BO DE DA KHAO SAT HSG TOAN 8

Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S.. d Chứng minh MN là đường trung trực của AC... a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắ

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG – LẦN 1 NĂM HỌC 2014 - 2015

Môn thi: Toán lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2

3 4

3 8

b) Tính giá trị biểu thức P = x y x y−+ Biết x2 – 2y2 = x y (x + y ≠ 0, y ≠ 0)

c) Tìm số dư trong phép chia của biểu thức (x+ 2) ( x+ 4) ( x+ 6) ( x+ + 8) 2015 cho đathức x2 +10x+21

Bài 3 (1,25 điểm): Cho biểu thức A 24xy2 : 21 2 2 1 2

9 3

4 24 10

2 4

5

3

2 2

2 + x+ + x + x+ = + x + x−

x

b) 5 − 3x = 3x− 5 d, x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0 với x,y nguyên dương

Bài 5 : (2,75 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau

lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S

a) Chứng minh ∆AQR và ∆APS là các tam giác cân

b) QR cắt PS tại H; M, N là trung điểm của QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN làhình chữ nhật

c) Chứng minh P là trực tâm ∆SQR

d) Chứng minh MN là đường trung trực của AC

e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng

Bài 6 : (0,5 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015

b) Cho hai số a,b thỏa mãn điều điều kiện a + b = 1 Chứng minh a3 + b3+ ab ≥

2 1

- Hết

3 8

2 3

1 1 2

1 3 1 2

1 3 2

c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị

nguyên dương của A

2

2 3 y

x x x

⇔ x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điền kiện)

Vậy tập nghiệm của phương trình: S =

a) a) ∆ADQ = ∆ABR vì chúng là hai tam

giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và

DA = BD (cạnh hình vuông) Suy ra AQ=AR,

nên ∆AQR là tam giác vuông cân Chứng

minh tương tự ta có: ∆ABP = ∆ADS

do đó AP =AS và∆APS là tam giác cân tại A

b) AM và AN là đường trung tuyến của tam

giác vuông cân AQR và APS nên AN⊥SP và

AM⊥RQ

0,25 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

0,25 điểm

0,25 điểm

Mặt khác : PAN· =PAM· = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN

có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật

c) Theo giả thiết: QA⊥RS, RC⊥SQ nên QA và RC là hai đờng cao của

∆SQR Vậy P là trực tâm của ∆SQR

d) Trong tam giác vuông cân AQR thì MA là trung điểm nên AM =

2

1QR

⇒MA = MC, nghĩa là M cách đều A và C.

Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông

SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách đều A và C Hay MN là trung trực

của AC

e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cũng cách đều A và C Nói cách

khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm

trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng

2

1

≥0⇔(a+b)(a2+ b2-ab) +

ab-2 1

1

4 a 0 ∀a (2) đpcm

0,25 điểm

TRƯỜNG THCS LAM SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích thành nhân tử:

a/ a 2 – 7a + 12

b/ x 4 + 2015x 2 + 2014x + 2015

4

b/ Tìm số tự nhiên n để n 5 + 1 chia hết cho n 3 + 1

DA lấy điểm I sao cho DI = DA Chứng minh rằng:

a/ AI = FH ; b/ DA ⊥ FH

Bài 7: (2 điểm)Cho hình bình hành ABCD có E, F thứ tự là trung điểm của AB, CD.

a/ Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

b/ Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N Chứng minh rằng EMFN là hình bình hành.

Bài 8: (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A( )x = −(x 1) (x− 3) (x− 4) (x− + 6) 10

1 15

− c/ 3x− = 5 4 Xét 2 trường hợp:

AB=AF (gt), ·ABI =FAH· (cùng bù với ·BAC ),

BI = AH (cùng = AC) ⇒ ∆ ABI = ∆ EAH (c.g.c)

⇒ AI = FH (2 cạnh tương ứng).

b/ Gọi K là giao điểm của DA và FH ta có:

·BAI FAK+ · = 90 0 , mà ·AFH =BAI·

hay ·AFK = ·BAI nên ·AFH FAK+ · = 90 0

- Xét ∆ AFK có ·AFH FAK+ · = 90 0

F

(vì I, K thuộc đường thẳng AD, K thuộc EH)

Bài 7: (2 điểm)

a/

- Hình vẽ:

- Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành

ABCD, ta có O là trung điểm của BD

- Chứng minh BEDF là hình bình hành

- Có O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của

EF

- Vậy EF, BD, AC đồng quy tại O

b/ Xét ∆ ABD có M là trọng tâm, nên 1

PGD&ĐT THỌ XUÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1 (3,5 điểm) Phân tích các đa thức thành nhân tử:

1) 18x 3 - 8

25x2) a(a + 2b) 3 - b(2a + b) 3

F

E

1) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A được xác định.

2) Chứng minh rằng khi giá trị của biểu thức được xác định thì nó không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 3 (3,0 điểm)

1) (1,5 điểm) Cho a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: ab + bc + ca = 1

Tính giá trị của biểu thức: A = ( ) ( ) ( )

1) (1,5 điểm) Tìm dư khi chia x2015 + x 1945 + x 1930 - x 2 - x + 1 cho x 2 - 1

2) (1,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x2 + 3x + 4) 2

PGD&ĐT THỌ XUÂN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THCS LAM SƠN LẦN THỨ BA - NĂM HỌC 2014-2015

= a(a + b) 3 + 3ab 2 (a + b) + ab 3 - a 3 b - 3a 2 b(a + b) - b(a + b) 3

= (a + b)[a(a + b) 2 + 3ab 2 -ab(a - b) - 3a 2 b -b(a + b) 2 ] 0,5

= (a + b)(a 3 + 2a 2 b + ab 2 + 3ab 2 - a 2 b + ab 2 - 3a 2 b - a 2 b - 2ab 2 - b 3 ]

 

=

2 2

x

x x

⇔ (x – a)(x + a) + (y – b)(y + b) = 0Bởi vì: x + y = a + b ⇔ x – a = b – y, thế vào ta có:

1

x y

3 2

− +

3 2+

4

7 4

7 2

3 0

25 , 12 4

49 2

2

3 0

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O là trung

Ta có: AO, BE là trung tuyến của ∆ ABD Mà: AO cắt BE tại P nên P là trọng tâm của ∆ ABD 0,5

0,5 0,5

3

Vì I đối xứng với M qua E nên EI = EM

Ta có: AE = ED, EI = EM ⇒ AMDI là hình bình hành

⇒ AI // MD (1) Chứng minh tương tự, ta có: BK // MC (2)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I, A, B, K thẳng hàng hay I, K thuộc đường thẳng AB.

0,5 0,5

4

∆ KMI có E, F lần lượt là trung điểm của MI, MK

⇒ EF là đường trung bình của ∆ KMI

1 EF=

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán Lớp 8

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu Nội dung Điểm

0,250,5b)

A = (x2 - x + 1)2 - 5x(x2 - x + 1) + 4x2

§Æt x2 - x + 1 = y, ta cã

A = 4x2 - 5xy + y2 = (4x - y)(x - y)

= (4x - x2 + x - 1)(x -x2 + x - 1) = (x2 - 5x + 1)(x2 - 2x + 1)

= (x - 1)2(x2 - 5x + 1) = (x - 1)2 5 21 5 21

1,0

0,5

0,250,25

b) Có thể chứng minh một trong hai cách sau:

0,250,25

0,250,50,250,5

Ghi chỳ: Nếu học sinh làm cỏch khỏc mà đỳng thỡ vẫn cho điểm tối đa.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Mụn thi: Toỏn Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phỳt Cõu 1 (2,0 điểm)

Cõu 5 (4,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cõn tại A M, D tương ứng là trung điểm của BC, AM H là hỡnhchiếu của M trờn CD AH cắt BC tại N, BH cắt AM tại E Chứng minh rằng:

a) Tam giỏc MHD đồng dạng với tam giỏc CMD

b) E là trực tõm tam giỏc ABN

Cõu 6 (2,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh

CD và N là một điểm trên đờng chéo AC sao cho BNMã = 90 0 Gọi F là

điểm đối xứng của A qua N Chứng minh rằng FB ⊥ AC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI

Mụn : Toỏn Lớp 8

ĐỀ MÃ SỐ 02

ĐỀ MÃ SỐ 02

Câu Nội dung Điểm

0,250,250,50,5

Cách 2 f(x) = (x2 + 4x + 3)(x2 + 12x + 35) + 9

= x4 + 4x3 + 3x2 + 12x3 + 48x2 + 36x + 35x2 + 140x + 105 + 9

= x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114 Thực hiện phép chia đa thức x4 + 16x3 + 86x2 + 176x + 114

cho x2 + 8x + 12 được thương là x2 + 8x + 10 và số dư là - 6

Vậy số dư trong phép chia f(x) cho x2 + 8x + 12 là - 6

Cách 3 Bậc của đa thức thương là 2 nên đa thức dư có dạng

ax + b

Gọi đa thức thương là Q(x), ta có:

(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 9 = (x2 + 8x + 12)Q(x) + ax + b Cho x = - 2, ta có: - 1.1.3.5 + 9 = - 2a + b

0,250,25

0,750,50,25

0,250,25

0,250,250,250,5

0,250,250,50,25

16

Ghi chú: Nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

Môn thi: Toán Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (2 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2015x2 + 2014x + 2015

Bài 2: (2,5 điểm)Cho biểu thức:

2 2

1 30

x 11 x

1 20

x 9 x

1

2 2

+ +

+ + +

+ +

+

b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

A = 3

c b a

c b

c a

b a

c b

a

≥

− +

+

− +

+

−

+

Bài 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

5

2 (0,75 điểm)

c) A < 0⇔x - 2 >0⇔x >2 (0,25 điểm)

d) A ∈Z ⇔ Z

2 x

6 (

1 )

6 )(

5 (

1 )

5 )(

4 (

1

= + +

+ + +

+ +

16

16

15

15

14

1

=+

−+

++

−+

++

1 4

1

= +

; 2

y x c z x b z

+ +

2

1 2 2

z z

y x

z z

x y

x x

y z

y x y

z x x

z y

Chứng minh : ∆BEO= ∆DFO g c g( − − ) ⇒ BE = DF (0,5 điểm)

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành (0,25 điểm)

b) Chứng minh:∠ABC= ∠ADC⇒ ∠ HBC= ∠ KDC (0,25 điểm)

⇒ ∆CHB ∽∆CKD(g-g) CH CD CK CB

CD

CB CK

⇒ (1 điểm) c)Chứng minh : ∆AFD ∽∆AKC(g-g) (0,25 điểm)

CF = (0,25 điểm)

Mà : CD = AB ⇒ AB AH CF AC

AC

AB AH

CF = ⇒ = (0,25 điểm)

Suy ra : AB.AH + AD.AK = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (0,25 điểm)

18

GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

Đề 1 Bài 1: a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2)

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Bài 4: Cho ∆ ABC vuơng tại A Vẽ ra phía ngồi tam giác đĩ các tam giác ABD vuơng cân ở

B, ACE vuơng cân ở C CD cắt AB tại M, BE cắt AC tại N

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng; các tứ giác BCE; ACBD là hình thang

b) Tính DM biết AM = 3cm; AC = 4 cm; MC = 5cm

c) Chứng minh AM = AN

Bài 5: Cho M là điểm nằm trong ∆ ABC, từ M kẻ MA’ ⊥ BC, MB’ ⊥AC, MC’ ⊥ AB

(A’∈ BC; B’∈ AC; C’∈ AB) Chứng minh rằng:

MA ' MB' MC '

h + h + h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của ∆ ABC)

Bài giải

Bài 1:

a) Thực hiện phép chia: (x3 - 2x - 4) : (x2 + 2x + 2) = x - 2

b) Xác định a sao cho ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2

Vì ax3 - 2x - 4 chia hết cho x - 2 nên x = 2 là nghiệm của đa thức ax3 - 2x - 4 , nên ta cĩ: a

23 - 2 2 - 4 = 0 ⇔ 8a - 8 = 0 ⇔ a = 1

c) Tìm nghiệm của đa thức: x3 - 2x - 4

Nghiệm của đa thức là các giá trị của x để

C B

A

c) AB // CE (cùng vuông góc với AC) nên

Cho M là điểm nằm trong ∆ ABC, từ M kẻ MA’ ⊥ BC, MB’ ⊥AC, MC’ ⊥ AB

(A’∈ BC; B’∈ AC; C’∈ AB) Chứng minh rằng:

MA ' MB' MC '

h + h + h = 1(Với ha, hb, hc là ba đường cao của tam giác hạ lần lượt từ A, B, C xuống ba cạnh của ∆ ABC)Giải

Kẻ đường cao AH, ta cĩ:

a) Trong ba số a, b, c cĩ 1 số dương, 1 số âm và 1 số bằng 0; ngồi ra cịn biết thêm

2

a = b (b c) − Hỏi số nào dương, số nào âm, số nào bằng 0

b) Cho x + y = 1 Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy

Câu 2: a) Giải phương trình: x 2 3 1 + − =

b) Giả sử a, b, c là ba số đơi một khác nhau và a b c 0

Câu 4: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E; từ B kẻ

đường thẳng song song với AD cắt AC tại F

A

c a ac + cb - b (a - b) (a - b)(c - a)(b - c)

AB AC - BE EC = AE.AH - AE EH

⇔ AB AC - BE EC = AE (AH - EH) = AE AE = AE2

Bài 2: So sánh A và B biết:

22

H E

x

C B

A

O

F D

E

C B A

a) A = 2002 2004 và B = 20032

b) A = 3.(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) và B = 264

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD cĩ đường chéo lớn AC Hạ CE vuơng gĩc với AB, CF

vuơng gĩc với AD và BG vuơng gĩc với AC Chứng minh:

a) ∆ACE ∆ABG và ∆AFC ∆CBG

b) AB AE + AD AF = AC2

Bài 4: Cho hình thoi ABCD cạnh a, cĩ Â = 600 Một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của tia BA và DA lần lượt tại M và N

a) Chứng minh: Tích BM DN cĩ giá trị khơng đổi

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo gĩc BKD

x 5

− +c) x 5 1,5 x 5 1,5;(x 5) x 6,5

Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có:

AB AE + AF AD = AC AG + AC CG

⇔ AB AE + AF AD = AC(AG + CG) = AC AC

Vaọy: AB AE + AD AF = AC2

− +

=

−a) Rút gọn A b) Tìm x để A = 0 c) Tìm giá trị nguyên của x

Câu 4: Cho ∆ABC có A 2B 4C 4à = à = à = α Chứng minh: 1 1 1

b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc BDE

c) Tính chu vi của ∆ADE nếu ∆ABC là tam giác đều

(v× BM = CM)⇒ AB AB 1 1 1 1

BC AC + = ⇒ AB = BC CA +C©u 5 :

a) Ta có DMC = DME + CME = B + BDM· · · µ · , mà DME = B· µ

c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của ·DEC

kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM

⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH

Chu vi ∆AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)

∆ABC là tam giác đều nên suy ra CH = MC

Câu 2 : Cho x + y + z = 0 Rút gọn : 2 2 2

2 2 2

) ( ) ( ) (y z z x x y

z y x

− +

− +

−

+ +

Câu 3 : Chứng minh rằng khơng tồn tại x thỏa mãn :

a) 2x4 - 10x2 + 17 = 0b) x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0

Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho

OD 2 = Gọi K là giao điểm của BO và AC

Tính tỉ số AK : KC

Câu 5 : Cho tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn, trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt AB, AC

thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M

C B

A

CK = 2Câu 5

Gọi giao điểm của AH và BC là I

Từ C kẻ CN // PQ (N∈ AB),

Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung

điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy

tại A nên K là trung điểm CN ⇒ MK là

đường trung bình của ∆BCN

⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1)

H là trực tâm của ∆ABC nên CH⊥A B (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥CH ⇒ MK là đường

cao của∆CHK (3)

Từ AH ⊥BC ⇒ MC⊥HK ⇒ MI là đường cao của ∆CHK (4)

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆CHK⇒ MH⊥CN ⇒ MH⊥PQ

∆MPQ cĩ MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M

Đề 6 Câu 1: a) Tìm các số nguyên m, n thoả mãn m n2 n 1

n 1

+ +

= + b) Đặt A = n3 + 3n2 + 5n + 3 Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trịnguyên dương của n

c) Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì a2+b2 chia hết cho 13

C D

B A

I K N

M

Q

P H

C B

A

Câu 3: Tính tổng: S =

3 1

1 + 5 3

1 + 7 5

1 + … + 2009.20111

Câu 4: Cho 3 số x, y, z, thoả mãn điều kiện xyz = 2011 Chứng minh rằng biểu thức sau

a) BD.CE=BC2

4b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của· BDE và ·CED

c) Chu vi ∆ADE không đổi

2) a) A= (a b)(a c) (b c)(a b) (a c)(b c)bc − ca + ab

(a b)(a c)(b c) (a b)(a c)(b c)

− − − = 1b) Ta cã:

6

1 x x

 + 

  =

2 3

3

1 x x

1 +

zx z

z

+ +

zx z

xz z

+ +

+ + 1

Từ đó suy ra Dˆ1= Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE

Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED

c, Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC

Chứng minh DH = DI, EI = EK

Thời gian làm bài 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề

2 1

x

y

E D

B

A

Câu 3 (4,0 điểm)

1 Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x+ 2 dư 10, f(x) chia cho x− 2 dư 24, f(x)

chia cho x2 − 4 được thương là −5x và còn dư

2 Chứng minh rằng:

a b c b c a( − )( + − ) 2 +c a b a b c( − )( + − ) 2 =b a c a c b( − )( + − ) 2

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao

cho AE = AF Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1 Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

2 Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng: AC = 2EF.

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề

Vậy A 1

2

x x

+

2

x x

x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: