Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h.. Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường.. Một hình thang cân có đườ
Trang 1PHÒNG GD & ĐT LÂM THAO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 02 trang)
A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng:
Câu 1 Cho x + y = 3 Giá trị của biểu thức A x 22xy y 2 4x 4y1 bằng:
A -2 B 2 C 3 D -1
Câu 2 Cho 2
f x x x a chia hết 2x- 3 Giá trị của a bằng:
A 10 B -12 C 12 D -10
Câu 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2 2020
B
x
A 1 B –1 C.2019
2020 D 2018
2019
Câu 4 Cho 3x - y = 3z và 2x + y = 7z Tính giá trị biểu thức:
2
2
3
C 3
13
Câu 5 Tìm các giá trị của x để phân thức sau: 1 5 1
1
x x
A x 1 B 1
3
1
5
x D 5
3
x hoặc x 1
Câu 6 Tìm các giá trị của a, b để đẳng thức sau: 24
x x x đúng (x2;x2)
A a1;b1 B a2;b3 C a2;b3 D a2;b3
Câu 7 Số nghiệm của phương trình: x33 x1336 là:
Câu 8 Số nghiệm của phương trình : x 20192020 x 20202019 1 là:
A .3 B 2 C 1 D Vô số nghiệm
Câu 9 Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm âm. 2 4 ( 1)
A.4 m 6 B.4 m 6 C 4 m 6 D m = 4 hoặc m = 6
Câu 10 Một người đi một nửa quãng đường AB với vận tốc 20 km/h và đi phần còn lại với vận
tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình của người đó trên toàn bộ quãng đường
A 25 B 26 C 27 D 24
Câu 11 Cho tam giác ABC có A 1200, AB = 3cm, AC = 6cm Độ dài đường phân giác AD bằng:
A 2 cm B 4 cm C 3cm D 5 cm
Câu 12 Một hình thang cân có đường chéo vuông góc với cạnh bên, biết đáy nhỏ bằng 14cm đáy
lớn bằng 50cm Tính diện tích hình thang
A 766 cm2 B 756 cm2 C 758cm2 D 768cm2
Câu 13 Một đa giác lồi có n cạnh, số đường chéo là n 150 Số cạnh của đa giác đó là:
A n 21 B n 17 C.n 20 D n 16
Đề chính thức
Trang 2Câu 14 Cho tam giác ABC có AB= 6cm, AC= 8cm Các đường trung tuyến BD và CE vuông
góc với nhau Tính độ dài BC:
A 3
2 B.2 5 C 5
2 D 5
3
Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH BC, HBC Biết HB = 9cm,
HC = 16 cm Độ dài cạnh AB, AC là:
A 15cm và 20cm B 12 cm và 23cm C 14cm và 21cm D 18cm và 17cm
Câu 16.
Một quả bóng đá được khâu từ 32 miếng da Mỗi
miếng ngũ giác màu đen khâu với 5 miếng màu trắng,
và mỗi miếng lục giác màu trắng khâu với 3 miếng
màu đen, như hình vẽ Số miếng màu trắng là:
A 22 B 24 C 20 D 18
B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không là số chính phương
b) Tìm số nguyên tố a, b, c biết: abc a b c 200
Câu 2.(4,0 điểm)
a) Cho 4a2 15ab 3b2 0 ;b 4a
Tính giá trị của biểu thức:
b a
a b b a
b a T
4
2 3 4
5
b) Giải phương trình: 2 2
3
x
x x x x
Câu 3 (4,0 điểm)
1 Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho
CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở N, M
a) Chứng minh rằng CN DM = a2
b) Gọi K là giao điểm của MA và NB Chứng minh rằng:MKN 900
c) Tìm vị trí của E và F để MN nhỏ nhất
2 Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động sao cho
BM = CN Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AMN di động trên một đường cố định
Câu 4 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y +z =1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Q
x y x y z y z y z x x z
HẾT
Họ và tên thí sinh: SBD:
Trang 3Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8
I Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của đáp án
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số
II Đáp án – thang điểm
1. Phần trắc nghiệm khách quan( 8 điểm)
Đáp
án
Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
2. Phần tự luận ( 12 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
a) (1,5 điểm) Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số nguyên liên tiếp không
là số chính phương
1,5
Ta có: ( 2 ) 2 ( 1 ) 2 2 ( 1 ) 2 ( 2 ) 2 5 ( 2 2 )
Do a2 không có tận cùng là 3 và 8 nên a2 2 không chia hết cho 5 0,5 Vậy 5 ( 2 2 )
b) (1,5 điểm) Tìm số nguyên tố a, b, c biết abc a b c 200
Vì a, b, c có vai trò như nhau Giả sử a b c
( 1)( 1) (b 1)(a 1) 202
Nếu cả ba số đều là nguyên tố lẻ thì vế trái chia hết cho 4 vế phải không chia hết cho 4
(loại).Suy ra tồn tại một số bằng 2 suy ra c=2
0,5
Ta có
4
2
(2 1)(2 1) 5.3
2;3;5;8(loai)
b
0,5
Trang 4Đáp án Điểm
Nếu b= 3 thì a= 41
Nếu b= 5 thì a= 23
Câu 2 (4 điểm)
a) Cho 4a2 15ab 3b2 0 ;b 4a
Tính giá trị của biểu thức
b a
a b b
a
b
a
T
4
2 3 4
5
b a
a b b
a
b
a
T
4
2 3 4
5
) 4 )(
4 (
) 2 3 )(
4 ( ) 4 )(
5 (
b a b a
a b b a b
a b a
0,5
2 2
2 2
16
4 15
12
b a
b ab
a
1 16
16
2
2
2
2
b
a
b
a
b) Giải phương trình. 2 2
3
x
x x x x
Ta có
0,25
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra x 0
Chia cả tử và mẫu cho x ta có
x
x x x x x x
x x
Đặt x 1 y
x
ta có
2
2
7
y
y
0,25
0,5
Nếu y=2 x 1 2 x 12 0 x 1
x
Nếu
2
0
x
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 0,25
.Câu 3 (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F
thuộc cạnh AD sao cho CE = AF Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo
Trang 5Đáp án Điểm
a)Chứng minh rằng CN DM = a2
b)Gọi K là giao điểm của NB và MA Chứng minh rằng.MKN 900
c)Tìm vị trí của E và F để MN nhỏ nhất
K
M
B
C
A
E F
0,25
1
a)AB//CD suy ra CN CE FA AB CN DM a2
0,75
b) Ta có từ câu a) CN DA
BCN đồng dạng MDA (c.g.c) CNB DAM
KMN KNM 900 Vậy MKN 900
1
c) Ta có MN MD CD CN CD 2 MD NC a 2a3a (Áp dụng bất đẳng thức
cosi) Vây min MN = 3a khi CN = DM thi E, F là trung điểm BC, AD
1
2 Cho tam giác ABC (AB < AC) Trên AB, AC có hai điểm M, N di động sao cho
BM = CN Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AMN di động trên một đường
cố định
Trang 6Đáp án Điểm
x
Q
P
L
F
I
E
A
K
M
N
G
0,25
Gọi I, F, E là trung điểm MN, BN, BC và IE cắt AC, AB tại L, P
Ta có IF, FE là đường trung bình của tam giác BNM, BNC
1
IF / / ,
2 1 / / , EF
2
Vì BM = CN suy ra tam giác EFI cân FIE FEI APL ALP ALP cân
Gọi Ax là tia phân giác góc BAC Ax//PL
0,5
Gọi K là trọng tâm tam giác ABC ta có G là trọng tâm tam giác
3
Vậy khi M, N di động trên AB, AC thi G di động đông trên KQ cố định
0,25
Câu 4 (1,0 điểm)
Q
x y x y z y z y z x x z
Ta có 2 2 2 2
0
2
a b
a b a b dấu (=) xảy ra khi a= b
Ta có
x y
x y x y x y x y
y z
z y z y z y z y
z x
z x z x z x z x
0,25
0,25
Trang 7Đáp án Điểm
2
1
2
4
4
1 ( )
8
Q
x y x y z y z y z x x z
x y y z x z
x y x y z y z y z x x z
x y y z x z
x y x y z y z y z x x z
x y y z x z
x y z y z x
x y
x
y z x z
x y z
y z y x z
0,25
Q khi x y z
0,25
……….Hết………
Trang 8a ) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b c , a b c và c2 2(ac bc ab )
Chứng minh rằng :
a)(1,5 điểm
a) Cho a, b, c là ba số nguyên thỏa mãn (a b b c c a )( )( ) a b c
Chứng minh rằng a b c 27
Nếu có hai số chia cho 3 có cùng số dư thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3 (loại )
Nếu có ba số chia cho 3 có số dư khác nhau thì vế phải chia hết cho 3, vế trái không chia hết cho
3 (loại)
Suy ra cả ba số chia cho 3 có cùng số dư vế phải chia hết cho 27 vậy a b c 27
a)Cho 3 số a, b, c thỏa mãn b c , a b c và c2 2(ac bc ab )
Chứng minh rằng :
Ta có
c ac bc ab c ac bc ab
Thay (1) vào tử số ta có
2
Tương tự ta có mẫu số
b b c b c a b c
Vậy