Đề thi học sinh giỏi lớp 8 lần III

Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của điểm C qua P.. Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng.. c Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8

Môn : Toán Thời gian: 90 phút ĐỀ BÀI:

Bài 1 : Cho biểu thức:

P =

2

4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi 1

2

c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên

d) Tìm x để P > 0

Bài 2 : Giải phương trình:

a/ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = 0

− + − + − + − =

Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : 9999 99 và 6666

Bài 4 : Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là

điểm đối xứng của điểm C qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gì?

b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC và ba điểm E, F, P thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P

d) Giả sử CP ⊥ BD và CP = 2,4 cm, PD = 9

PB 16 Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Bài 5 : Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD tại

các điểm E và F tương ứng Gọi G là giao điểm của d và AC Chứng minh : + =

AB AD AC

AE AF AG

Bài 6 : a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010

b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

1 2 1 2 2

1 x + 1 y ≥ 1 xy

-HẾT -ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài 1: Phân tích:

4x2 – 12x + 5 = (2x – 1)(2x – 5)

13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)

21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)

4x2 + 4x – 3 = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ

0,5đ

a) Rút gọn P = 2 3

x x

−

− 2đ

2

2

x

2

x = −

+) 1

2

x = ⇒… P = 1

2

2

x = − ⇒ …P = 2

3 1đ

x

x

−

− =

2 1

5

x

+

−

Ta có: 1 Z ∈

Vậy P∈ Z khi 2

5 Z

−

⇒ x – 5 ∈ Ư(2)

Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}

x – 5 = -2 ⇒ x = 3 (TMĐK)

x – 5 = -1 ⇒ x = 4 (KTMĐK)

x – 5 = 1 ⇒ x = 6 (TMĐK)

x – 5 = 2 ⇒ x = 7 (TMĐK)

KL: x∈ {3; 6; 7} thì P nhận giá trị nguyên 1đ d) P = 2 3

x

x

−

− =

2 1

5

x

+

− 0,25đ

Ta có: 1 > 0

Để P > 0 thì 2

5

x − > 0 ⇒ x – 5 > 0 ⇔ x > 5 0,5đ Với x > 5 thì P > 0 0,25 Bài 2:

1 12

x

( 4 15 ) ( 1 ) 1 12 1 4 3 ( 1 1 )

x

⇔3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 3 12(x -1) + 12(x + 4)

…

⇔3x.(x + 4) = 0

⇔3x = 0 hoặc x + 4 = 0

+) 3x = 0 => x = 0 (TMĐK)

+) x + 4 = 0 => x = -4 (KTMĐK)

S = { 0} 1đ

10

⇔148 1 169 2 186 3 199 4 0

 − +   −   + − +   −  =

25 23 21 19

25 23 21 19

Nên 123 – x = 0 => x = 123

S = {123} 1đ c) x − + = 2 3 5

Ta có: x − ≥ ∀ 2 0 x => x − + 2 3 > 0

nên x − + = − + 2 3 x 2 3

PT được viết dưới dạng:

x − + = 2 3 5

⇔x − 2 = 5 – 3

⇔x − 2 = 2

+) x - 2 = 2 => x = 4

+) x - 2 = -2 => x = 0

S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ)

Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ

Vận tốc dự định của người đ xe gắn máy là:

3

( / )

1 10

3

3

km h

=

(3h20’ = 3 1 ( )

3 h ) 0,25đ Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5 km/h là:

3 5 ( / )

10

x

km h

+ 0,25đ Theo đề bài ta có phương trình:

3

5 3

10

x

x

 +  =

  0,5đ

⇔x =150 0,5đ

Vậy khoảng cách giữa A và B là 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45( / )

Bài 4(7đ)

Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0,5đ

a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD

 PO là đường trung bình của tsm giác CAM

 AM//PO

⇒tứ giác AMDB là hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)

Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB

Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc IEA

Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ

C D

O M

P

I E

F

c) ∆MAF : ∆DBA g g( − ) nên MF FA = AD AB không đổi (1đ)

9 16

Nếu CP⊥BD thì CBD DCP g ( g ) CP PB

do đó CP2 = PB.PD

hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2

PD = 9k = 1,8(cm)

PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d

BD = 5 (cm)

C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ

do đó BC = 4 (cm)

CD = 3 (cm) 0,5đ

Bài 5:

a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)

Vì 20092008 + 1 = (2009 + 1)(20092007 - …)

= 2010.(…) chia hết cho 2010 (1)

20112010 - 1 = ( 2011 – 1)(20112009 + …)

= 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) 1đ

Từ (1) và (2) ta có đpcm

1 x + 1 y ≥ 1 xy

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2

0

0

1

0 2

y x xy

⇔  − ÷  + − ÷ ≥

Vì x≥1;y≥1 => xy≥1 => xy− ≥ 1 0

=> BĐT (2) đúng => BĐT (1) đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 1đ Chú ý: Các cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa