De dap an thi HSG lop 9 cap huyen

Töø C keû tia vuoâng goùc vôùi trung tuyeán.. AM caét AB ôû D.[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 9 (Năm học: 2007 – 2008)

Thời gian làm bài : 150phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: Cho

2x y

7 5 ;

5 10 và x + y + z = 57 Tìm x, y, z

Câu 2: Chứng minh x23

+3 x+

3

x2+9 x +18+

3

x2+15 x+54+

1

x +9=

1

x

Câu 3: Tìm x, y > 0 Biết: 2x + y + 9 = 2 x ( y 3)

Câu 4: Cho f(x) = x3 – x2 – 4x – 6 Chứng minh f(x) > 0 với mọi x > 3

Câu 5: Năm con mèo bắt 5 con chuột trong 5phút Hỏi cần mấy con mèo bắt 10 con chuột trong 10 phút

Câu 6: So sánh A và B biết A = 2007.2009 và B = 20082

Câu 7: Cho x, y cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 Xét dấu A = 1 – x – y + xy Câu 8: Với mọi số tự nhiên x, y ta có:

(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

Câu 9: Cho x2 – ax + 1 = 0 (a khác 0) tính

2 2

1 x x

 theo a

Câu 10: Tính M =

Câu 11: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố

Câu 12: Tìm x, y thỏa x2 – 6xy + 10y2 – 2y + 1 = 0

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại C Từ C kẻ tia vuông góc với trung tuyến

AM cắt AB ở D Tính BDDA

Câu 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC Phân giác góc AMB cắt AB tại

I, phân giác góc AMC cắt AC tại K Chứng minh IK song song BC

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC), biết BC =

15cm và AB :AC = 3 :4 Tính HB, HC

Câu 16: Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O, biết AC =

16cm; BD = 10cm và góc AOB có số đo là 600 Tính diện tích hình bình hành ABCD./

PHỊNG GD&ĐT LÂM HÀ

Đề chính thức

Họ Và Tên Thí Sinh: ……… Số Báo Danh:

Giám Thị 1: Giám Thị 2:

HƯỚNG DẪN CHẤM HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN

MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài : 150phút (Năm học: 2007 – 2008)

Câu 1:(1đ) Cho

2x y

7 5 ;

5 10 và x + y + z = 57 Ta có:

2

 =

z 20 0,25đ

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

2

 =

z

20=

x y z 7

5 20 2

 

 

=

57 57

Câu 2: (1,5đ) Chứng minh x23

+3 x+

3

x2+9 x +18+

3

x2+15 x+54+

1

x +9=

1

x

VT = 3

=

1

Câu 3: (1,5đ) Tìm x, y > 0 Biết: 2x + y + 9 = 2 x ( y 3)

<=>  x y 2 x 3 2

<=> x y 0  và x 3 0   0,5đ

<=> x = y = 9 0,5đ

Câu 4: (1,5đ) Cho f(x) = x3 – x2 – 4x – 6 Chứng minh f(x) > 0 với mọi x > 3

Ta có f(x) = x3 – x2 – 4x – 6=(x – 3)(x2 + 2x + 2) 0, 5đ

x > 3 <=> x – 3 > 0 0, 25đ (x2 + 2x + 2) = (x + 1)2 + 1 > 0 x 0, 5đ

Vậy f(x) > 0 với mọi x > 3 0, 25đ

Câu 5: (1đ) => Một mèo bắt một chuột trong năm phút

0,5đ

=> Một mèo bắt hai chuột trong mười phút

0,25đ

=> Năm mèo bắt mười chuột trong mười phút 0,25đ

Câu 6: (1đ) So sánh A và B biết A = 2007.2009 và B = 20082

A = 2007.2009 = (2008 – 1) (2008 + 1) = 20082 – 1 > B 1đ

Câu 7: (1đ) Cho x, y cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 Xét dấu A = 1 – x – y +

xy

A = 1 – x – y + xy = (1 – x)(1 – y) 0, 5đ

Vì x, y cùng lớn hơn 1 hoặc cùng nhỏ hơn 1 nên (1 – x) và(1 – y) cùng dấu 0, 25đ

Câu 8: (1đ) Với mọi số tự nhiên x, y ta có:

(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương

PHỊNG GD&ĐT LÂM HÀ

(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y2 = (x2 + 5xy + 4y2) (x2 + 5xy + 6y2) + y4 0, 5đ

= (x2 + 5xy + 5y2)2 –y4 + y4 0, 25đ

= (x2 + 5xy + 5y2)2 là số chính phương Với mọi số tự nhiên x, y

0, 25đ

Câu 9: (1đ) Cho x2 – ax + 1 = 0 <=> x2 + 1 = ax vì x khác 0 0, 25đ Chia hai vế cho x2 ta có x + 1/x = a 0, 5đ

Bình phương hai vế ta có: x2 + 1/x2 = a2 – 2

0, 25đ

Câu 10: (1đ) Tính M =

M =

1 2 3 2006

M =

1

Câu 11: (1đ) Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố

P = 3k + 1 (kN) => p + 2 không phải là số nguyên tố 0, 25đ

P = 3k + 2 (kN) => p + 4 không phải là số nguyên tố 0, 25đ

=> p có dạng 3k (kN) mà p là số nguyên tố => p = 3 thử lại thỏa 0, 5đ

Câu 12: (1,5đ) Tìm x, y thỏa x2 – 6xy + 10y2 – 2y + 1 = 0

(x –3y)2 + ( y – 1)2 = 0 0, 5đ

<=> x –3y = 0 và y – 1 = 0

0, 5đ

Câu 13: (1đ)

Kẻ trung tuyến CI cắt AM tại G => G trọng tâm tam giác ABC DG cắt AC tại K 0,25đ

=> BDDA = MGGA =1

Câu 14: (2đ)

Theo tính chất phân giác ta có:

Mà MB = MC (gt) (3)

0,5đ

Từ (1), (2), (3) ta có

Từ đó suy ra IK // BC 0,5đ

Câu 15: (1,5đ) Ta có :

9



0.5đ

=> AB = 9cm ; AC = 12cm 0,5đ

=> BH =

27

5 cm ; CH =

48

Câu 16: (1,5đ)

Kẻ BH vuông góc với AC tại H 0,25đ

A

M

12 34

B C

A

I D G

K

M

=> BH = 3/2 BO = 3/4 BD 0,5đ

=> SABC = ½ BH.AC = 3/8 AC.BD 0,25đ

Mà SABCD = 2SABC = 3/4 AC.BD 0,25đ

A

C B

D

600 H

O