on tap Hinh hoc lop 12 hoc ky 2

Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD). 12/ Baøi 12 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình choùp S[r]

BÀI 1:

TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM

TRONG KHÔNG GIAN

I/ Tọa độ của véctơ

1.Định nghĩa:

→ a = (a1;a2;a3)  → a = a1.i +a2.j+a3 k

2 Tính chất: Cho → a =(a1;a2;a3) ; b → =(b1;b2;b3) và k R ,ta có:

III/ Tọa độ của điểm

1.Định nghĩa:Cho hệ tọa độ Oxy Với một điểm M tùy ý ,tọa độ của véctơ OM được gọi là tọa độ

của điểm M ;ký hiệu M=(x;y;z) hay M (x;y;z)

2 Tính chất : Cho A(x1 ;y1;z1) và B(x2;y2;z2) thì :

M

M

M

x kx x

k

y ky y

k

z kz z

BÀI 2 TÍCH VÔ HƯỚNG, TÍCH CÓ HƯỚNG

I/Tích vô hướng của 2 véc tơ:

I/Tích có hướng của 2 véc tơ:

1/Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ tuỳ ý → a =(a1;a2;a3); b → =(b1;b2;b3) Tích cóhướng củ 2 véc tơ a và b là một véc tơ kí hiệu: a b, 

  được định nghĩa:a b, 

III/Một số ứng dụng cuả tích có hướng:

1/Diện tích tam giác :

3/Điều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ:

Điều kiện cần và đủ để 3 véc tơ a, b, c đồng phẳng là : a b, 

 .c = 0

4/Thể tích của hình hộp ABCDA’B’C’D’:

=[AB ,AC ] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

3/Định nghĩa phương trình mặt phẳng:

Trong không gian mỗi phương trình: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C20 được gọi là phươngtrình tổng quát của mặt phẳng (hay đơn giản hơn là phương trình mặt phẳng)

=(A;B;C) có phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

 Mặt phẳng () song song với mp(') có phương trình: Ax+By+Cz+D = 0 thì phương trìnhcủa mặt phẳng () có dạng : Ax+By+Cz+D’ = 0

 Mặt phẳng qua 3 điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) phương trình là: x  y  z 1

trình này gọi là phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng

BÀI 6:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG

II/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng :

D '

BÀI 7:

CHÙM MẶT PHẲNG

Cho 2 mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = 0

( α ' ): A’x + B’y + C’z+ D’= 0

1/- Định lý :

Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của ( α ) và ( α ' ) đều có phương trình dạng :

(Ax + By+ Cz + D)+ μ (A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (2) ( λ2+μ2≠ 0 )

Ngược lại mỗi phương trình dạng (2) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyếncủa( α )và( α ' )

2/- Định nghĩa :

Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( α ' ) gọi là một chùmmặt phẳng , phương trình (2) là phương trình chùm mặt phẳng

BÀI 8: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I/ Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng được xem là giao tuyến  của hai mặt phẳng cắt nhau ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và ( α ' ) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Nên phương trình tổng quát của đường thẳng là :

với A2 + B2 + C2  0 ; A’2 + B’2 + C’2  0 và A : B : C  A’ :B’ : C’

II/ Phương trình tham số của đường thẳng

1/- Véctơ chỉ phương của đường thằng

Véctơ a →0 được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu đường thẳng chứa a songsong hoặc trùng với d

2/ Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm Mo (xo;yo;zo) có một vtcp a = (a1;a2;a3)

phương trình tham số là :

III/ Phương trình chính tắc của đường thẳng

Đường thẳng d đi qua điểm Mo (xo;yo;zo) có một vtcp a = (a1;a2;a3)

phương trình chính tắc là :

Chú ý :

i/ Trường hợp 1 hoặc 2 trong 3 số a1, a2, a3 bằng 0 ta vẫn viết phương trình (3) với quy ước : nếu mẫu số bằng 0 thì tử số cũng bằng 0

ii/ Phương pháp chuyển phương trình từ dạng :

a- Tham số ra tổng quát

* Chuyển tham số về dạng chính tắc

* Từ 2 trong 3 cặp tỷ lệ rút ra 1 phương trình mặt phẳng  có 2 mặt phẳng  có phương trìnhđường thẳng dạng tổng quát

b- Tổng quát ra tham số :

* Cho x = t (hoặc y = t, hoặc z = t)

 Giải hệ phương trình theo 2 ẩn còn lại theo t , ta có hệ x, y, z theo t là phương trình tham số cần tìm

BÀI 9:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG,

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I/ Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

Cho 2 đường thẳng:

II/ Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng d :

BÀI 10: KHOẢNG CÁCH

I/ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :

II/Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Cho điểm Mo (xo, yo, zo)(), () có véctơ chỉ phương a và một điểm M1 Ta có :

III/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :

Cho hai đường thẳng :

Đường thẳng  qua Mo có véctơ chỉ phương a

Đường thẳng'qua M1 có véctơ chỉ phương b →

BÀI 11: GÓC

I/ Góc giữa hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng ,' lần lượt có các véctơ chỉ phương là : a=(a1;a2;a3), b → =(b1;b2;b3) ; 

II/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Cho mặt phẳng   : Ax + By + Cz + D = 0 có véctơ pháp tuyến n =(A; B;C) và đường thẳng () có véctơ chỉ phương a=(a1; a2; a3) Gọi  là góc giữa () và  

A +B +C a +a +a



// α hoặc  α  Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0

III/ Góc giữa hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng ( α ):Ax+By+Cz+D=0có véctơ pháp tuyến n

=(A;B;C) ( α '):A’x+B’y+C’z+D’=0 có véctơ pháp tuyến

BÀI 12: MẶT CẦU

I/ Phương trình mặt cầu :

1/- Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a;b;c), bán kính R là :

(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

* Nếu I  0 thì phương trình mặt cầu là :

x2+ y2+z2 = R2

2/- Phương trình : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+d= 0

với a2 + b2 + c2 –d > 0 là phương trình mặt cầu có tâm I (a;b;c) và bán kính R=

a +b +c -d

II/ Giao của mặt cầu và mặt phẳng :

Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 +(y – b)2 +(z– c)2 = R2 tâm I(a;b;c) và mặt phẳng ( α ) :Ax+By+Cz+D = 0Gọi H =Ch I  thì :

IH = d (I,  ) = Aa+Bb+Cc+D√A2 

+B2+C2

< R là phương trình đường tròn + Nếu IH=R thì ( α )  (S)= {H}  ( α ) là tiếp diện của (S) tại H

1/ Một số bài toán về tam giác, tứ giác.

 Chứng minh 3 diểm A, B, C lập thành tam giác

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB , AC , rồi chứng tỏ chúng không cùng phương  toạ độ tương ứng chia

cho nhau khác nhau họăc [AB , AC



]0

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB, AC, rồi chứng tô AB.AC.

 Tìm điểm D để tứ giác ABCD lập thành một hình bình hành

Ta đi tính toạ độ véc tơ AD, BC

để tứ giác ABCD lập thành một hình bình hành thì :

AD



= BC  toạ độ điểm D

 Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC

H là trực tâm tam giác ABC 

 Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

Tìm toạ độ giao điểm D cuả đường phân giác trong góc A với cạnh BC của tam giác ABC.

 từ đây tìmđược toạ độ điểm D

 Tính diện tich của một tam giác

2/ Một số bài toán về tứ diện.

 Chứng minh 4 diểm A, B, C, D lập thành tứ diện

Ta đi tính toạ độ véc tơ AB , AC

 Tìm toạ độ trực chân đường cao H của tứ diện hạ từ A xuống mp(BCD).

Cách I/ H là chân đường cao cần tìm 

Cách II/ Lập phương trình mp(BCD), Phương trình đường thẳng  qua A vuông góc mp(BCD)

toạ độ điểm H là nghiệm của hệ:

( )

ptmp BCD ptdt









 Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD

Cách I/ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện 

Cách II/ Thế toạ độ của A,B,C,D vào phương trình tông quát dạng khai triển giải hệ 4 phương

trình 4 ẩn số A,B,C,D  toạ độ tâm là I(-A;-B;-C)

 Thể tích của tứ diện ABCD :

MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH

MẶT PHĂÛNG

1/ Lập phương trình mặt phăûng qua 3 điểm A,B,C.

Chọn điểm đi qua là A, véc tơ pháp tuyến là n [AB AC, ]

Mặt phẳng ( α ) qua M và nhận vtcp ad của đường thẳng d làm VTPT

3/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) va øsong song với mp(  ): Ax +By+Cz+D=0.

Mặt phăûng ( α )//():Ax +By+Cz+D=0  ( α ) có VTPT là n =(A;B;C) Mặt khác Mp( α) đi qua M  Phương trình của Mp( α ) là : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

4/ Lập phương trình mặt phăûng (  ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và vuông góc với 2 mặt phẳng ( α ) và (  ) .

Mặt phẳng () đi qua M và nhận n = (A;B) làm véc tơ pháp tuyến

5/ Lập phương trình mặt phăûng mp ( α ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) chứa đường thẳng d:

 Phưong trình mặt phẳng ( α ) có dạng:

m(Ax +By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 (với m2+n2>0)

 Thay toạ độ M vào phương trình mp ( α ) chọn m.n thích hợp  phương trình ( α )

6/ Lập phương trình mặt phăûng trung trực của AB.

Mặt phẳng trung trực nhận AB làm VTPT và đi qua trung điểm I của AB  phương trình Mp (

α )

Mặt phẳng này là mặt phẳng theo đoạn chắn phương trình là: x  y  z 1

8/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với đường thẳng (d) và vuông góc với mp(  ):

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận n a n [ , ]d 



   làm VTPT

9/Lập phương trình mặt phăûng chứa đt (d) và song song với đt(  )

TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tham số

 Ta tìm điểm đi qua M và VTCP của (d), VTCP của 

 Lập phương trình mặt phẳng qua M có VTPT n[ ,a a d ]

TH2: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d)

10 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d 1 và d 2 :

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận n  [ a a  d1 , d2] làmVTPT

11/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với 2 đường thẳng d 1 và

d 2

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận n  [ a a  d1 , d2] làm VTPT

12/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) chứa đt  và vuông góc với mp (  ) .

TH1: Nếu đt  cho dưới dạng tham số

 Ta tìm điểm đi qua M và VTCP a

TH1: Nếu đt(d) cho dưới dạng tổng quát

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dưới dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d)

 Do mp ( α )  ()  n n . 

= 0 chọn m,n thích hợp  ptr

13 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d 1 và d 2 :

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm đi qua của một trong 2 đường thẳng và nhận n  [ a a  d1 , d2] làmVTPT

14/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x 0 ;y 0 ;z 0 ) và song song với 2 đường thẳng d 1 và

d 2

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận n  [ a a  d1 , d2] làm VTPT

15/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) đi qua A vuông góc với trục ox

Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là i

16

/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) đi qua A, B song song với trục ox

Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là n AB i,



  

Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là k

Khi đó ( α ) đi qua A có véc tơ pháp tuyến là n AB k,

1/ Đưa từ phương trình phương trình tham số, chính tắc về tổng quát :

Rút t trong phương trình tham số cho bằng nhau  phương trình chính tắc:

1/ Lập phương trình đường thăûng  qua 2 điểm A, B

Đường thẳng  qua A và nhận AB

làm VTCP

2/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A và vuông góc với mặt phẵng ( α )

Đường thẳng  qua A và nhận vtpt n

làm VTCP

3 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A và song song với giao tuyến của 2 mp ( α

) , mp (  )

Đường thẳng  qua A và nhận a [ ,n n ]



   làm VTCP

4 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A và cắt hai đường thẳng d 1, d 2

 Lập phương trình mp ( α ) qua A và d1

 Lập phương trình mp () qua A và d2

  là giao tuyến của ( α ) và ()  phương trình của ( α ) là

( )( )

ptmp ptmp

 Giải xong thử lại xem  có cắt d1, d2 không?

Chú ý: Nếu d1, d2 cho dưới dạng tổng quát thì nên lập phương trình của ( α ) , () dùngphương trình chùm

5/ Lập phương trình đường thăûng  qua A vuông góc và cắt đt d

 Lập phương trình Mp ( α ) qua A nhận vtcp a d của d làm vtpt

 Lập phương trình Mp () qua A chứa d

  là giao tuyến của ( α ) và ()  phương trình của ( α ) là

( )( )

ptmp ptmp

6/ Lập phương trình đường thăûng  nằm trong mp ( α ) và cắt hai đường thẳng d 1, d 2

 Tìm giao điểm A của d1 và ( α ) Tọa độ của A là nghiệm của hệ 1

( )

ptmp ptdtd









 Phương trình đường thẳng  là Pt đường thẳng AB

7/ Lập phương trình hình chiếu của đường thăûng  trên mặt phẳng ( α )

 Lập phương trình mặt phẳng () chứa  và vuông góc ( α )

 Phương trình hình chiếu là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

8/ Lập phương trình đường thăûng  song song với d 1 cắt d 2 và d 3

 Lập phương trình mp ( α ) chứa d2 và song song với d1.

 Lập phương trình mp () chứa d3 và song song với d1.

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

  là dường vuông góc chung của d1 và d2  vtcp của  là a [a a d1, d2]

 Lập phương trình mp ( α ) chứa d1 và  mp ( α ) đi qua điểm M của d1 nhận

 Lập phương trình mp () chứa d2 và  mp () đi qua điểm N của d2 nhận n1  [ , ] a a   d2 làmVTPT

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

vuông góc với 

 Tìm giao điểm A của d và ( α ) Toạ độ của A là nghiệm của hệ

( )( )

ptmp ptdt d









 Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A và vuông góc với d

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

11 / Lập phương trình đường thăûng qua  qua M vuông góc với d 1 , và cắt d 2.

 Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vuông góc với d1

 Lập phương trình mp () qua M chứa d2

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

12 / Lập phương trình đường thăûng  vuông góc với ( α ) và cắt d 1 và d 2

 Lập phương trình mp () chứa d1 và vuông góc với ( α )

 Lập phương trình mp ( ) chứa d2 và vuông góc với ( α )

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

13/ Lập phương trình đường thăûng  qua M vuông góc với 2 đường thẳng d 1 và d 2

Khi đó  qua M và nhận a[a ad1,d2] làm VTCP

14/ Lập phương trình đường thăûng  qua M song song với mp( α ) và vuông góc với đt (d).

 Lập phương trình mặt phẳng () qua M song song với mp ( α )

 Lập phương trình mp( ) qua M vuông góc với 

 Phương trình đt  là hệ phương trình

( )( )

ptmp ptmp

1/ Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng 

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vuông góc với 

B2:Tìm giao điểm H của  và mp( α )  H là hình chiếu của M trên 

Chú ý:

Tìm giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng ( α ) ta thường làm như sau:

CI: Nếu phương trình  là phương trình tham số Ta thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng tìm t Thay t ngược lại vào phương trình đường thẳng  toạ độ giao điểm

CII: Nếu phương trình  là phương trình tổng quát ta giải hệ 3 phương trình ba ẩn số (giải bằngmáy tính)  toạ độ của giao điểm

2/ Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng ( α ) .

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với mp( α )

B2:Tìm giao điểm H của  và mp( α )  H là hình chiếu của M trên 

3/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng 

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vuông góc với 

B2:Tìm giao điểm I của  và mp( α )

B3: M’ là điểm đối xứng của M qua ( α ) thì I là trung điểm của MM’  toạ độ của M’ là:

4/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( α ) .

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vuông góc với mp( α )

B2:Tìm giao điểm I của  và mp( α )

B3: M’ là hình chiếu của M qua ( α ) thì I là trung điểm của MM’  toạ độ của M’ là:

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1/ Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng :

2/ Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng:

B1: Tìm VTCP, điểm đi qua của d1: Giả sử d1 có 1 véc tơ chỉ phươnga =(a1;a2;a3) và một điểm

đi qua là M1 (x1, y1, z1)

Tìm VTCP, điểm đi qua của d2: Giả sử d2 có véctơ chỉ phương b → =(b1;b2;b3) và một điểm

đi qua là M2 (x2, y2, z2)

3/ Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng d :

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ MẶT CẦU

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

Phương pháp giải:

 Cách I: Biến đổi phương trình về dạng :

 (x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2  mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R

 Cách II: Đồng nhất phương trình đã cho với phương trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D

= 0 tìm được A,B,C,D nếu A2+B2+C2 -D  0

 Phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R=

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của mp ( α ) với mặt cầu C.

Phương pháp giải:

B1: Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (C).

B2: Xác định các vị trí tương đối nhờ:

 Nếu d(I,( α ) ) = R  ( α ) tiếp xúc (C).

 Nếu d(I,( α ) ) > R  ( α ) và (C) không có điểm chung.

 Nếu d(I,( α ) ) < R  ( α ) cắt (C) bằng một mặt cầu.

phương trình là:

( )( )

ptmp ptmc C







