chuyen de boi duong HSG

[r]

Các chủ đề BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Chủ đề I

I/ Phương trình – Hệ phương trình vô tỷ

1/ phương trình vô tỷ

   

 

2 0

f x g x

f x g x

g x







Ví dụ 1 : Giải biện luận phương trình : x2  6x 6  m x (*)

Bài giải :

Ta có PT 

;(2) 0

x m

m x







*/ Nếu m-3 = 0  m = 3  PT vô nghiệm  hệ vô nghiệm  (*) vô nghiệm.

*/ Nếu m  3 PT (1) có nghiệm  

2 6

m x m







Kết luận : */ m > 3 Phương trình có nghiệm  

2 6

m x m







*/ m 3 Phương trình vô nghiệm

2/ Dạng : f x   g x  h x 

Cách giải : Đặt ẩn phụ hoặc bình phương hai vế

Ví dụ 2 : Giải phương trình : x  3 4 x 1  x  8 6 x 1 1 

Giải :

PT   x 1 2  2   x 1 3  2   1 x 1 2   x 1 3 1  

; ĐK :x 1

*/ Với x 10 PT  2 x 1 5 1    x 10 (i)

*/ Với 5  x 10 PT  1 = 1 với  x (ii)

*/ Với 1  x 5 PT   2 x 1 5 1    x 5 (iii)

Từ (i), (ii) ,(iii)  Nghiệm PT là 5  x 10

Ví dụ 2 : Giải phương trình 3x2 2x 15  3x2 2x  8 7;( )i

Giải

Cách 1 : PT 

2 2

7 7 0; 0

u v

u v

 







4

3

1 0; 0

u v

u v

v

x

 













Cách 2 : Nhân với lượng liên hợp 2 vế :

PT  7 7( 3  x2 2x 15  3x2 2x 8)

 3x2  2x 15  3x2 2x  8 1;( )ii

Từ (i)&(ii) ta có

1 3 1

x x











 là nghiệm PT

Ví dụ 3 : Giải phương trình : 3 x13 x 232x 3

Giải

PT  3 3 x 1  3 x 2 3 3 2x 3 3 3 x 1 3 x 23 x 1  3 x 2  0

 33 x 1.3 x 2.3 x 2 0 



3

3

3

3

2 3 0

2



 



Ví dụ 4 : Giải phương trình :

4 2 4 2

2

  (1) Bài Giải

Nhận xét : Vì vế trái có tích các căn = 1; ĐK

2 1

x x



 > 0  -1 < x < 2 Khi đó PT có dạng

2 1

y

        

( Vì y > 0)

x

Ví dụ 4 : Giải phương trình : 324 x 12 x6

GIẢI

3 24  x 12  x  6 Đặt

3 24

; 0 12

x u v

x v







 

Vậy có hệ

 2 

3 2

6

36

u v

u v

 

Khi đó : x = -24 ; x = 3 ; x = -88 là nghiệm phương trình

Ví dụ 1 : Giải phương trình

x 5 2   x  3 x2  9x

Giải : PT   x2 3x10 3 x29x Đặt 2

x  x t 

Thay vào tìm được t = 2  x = 1 , x = -4

Ví dụ 2 : Giải phương trình

3 2  x  1 x 1

Giải Nhận xét : Nếu Đặt 3 2  x u  u3   2 x x;  1   v 0 v2  x 1

Như vậy :    

3 2

3 2 1

1

u v

  



 



Ví dụ 3 : Giải phương trình

x x  x x  x

Giải Bình phương hai lần được : xx36x3x 8  0 x0;x1

Chủ đề II

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Dạng :

   

   

 

   

 

0 0

f x g x

g x

f x g x

f x g x

g x

 



 





 





 Cách giải : Dùng phương pháp khoảng để làm mất GTTĐ , giải các bất PT hay PT trên các khoảng tương ứng

Ví dụ 1: Giải BPT :

2 4 5

4 3

x





 



GIẢI

Hệ 

2

5 4 5;( )

3 4 3;( )

   



   



Giải (i) được -1< x < 5 ; Giải (ii) được -4 < x < 2 Như vậy Nghiệm hệ là – 1 < x < 2

Ví dụ 2: Giải BPT : x 2  2x 3  3x 4  x 1 2 

Giải

PP Chia khoảng và xét dấu

Chủ đề III

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Dạng BPT :

2 0

0 0

B

A B

A B

A B

 

 











 



 



Chủ đề IV : LƯỢNG GIÁC

I: Các Dạng Phương Trình :

1/ Phương trình cơ bản :

a/ sinu = m = sinv

2 2

u v k



 



    

 (k  Z) b/ cosu = cosv  u  v k2 (k  Z)

2/ Phương trình bậc nhất :

acosx + bsinx = c

*/ Cách 1 : Đặt

2 2 2

2 sin

1

1

t x

t cosx

t





  





Phương trình  mt2 nt k  0 Giải PT này và tìm được t sau đó tìm x

*/ Cách 2 : - Chia 2 vế cho a

- Đặt b/a = tg

- Có PT : cosx cos + sinxsin = c/a cos

- PT  cos(x-) = cos  x

*/ Cách 3 : Chia 2 vế cho

a

cos

a b

a b

b

a b























c



Đkiện : a 2 + b 2 - c 2  0

Cách 4 : Có thể dùng bất đẳng thức để chứng minh

2/ Phương trình bậc hai :

a.cos 2 x + b.cosx + c = 0 a.sin 2 x + b.sinx + c = 0 a.tg 2 x + b.tgx + c = 0 a.cotg 2 x + b.cotgx + c = 0 Cách giải : Đặt hàm = t ( Với sin và cos thì thêm đk t 1)

Giải phương trình bậc hai  x

2/ Phương trình đẳng cấp ( toàn phương )

*/ a.cos 2 x + b.sinxcosx + c.sin 2 x = d

Cách giải 1 : Dùng công thức hạ bậc để đưa về dạng :

mcos2x + nsin2x = k

Cách giải 2 : */ Chia 2 vế cho cos 2 x ; với cosx  0

PT trở thành PT bậc hai với tgx

*/ Nếu cosx = 0 thoả thì x = 2 k2







là một họ nghiệm

*/ Phương trình đối xứng

m(sinx + cosx) + nsinxcosx = k

Đặt sinx + cosx = 2cos x 4 t t 2



1/ Ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức

Ví dụ 1: Cho

3

16







Bài giải : Gọi x > 0 , y > 0 , z > 0 A

Dựng OA = x ; OB = y , OC = z

Sao cho AOB AOC COB   120 0 O

Theo định lý hàm số cô sin ta có

B C

AB x y  xy cos   AB

Tương tự : BC = 4

.sin120 sin120 sin120 4 3

8

ABC

xy yz xz

Bất đẳng thức :

*/ Bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương : 2

a b

ab





*/ Bất đẳng thức Cô Si cho n số dương : 1 2 1 2

n

a a a n

  



VD: CMR :

1

1





Giải: Xét dãy: 1 2 3 1

1

n



Theo BĐTCô Si cho n+1 số :

1

1

n

CMX



     

 

      



HÀM SỐ MŨ

1/ Định nghĩa : y = a x ( a > 0 ; a  1)

2/ Tính chất :

*/ vì a x > 0 với  x  y > 0 với  x

*/ x = 0  y =1 với  x

*/ a > 1 với x 1 > x 2  a x1 a x2(hàm số đồng biến )

*/ a < 1 với x 1 > x 2  a x1 a x2(hàm số nghịch biến )

ĐỒ THỊ :

y

1

x

O