Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử b) Cho Chứng minh rằng . Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Câu 3. Tìm số dư trong phép chia của biểu thức cho đa thức . Câu 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho . Xác định vị trí của điểm D, E sao cho: a) DE có độ dài nhỏ nhất. b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất. Câu 5 a) Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác vuông, với a là độ dài cạnh huyền thì thì các số ; ; cũng là số đo ba cạnh của một tam giác vuông khác.
Trang 1UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 ĐỀ THI KHẢO SÁT
Môn: Toán
Năm học: 2014- 2015
Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5 điểm) Cho biểu thức:
= + − − + − ÷ − − ÷
a) Tìm x để giá trị của A được xác định Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (4 điểm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
( 2)( 2 2) 1
x x+ x + x+ + = 0
b) y2 + 4x + 2 y − 2x+ 1 + 2 = 0
c)
+ + + + + = + + + + +
Câu 3 (3 điểm)
1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1
2) Tìm a,b sao cho f x( ) =ax3+bx2+10x 4− chia hết cho đa thức
g x =x + −x 2
3) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: 4a2 b2
ab P
−
=
Câu 4 (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì
(CM < CD), vẽ hình vuông CMNP (P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H, MP cắt
BD tại K
a) Chứng minh: DH vuông góc với BM
b) Tính Q = PC PH KP
BC+DH +MK
c) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2
Câu 5 (1,5 điểm)
1) Cho x, y > 0 Chứng minh rằng: + + ≥ + x
y y
x x
y y
x
3 4 2
2 2 2
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( 2)( 6) 12 24 3 18 2045
B xy x= − y+ + x − x+ y + y+
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND HUYỆN GIA VIỄN
PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8
Năm học 2014 - 2015 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề
(Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang)
CHÚ Ý :
- Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó
- Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó
1
(5 điểm)
Cho biểu thức:
= + − − + − ÷ − − ÷
a) (3,5 điểm)
* ĐKXĐ: 1,0 điểm
Giá trị của A được xác định ⇔
2
2 3
0
x
x
+ ≠
≠
⇔
2
2
4(2 ) (2 ) 0 0
x
x
≠ −
≠
⇔
2
2
4 (2 )(4 ) 0 0
x
x
≠ −
≠
⇔ 2
0
x x
≠
≠
- ĐKXĐ : x≠2;x≠0
(Nếu HS chỉ nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm)
* Rút gọn : 3,0 điểm
Ta có
= + − − + − ÷ − − ÷
2( 4) 4(2 ) (2 )
.
=
.
=
2
0,25 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm
0,75 điểm
0,75 điểm 0,75 điểm
0,75 điểm
b) (1,0 điểm)
Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
* 1
2
x x
+ ∈ Z ⇔ x +1 M 2x ⇒ 2x + 2 M 2x Mà 2x M 2x
⇒ 2 M 2x ⇒ 1 M x ⇒ x = 1 hoặc x = -1
* Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ)
Vậy A= 1
2
x x
+
∈ Z ⇔ x = 1 hoặc x = -1
0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm
2 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
Trang 3(4 điểm)
a) (1,5 điểm) x x( +2)(x2+2x+ +2) 1= 0 ⇔ (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 ⇔ (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 ⇔ (x2 + 2x + 1)2 = 0
⇔ (x+1)4 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1
0,5 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
b) (1,5 điểm) y2 +4x +2y−2x+ 1+2=0 ⇔ y2+2y+ +1 (2 )x 2−2.2x + =1 0 ⇔(y+1)2+(2x −1)2 =0
⇔ y + 1 = 0 hoặc 2x−1 = 0 ⇔ y = -1 hoặc x = 0
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1)
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
c) (1,0 điểm)
2 4 6 2 16 72 2 8 20 2 12 42
- ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8
- PT (1) ⇔ ( 2)2 2 ( 8)2 8 ( 4)2 4 ( 6)2 6
x −x = x −x
⇔ 2(x x+ −8 42)(x x−4)8=6x(x+48 86)(− −x x 8)48
( 2)( 4) ( 6)( 8)
⇔ x = 0 hoặc (x+2)(x+4)=(x+6)(x+8)
⇔ x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48
⇔ x = 0 hoặc 8x = - 40 ⇔ x = - 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
3
(3 điểm)
1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết:
p = n3 - n2 + n - 1
- HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1)
- Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài
- Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5
- Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên
là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1
- Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
2) (1,0 điểm) Tìm a,b sao cho f x( ) =ax3+bx2+10x 4− chia hết cho đa thức g x( ) =x2+ −x 2
* g x( ) =x2+ −x 2 = (x -1)(x - 2)
* f x ax bx 10x 4( ) = 3+ 2+ − Mg x( )
⇔ f x( ) =ax3+bx2+10x 4− = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x∈ R)
- Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có:
0,25 điểm
0,25 điểm
Trang 4a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0
⇒ a = 2 và b = -8 Vậy f x ax bx 10x 4( ) = 3+ 2+ − Mg x ( ) ⇔ a = 2 và b = -8
0,25 điểm 0,25 điểm
3) (1,0 điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0.TÝnh: 4a2 b2
ab P
−
=
- HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab ⇔ (4a - b)(a -b) = 0 ⇔ b = 4a hoặc b = a
- Mà 2a > b > 0 ⇒ 4a > 2b > b nên a = b
- Ta có :
2
2 2 4
a P
=
1 3
- Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 thì 1
3
P=
0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm
4
(6,5 điểm) - Hình vẽ 0,25 điểm
a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuông góc với BM
- HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900
- CM: ∆ DPC = ∆ BMC (cgc)
- Chứng minh được BHP = 900
0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm
b) (2,0 điểm) Tính Q = PC PH KP
BC+DH +MK
- HS CM : MP ⊥ BD
-
2 1
2
PDM BDM
PC
Tương tự :
1 2 1 2
PBM BDM
DB KP S PH
∆
∆
1 2 1 2
PBD BDM
DB KP S PH
∆
∆
⇒ Q = PDM PBM PBD 1
BDM
S
∆
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP MK + DK BD = DM2
K
H
M C
B A
D
Trang 5- CM: ∆ MCP ∼ ∆MKD (g.g) ⇒ MP MK = MC MD (1)
- CM: ∆DBC ∼ ∆DKM (g.g) ⇒ DK BD = DC DM (2)
- Từ (1) và (2) ⇒ MP MK + DK BD = DM (MC + DC)
⇒ MP MK + DK BD = DM2
0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
5
(1,5 điểm)
1) (0,75 điểm)
- HSCM: x y+ y x ≥ 2 với mọi x, y > 0
⇒ x y
y+ x -2 ≥ 0; x y
y+ x - 1 ≥ 1
⇒ ( x y
y+ x-2)( x y
y+ x -1) ≥ 0
⇒
2 2
y + x + − y+ x − y+ x + ≥
⇒ + + ≥ + x
y y
x x
y y
x
3 4 2
2 2 2
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y > 0
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( 2)( 6) 12 24 3 18 2045
B xy x= − y+ + x − x+ y + y+
*) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 ⇒ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x ∈ R (1)
y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 ⇒ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y ∈
R (2)
+ B xy x= ( −2)(y+ +6) 12x2−24x+3y2+18y+2045 = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) +
36 + 2009 = (x2 - 2x)( y2 + 6y + 12) + 3(y2 + 6y +12) + 2009
= (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3)
+ Từ (1) ; (2) và (3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015
*) B = 2015 ⇔ x = 1 và y = -3
*) Min B = 2015 ⇔ x = 1 và y = - 3
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Hết