viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thântôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bàitập như: Cộng trừ các phân t
Trang 1PHẦN I: MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài:
Đất nước ta đang trên đà phát triển, hội nhập với các nước trên thế giới vàtrong khu vực, đòi hỏi phái có những con người độc lập, tự chủ, sáng tạo, biếttiếp thu những tri thức khoa học hiện đại, biết vận dụng và tìm ra những giảipháp hợp lí cho bản thân và xã hội Nhiệm vụ đó không chỉ của ngành giáo dục
mà là nhiệm vụ của mọi cấp, mọi ngành, mọi người, tất cả đều phải tham gia vàohoạt động giáo dục Nhưng trước tiên ngành giáo dục đóng vai trò quyết địnhđến thành công của sự nghiệp giáo dục Chính vì vậy mà Đảng ta đã xác định:
“Giáo dục là quốc sách hàng đầu” Hơn nữa, trong mục tiêu chung của giáo dục
đã xác định: “ Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triểntoàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản nhằm hìnhthành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách vàtrách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh học tiếp lên hoặc đi vào cuộc sốnglao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc”
Để thực hiện mục tiêu đó ngành giáo dục đã định hướng đổi mới phươngpháp dạy và học theo chương trình sách giáo khoa mới Trong đó, môn Toáncũng như mọi môn học, xuất phát từ đặc điểm và vai trò, vị trí, ý nghĩa của nó,phối hợp cùng các môn khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường gópphần thực hiện mục tiêu trên
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán theo chương trình mới, tôi nghĩmình cần xác định rõ vai trò và nhiệm vụ của người giáo viên đứng lớp một cáchlinh hoạt, sáng tạo mà hơn hết phải rèn luyện được phương pháp dạy học có hiệuquả nhằm phát huy sự tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh của học sinhtrong quá trình học tập, giúp học sinh chiếm lĩnh kiến thức đạt hiệu quả cao nhất
Năm học 2009 - 2010 và năm học 2010 – 2011 tôi được nhà trường phâncông giảng dạy bộ môn toán 8, qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ các giáo
Trang 2viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bản thântôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bàitập như: Cộng trừ các phân thức không cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phânthức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, tính giá trị lớn nhất,nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ vì để giải được các dạng toán đóthì cần phải có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh có kỹnăng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán liênquan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làm được điều nàythì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Để phân tích đa thức thành nhân tử SGK Toán 8 - tập 1 có đưa ra 4phương pháp cơ bản đó là: + Đặt nhân tủ chung
+ Nhóm các hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
+ Phối hợp nhiều phương pháp
Nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên thì học sinh có thể sẽ gặp khó khăntrong quá trình giải toán (có những bài chưa thể giải được hoặc không có phươngpháp tổng quát để giải) Vì vậy khi dạy các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử, giáo viên cần bồi dưỡng thêm cho học sinh các phương pháp khác ngoàisách giáo khoa như: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm bớt cùng mộthạng tử, đặt ẩn phụ (đổi biến), hệ số bất định, xét giá trị riêng Đặc biệt là đốivới học sinh khá giỏi, giúp các em biết lựa chọn các phương pháp thích hợp khigặp các dạng toán khó
Hiểu được điều này, bằng những kinh nghiệm dạy và học toán Tôi mạnh
dạn lựa chọn đề tài “Dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử ở trường THCS ” Trong đề tài này tôi xin đề xuất một vài phương pháp để
Trang 3việc dạy học cho các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đạt hiệu quảcao hơn với hy vọng nó sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toánphân tích đa thức thành nhân tử và giúp học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với
bộ môn toán
2 Mục đích nghiên cứu:
- Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc THCS
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp phântích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốtdạng toán này
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tử
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh
- Thấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giảitoán từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thứcvào thực tiễn cuộc sống
3 Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Tìm hiểu nội dung dạy học về phân tích đa thức thành nhân tử trongSGK và sách nâng cao toán 8
- Tìm hiểu ứng dụng của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong việcgiải các bài toán có liên quan
Trang 44 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu là: Học sinh lớp 8 Trường THCS Ngô Xá huyện Cẩm Khê - tỉnh Phú Thọ
Phạm vi nghiên cứu : Học sinh lớp 8C
5 Phương pháp nghiên cứu:
+) Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu, giáo trình về phương pháp dạy học Toán, các tàiliệu có liên quan đến đề tài
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về phân tích đa thức thànhnhân tử Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh phổ thông cơ sở như:
+ Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9
+ Sách giáo viên 7, 8, 9
+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên vàhọc sinh
+) Phương pháp điều tra, phỏng vấn:
- Xin ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoànthiện đề tài
+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
- Tổ chức thực nghiệm 2 tiết nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài.
Trang 5PHẦN II: NỘI DUNG.
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
1 Cơ sở lí luận:
Toán học là bộ môn khoa được coi là chủ lực bởi trước hết Toán học hình
thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư duy lôgíc vìthế nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa chúng ta đã tiếpcận với nền kinh tế tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại
Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa,phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huyđựơc sự tự giác, tích cực, sáng tạo của học sinh nhằm nâng cao năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thứcvào thực tiễn
Trong chương trình đại số 8, nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử”
là nội dung hết sức quan trọng vì dạng toán này được vận dụng rất nhiều trongcác dạng toán: Rút gọn phân thức, qui đồng mẫu các phân thức, cộng, trừ, nhân,chia phân thức, Chính vì vậy, việc dạy phân tích đa thức thành nhân tử có ýnghĩa hết quan trọng
Cơ sở lí luận khi nghiên cứu nội dung “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là:
+ Kế thừa kiến thức ở chương 4 lớp 7 phần: Biểu thức đại số
+ Kiến thức cơ bản ở chương: Phép nhân và phép chia các đa thức
+ Kiến thức nâng cao ở một số sách tham khảo
+ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở một số dạng toán cơ bản
Trang 6+ Giúp học sinh khám phá những tri thức mới.
2 Cơ sở thực tiễn:
Năm học 2009 - 2010 và năm học 2010 – 2011 tôi được nhà trường phâncông giảng dạy bộ môn toán 8 và qua thực tế giảng dạy kết hợp với dự giờ cácgiáo viên trong trường, đồng thời qua các đợt kiểm tra, các kì thi chất lượng bảnthân, tôi thấy việc dạy học môn Toán ở trường THCS Ngô Xá hiện nay có một
số thuận lợi và khó khăn:
+ Còn 1 số em ỷ lại, lười học và chưa có sự say mê, tự giác trong học tập
1 số em mất căn bản từ các lớp dưới về qui tắc đổi dấu, nhân chia các đơn thức
+ Các dạng toán về phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán cơbản nhưng rất phong phú nên các em dễ bị nhầm, chưa linh hoạt trong giải toán
CHƯƠNG II: CÁC BIỆN PHÁP SƯ PHẠM CẦN THỰC HIỆN
Trang 7ĐỂ GÓP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG DẠY HỌC NỘI DUNG :
“ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ ” Ở TRƯỜNG THCS.
1 Giải pháp 1: Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)
+ Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán
+ Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành + Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán
+ Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)
Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp) + Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác
+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử
+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức
+ Phương pháp hệ số bất định
+ Phương pháp xét giá trị riêng
Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vào trình
độ nhận thức của học sinh Tôi không đi sâu nghiên cứu tất cả các phương pháp,
mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (phương pháp 1, 2, 3, 4) và thêmhai phương pháp nâng cao (phương pháp 5, 6) Các phương pháp còn lại(phương pháp 7, 8, 9, 10) chỉ mang tính chất giới thiệu
Trang 82 Giải pháp 2: Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử và một số lưu ý khi dạy học các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh THCS.
2.1 Lý thuyết:
* Định nghĩa : Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi
Đa thức đó thành một tích của những đa thức
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các đa thức có hệ số nguyên):
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của cáchạng tử
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trongtất cả các hạng tử của đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử
b Ví d ụ
Ví dụ 1.1: Phân tích đa thức 15x 2 y 2 – 9x 3 y + 3x 2 y thành nhân tử.
* Phân tích ví dụ:
- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1 là: 15; 9; 3
và ƯCLN(15, 9, 3) = 3 Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Phần biến: Các biến có mặt trong các hạng tử là x và y, luỹ thừa nhỏ
nhất của biến x là : x 2 và của biến y là: y
Vậy nhân tử chung của phần biến là: x 2 y.
Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức trên là: 3x 2 y
Ta có lời giải cho bài toán trên là:
15x2y2 – 9x3y + 3x2y3 = 3x 2 y 5y - 3x 2 y 3x + 3x 2 y 1
= 3x 2 y (5y - 3x + 1)
Trang 9* Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp :
Khi HS phân tích thành đa thức thành nhân tử, tôi thấy các em đã biết tìm
và đặt nhân tử chung tuy nhiên các em cũng thường mắc 1 số sai lầm cơ bản :
Trong ví dụ trên: Phân tích đa thức 15x 2 y 2 – 9x 3 y + 3x 2 y thành nhân tử Khi viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ sót số 1 (HS cho rằng
ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x 2 y thì hạng tử thứ 3 trong ngoặc còn lại
là số 0) dẫn đến lời giải sai: 15x 2 y 2 – 9x 3 y + 3x 2 y = 3x 2 y.5y - 3x 2 y.3x+ 3x 2 y
= 3x 2 y ( 5y - 3x + 0)
= 3x 2 y ( 5y - 3x ) (kết quả sai vì bỏ sót số 1).
Ví dụ 1.2: ( Bài tập: 39c - SGK/ tr19)
Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử
Với ví dụ này HS có thể phân tích thành nhân tử tương tự như VD 1.
? Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ?
? Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?
Nếu HS không tìm được nhân tử chung thì GV gợi ý học sinh thực hiện đổi dấu:
(y – x) = - (x – y).
Vậy ví dụ 2 được giải như sau:
10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))
= 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y
= 2(x – y)(5x + 4y)
Trang 10Ví dụ 1.4 : Phân tích đa thức x(x – 2) – 5(2 – x) 2 thành nhân tử.
* Phân tích ví dụ:
Nếu giáo viên lần lượt đưa ra các ví dụ như trên thì khi đến ví dụ này HS sẽ thực hiện đổi (2 – x) 2 thành (x – 2) 2 Một số HS khá giỏi có thể nhận ra bình phương của 2 biểu thức đối nhau thì bằng nhau và đổi dấu: (2 – x) 2 = (x – 2) 2
và đưa ra được lời giải đúng cho bài toán:
Giải:
x(x – 2) – 5(2 – x)2 = 2(x – 2) – 5(x – 2)2
= (x – 2)(2 – 5x + 10) = (x – 2)(12 – 5x)
* Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp :
Tuy nhiên, khi giải bài toán trên HS cũng có thể mắc sai lầm khi đổi dấu:
(2 – x)2 = -(x – 2)dẫn đến lời giải sai:
x(x – 2) – 5(2 – x)2 = 2(x – 2) - [- 5(x – 2)2 ]
= 2(x – 2) + 5(x – 2)2
= (x – 2)(2 + 5x – 10) = (x – 2)(5x – 8)
Vì vậy, khi dạy cho HS phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt
nhân tử chung GV cần lưu ý cho HS các nội dung:
- Cách tìm nhân tử chung (cả phần hệ số và phần biến)
- Qui tắc đổi dấu và cách đổi dấu trong 1 tích.
+ Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))
+ Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A 2 = (-A) 2
(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau).
c Bài tập áp dụng
* Dạng 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1 12x2y - 18y3
Trang 111 Chứng minh dằng : 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên)
2 Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi sốnguyên n
Trang 12- Nếu gặp đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bình phương (A 2 và B 2 ) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B) hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc (2) (Phần a, b).
- Nếu gặp đa thức có dạng một hiệu của hai hai biểu thức mà hai biểu thức
đó có thể đưa được về dạng hiệu hai bình phương (A 2 – B 2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (3) (Phần c).
- Nếu gặp đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A 3 và B 3 hoặc A 3 và -B 3 ) hai hạng tử còn lại
có thể phân tích đưa về dạng 3.A 2 B + 3.A.B 2 (hoặc - 3.A 2 B + 3.A.B 2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Phần d).
- Nếu gặp đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai biểu thức mà hai biểu thức đó có thể phân tích, đưa được về dạng lập phương (A 3 và B 3 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc (7) (Phần e).
* Một số lưu ý khi dạy học phương pháp trên:
- Khi sử dụng phương pháp trên HS dễ mắc phải sai lầm:
+ Qui tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và qui tắc dấu.
Chẳng hạn như ví dụ 2.1 phần c: (x + y)2 – (x– y)2
Học sinh thường quên dấu ngoặc trong kết quả (a – b):
Cụ thể: (x + y)2 – (x– y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x - y)
= 0 (2x ) = 0
Trang 13+ Kĩ năng biến đổi, nhận dạng hằng đẳng thức.
- Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng đẳng thức.
Ví dụ 2.2: Phân tích đa thức - x 4 y 2 - 8x 2 y - 16 thành nhân tử.
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện
nhân tử chung hoặc nhóm để làm xuất hiện hằng đẳng thức
b.Ví dụ:
* Nhóm nhằm xuất hiện nhân tử chung:
Ví dụ 3.1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
Cách 2: Nhóm (x2 + x) và (– xy – y )
x2 – xy + x – y = (x2 + x) - (xy + y)
Trang 14= x(x + 1) - y(x + 1)
= (x + 1)(x – y)
b Cách 1: Nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz), ta có:
2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)
Cách 2: Nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz), ta có:
2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
Cách 3: Nếu nhóm (2xy + yz) và (2x + z), ta có:
2xy + z +2x +yz = (2xy + yz) + (2x + z)
= y(2x + z) + (2x + z) = (2x + z)(y + 1)
* Nhóm nh m xu t hi n h ng ằm xuất hiện hằng đẳng thức ất hiện hằng đẳng thức ện hằng đẳng thức ằm xuất hiện hằng đẳng thức đẳng thức ng th c ức
Ví dụ 3.2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
* Nhóm nh m s d ng hai phằm xuất hiện hằng đẳng thức ử dụng hai phương pháp trên: ụ ương pháp trên: ng pháp trên:
Ví dụ 3.3: Phân tích đa thức : x 2 – 2x – 4y 2 – 4y thành nhân tử
Giải :
a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y), ta có:
Trang 15Ở ví dụ 3.1 b nếu ta nhóm các hạng tử 1 với 3 và 2 với 4 hoặc hạng tử 1 với 4 và 2 với 4 ta đều có thể phân tích được đa thức thành nhân tử Nhưng nếu
ta nhóm hạng tử thứ 1 với 2 ; hạng tử 3 với 4 thì đa thức không thể phân tích được Tương tự như thế đối với các ví dụ còn lại
Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách hợp lý các hạng tử Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức dựa vào kinh nghiệm trong quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
+ Mỗi nhóm đều phân tích được.
+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân
tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa
*Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp:
Khi nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng tử sau khi nhóm.
Ở ví dụ trên: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử
Học sinh có thể đưa ra lời giải sau
Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên )
= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)
Sai lầm của học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )
(Chưa đổi dấu của hạng tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm)
Trang 16pháp, đó là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng
tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài
toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp
Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:
- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung
- GV có thể dẫn dắt cho HS sử dụng phương pháp trên bằng các câu hỏi gợi ý:
+ Các hạng tử của đa thức có nhân tử chung không?(Đặt nhân tử chung nếu có)
+ Có dạng là hằng đẳng thức nào không?
Trang 17+ Có thể nhóm các hạng tử như thế nào để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức không?
- Từ những câu hỏi trên, hướng dẫn để HS có lời giải hoàn chỉnh.
c, 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 = (2x – 2y) – (x2 - 2xy + y2) (Nhóm các hạng tử)
= 2(x - y) – (x - y)2 (Dùng hằng đẳng thức) = (x - y)[2 – (x - y)] (Đặt nhân tử chung) = (x - y)(2 – x + y)
Ví dụ 4.2: (Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1);
Phân tích đa thức A = (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 thành nhân tử
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
*Phân tích ví dụ :
Quan sát ví dụ 4.1 a, b, ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức), sau đó nhóm các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức
- Ví dụ 4.1 c, ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó
Trang 18tiến hành phân tích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức) xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng phối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự nhất định nào Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trường hợp, từng bài toán cụ thể.
* Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp :
- Cũng như các phương pháp trên, khi nhóm các hạng tử cần lưu ý cho HS việc đổi dấu của hạng tử khi đưa vào trong ngoặc mà đằng trước có dấu ‘‘ – '’.
- Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó một cách triệt để.
Ví dụ 4.3: Phân tích đa thức x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x thành nhân tử
Học sinh có thể đưa ra các lời giải sau:
1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)
= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)
Hai lời giải chưa hoàn chỉnh vì nhân tử trong ngọăc vẫn phân tích được tiếp
Trang 19Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Tuy nhiên
trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn phương pháp
trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi
ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải Xin giới thiệu
thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hànhgiải toán
2.2.5 Phương pháp 5: Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
(Áp dụng đối với đa thức bậc hai ax 2 + bx + c ).
a Phương pháp chung:
- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức xuất
hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức
b, Ví dụ:
Ví dụ 5.1: (Ví dụ 26(3) - Nâng cao và phát triển toán 8 - tập 1 – Tr.39)
Phân tích đa thức: 3x 2 – 8x + 4 thành nhân tử.
Quan sát đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta cần phải
có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành nhiều hạng tử.
Với bài toán này có nhiều cách tách: Tách hạng tử tự do, tách hạng tử bậc nhất, tách hạng tử bậc hai GV có thể nêu 1 vài ví dụ sau đó đưa ra trường hợp tổng quát để HS hiểu và vận dụng được trong các bài tập tương tự.
Cách 2: Tách hạng tử bậc nhất: – 8x = - 6x – 2x.
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4
Trang 20= 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cách 3: Tách hạng tử tử do : 4 = -12 + 16
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16
= 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8)
= (x – 2)(3x – 2)
*Phân tích ví dụ:
Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm:
- Làm xuất hiện HĐT hiệu của hai bình phương (Ví dụ 5.1 cách 1)
- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2 (ví dụ 5.1 cách 2)
- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung (ví dụ 5.1 cách 3)
Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.
Trang 21Ví dụ 5.2: (Bài tập 35c – SBT - tr7)
Phân tích đa thức – 6x2 + 7x – 2 thành nhân tử
Áp dụng các bước như trên, ta dễ dàng có lời giải cho bài toán.
*Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp:
- Đa thức dạng ax 2 + bxy + cy 2 khi phân tích cách làm tương tự như đa thức bậc 2 một biến.
- Đa thức bậc hai ax 2 + bx + c không phân tích thành tích các nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ nếu khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách không có 2 thừa số nào có tổng bằng b Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về
dạng a(x 2 - k) thì k không phải là bình phương của một số hữu tỷ thì đa thức đó không phâp tích được thành nhân tử.
Ví dụ 5.3: Phân tích đa thức x 2 + 4x + 6 thành nhân tử.
Nhận xét:
Trong ví dụ này ta có: Xét đa thức x2 + 4x + 6 có a = 1; b = 6 ; c = 6 => a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)
không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4
Vậy đa thức x2 + 4x + 6 không phân tích được thành tích
- Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ,
tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
Ví dụ 5.4: Phân tích đa thức x 3 – 7x + 6 thành nhân tử.
Giải:
Trang 222.3.6 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.