khác B C, ) Tiếp tuyến tại

K của đường tròn O R cắt ;  AB AC, theo thứ tự tại P Q, Chứng minh rằng tam giác APQ có

chu vi không đổi khi điểm K chuyển động trên cung nhỏ BC

d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB AC, theo thứ tự tại M N,

Chứng minh rằng: PMQNMN

Hướng dẫn giải:

a) Do AB AC, là các tiếp tuyến  ABO ACO 90

180

Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: ABAC

Lại có OA OB

Suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABO ta có: OE OA OB2 R2

c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

Cho đường tròn  O đường kính AB2R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A B, )

Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác B C, ) Tia AC cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt

BE tại F

a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh: DA DE DB DC

c) Chứng minh CFD OCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng

minh IC là tiếp tuyến của  O

d) Biết DF R Chứng minh tgAFB2

Hướng dẫn giải:

Xét tứ giác FCDE có: FCDFED180 tứ giác FCDE nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ADC~BDE ( g.g )

c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFD  CED

mà OBC CED ( Tứ giác ACEB nội tiếp  O

Lại do OCB cân tại O OCB OBC

Suy ra:  CFD OCB

Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: FCD FED 90

IF

E

DC

A

 tâm I là trung điểm của FD

Khi đó: IC ID IF   ICF cân tại I CFI  ICF OCB

90

Suy ra: ICOC mà C O  IC là tiếp tuyến của  O

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của  O

Cho đường tròn  O đường kính AB2R Gọi d d lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn 1, 2

tại A B, Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( E không trùng A B, )

Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EIcắt hai đường thẳng d d lần lượt tại 1, 2 M N,

a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh ENI EBI và MIN 90

c) Chứng minh: AM BN AI BI

d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E của  O Hãy tính diện tích tam

giác MIN theo R khi 3 điểm E I F, , thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

a) Vì d là tiếp tuyến của 1  O tại A nên d1 BA MAI  90

Lại có: MNEI MEI  90

Xét tứ giác AMEI ta có: MAIMEI 90

Suy ra tứ giác AMEI nội tiếp

b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp

Khi đó: ENI  EBI

Suy ra: MIN 90

c) Ta có: AIM  BNI   90 BIN

Suy ra: AMI~BIN ( g.g )

O

Vì F là điểm chính giữa cung AB EF là phân giác AEB AEI  BEI 45

Ta có: AEI AMI    45 AMI vuông cân tại 2 2

Cho đường tròn O R đường kính ;  AB Bán kính OC vuông góc với AB,M là điểm bất kì

trên cung nhỏ AC , ( M khác A C, ) BM AC H K là hình chiếu của H trên AB

a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp

b) Chứng minh ACM  ACK

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AM BE Chứng minh tam giác ECM vuông cân

tại C

d) Gọi d là tiếp tuyến của  O tại A Gọi A là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P C,

nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và AP MB. R

MA  Chứng minh rằng

PB đi qua trung điểm của HK

Hướng dẫn giải:

I

Pd

E

K

HM

C

A

a) Vì C O đường kính AB ACB 90

Lại có: HKABHKB 90

Xét tứ giác BCHK : HKBHCB180

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp

b) Theo câu a) BCHK nội tiếp  ACK ABM

mà ABCM nội tiếp  O  ABM  ACM

Suy ra: ACM  ACK

c) Vì C là điểm chính giữa cung AB nên ACAB

Lại có: MAC EBC MA; EB

Khi đó ta có: MAC EBC c g c 

Suy ra: CM CE (1)

Mặt khác: MCE ECB mà HCEECB  90 HCEMCA MCE 90 (2)

Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân tại C

d) Theo giả thiết: AP MB. R AP R OB

Gọi  I MBd ta có: APM vuông tại M P, AI mà PM PA

Suy ra P là trung điểm AI

Lại do: AI/ /HKAB

Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét )

Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 )

Cho đường tròn  O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến AM AN, với

đường tròn ( M N, là các tiếp điểm ) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm

,

B C ( ABAC, d không đi qua O )

a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp

b) Chứng minh rẳng: AN2  AB AC Tính độ dài đoạn BC khi AB4;AN 6

c) Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt đường tròn  O tại điểm thứ hai T

Chứng minh rằng MT/ /AC

d) Hai tiếp tuyến của  O tại B C, cắt nhau tại K Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố

định khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề bài

a) Do AM AN, là tiếp tuyến của  O AMO ANO 90

Xét tứ giác AMON : AMOANO180AMON nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ABN~ANC ( g.g ) AB AN AB AC AN2

AN AC

c) Vì I là trung điểm của BCOIBCAIO 90

Suy ra: MTN AIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị )MT/ /AC

d) Dễ dàng chứng minh K I O, , thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của BC )

Vì KBlà tiếp tuyến của  O  KBO 90

Xét KBO vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm A M I O N, , , , cùng nằm trên một đường tròn

Suy ra: MNO NMO180MIO (2)

Từ (1),(2) ta có:NMO180KMONMOKMO180

Suy ra 3 điểm K M N, , thẳng hàng

Do M N, cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định

Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 )

Cho O R đường kính ;  AB cố định Vẽ đường kính MN của đường O R ( ;  M khác A B, )

Tiếp tuyến của O R tại ;  B cắt đường thẳng AM AN, lần lượt tại Q P,

a) Chứng minh rằng AMBN là hình chữ nhật

b) Chứng minh 4 điểm M N P Q, , , cùng nằm trên một đường tròn

c) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F Chứng

minh rằng F là trung điểm BP và ME/ /NF

d) Khi đường kính MN quay quanh O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường

kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất

Hướng dẫn giải:

a) Do M O đường kính AB nên: AMB 90

Tương tự: ANB MAN 90

Suy ra: AMBN là hình chữ nhật

b) Do QB là tiếp tuyến của  O QBAB

Khi đó: ABM  AQB    90 MBQ

Mặt khác AMBN là hình chữ nhật  ABM  ANM

Suy ra: ANM  MQBtứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm M N P Q, , , thuộc cùng một

đường tròn

c) Xét ABQ có OE là đường trung bình OE/ /AQ

FE

Xét trong APB có O là trung điểm AB, OF/ /AP nên F là trung điểm BP

Ta có E là trung điểm BQ MEEQEB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: ME/ /NF

d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có:

Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 )

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO ( C khác A O, )

Đường thẳng đi qua C vuông góc với ABcắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kì trên

cung KB( M khác K B, ) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM BM, lần lượt tại H D,

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp

N

KD

a) Vì M O đường kính ABAM MBAMB 90

Xét tứ giác ACMD : ACD AMB 90

Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp

b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp

Do: ANO NAO CHB NHE

Suy ra: ENH  EHN ENH cân tại EENEH

Suy ra: MON180 2 ADB

Cho đường tròn  O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

 O ( Blà tiếp điểm ) và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác C O, )

Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm D E, ( D nằm giữa A E, ) Gọi H là trung điểm

của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm A B O H, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh AB BD

AE  BE

c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , d cắt BC tại K Chứng minh HK/ /DC

d) Tia CD cắt AO tại P, tia EO cắt BP tại F Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật

Hướng dẫn giải:

a) Vì H là trung điểm của DB OH DB hay OHDB

Lại có AB là tiêó tuyến của  O  ABO 90

Xét tứ giác ABOH:ABOAHO180

Suy ra tứ giác ABHO nội tiếp

b) Ta có: ABD AED ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

Khi đó dễ dàng chứng minh: ABD~AEB ( g.g )

Lại có: BOP AHB180AHE180BKE EKC

Suy ra: PBO~ECK PBO~ECKPBO KCE OEC

Suy ra tứ giác BECF nội tiếp mà B E C, ,  O  F  O

Lại do: BC EF, là các đường kính nên BECF là hình chữ nhật

Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 )

Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M N, lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ

AB và cung nhỏ BC Hai dây AN CM, cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB BC,

lần lượt tại H K,

a) Chứng minh bốn điểm C N K I, , , cùng một đường tròn

b) Chứng minh: NB2 NK NM

c) Chứng minh BHIK là hình thoi

d) Gọi P Q, lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là

trung điểm của đoạn thẳng PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn  O Chứng minh 3 điểm

, ,

D E K thẳng hàng

Hướng dẫn giải:

M

CB

A

O

Suy ra: BHIK là hình bình hành (1)

Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABCBI là phân giác ABC

2

ABC IBK 

Suy ra: BJK vuông tại J hay HK BI (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác BHIK là hình thoi