ứng dụng của hợp kim Fe.

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.. 2..[r]

cos  1  -1  cos  1,  cot xác định khi   k (k  Z)

 cot( + k) = cot Khơng cần chú ý k chẵn hay lẻ

II Các hệ thức cơ bản

sin

cos 0

STT Công thức Điều kiện

1 sin2a + cos2a = 1 không

2) công thức nhân đôi

cos2a = cos2a – sin2a

= 2cos2a – 1

= 1 – 2sin2a

sin2a = 2sinacosa => sina.cosa =

1

2 sin2a

3) Công thức hạ bậc (nâng cung)

1) 1 + cos2a = 2cos2a => cos2a = 1+cos 2 a 2

2) 1 – cos2a = 2sin2a => sin2a = = 1 −cos 2 a 2

cos(a + b) = cosacosb – sinasinb

cos(a - b) = cosacosb + sinasinb

sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa

sin(a - b) = sinacosb – sinbcosa

tan(a + b) = 1

tan a tan b tan a.tan b





tan(a - b) = 1

tan a tan b tan a.tan b





4) Công thức biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng

Các hệ quả

1) sina + cosa = sin(a + ) = cos(a - )

2) sina – cosa = sin(a - ) = - cos(a + )

3) cosa – sina = cos(a + ) = - sin(a - )

IV Các cung liên kết

sin - sina sina cosa - sina

cos cosa - cosa sina - cosa

tan - tana - tana cota tana

cot - cota - cota tana cota

 Thần chú : “cos đối – sin bù – phụ chéo – sai khác  tang”

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Tổng thành tích Tích thành tổng

1 cosa + cosb = 2coscos cosacosb

= [cos(a + b) + cos(a – b)] cosacosb = [cos(a + b) + cos(a – b)]

2 cosa - cosb = - 2sinsin sinasinb = - [cos(a + b) - cos(a – b)]

3 sina + sinb = 2sincos sinacosb = [sin(a + b) + sin(a – b)]

4 sina - sinb = 2cossin cosasinb = [sin(a + b) - sin(a – b)]

2 Phương trình cosx = a

*) Các trường hợp đặc biệt

sinx = 0 ⇔ x = k π , k Z cosx = 0 ⇔ x = π

2 + kπ , kZ

sinx = 1 ⇔ x = π

2 + k 2 π , k cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k Z

a không đổi được

về sincủa cung đặc biệt

a đổi được về sincủa cung đặc biệt

sinu = sinv 1: pt cónghiệm

sinx = -1 ⇔ x = - π

2 + k 2 π , kZ

Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai

Vậy nghiệm của Pt là: x= π

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = 0

d 2sinx + √ 2 sin2x = 0 e sin22x + cos23x = 1 f sin3x + sin5x = 0

g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0

*i tan(x - π

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP



A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t là một trong các hàm

số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Các phương trình dạng at 2 + bt + c = 0 (a 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác.

3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1)

Chú ý:

 Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm ⇔ | c |

√ a2+ b2≤ 1

⇔ a2 + b2 c2

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi a 2 + b 2 c 2

 sinx ± cosx = √ 2 sin(x ± π

a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)

Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a 4sinx – 3 = 0 b 3cotx + √ 3 = 0 c 1 - √ 3 tan(5x + 200) =0

p cot(x + π

4 ) = 1 q cos2(x – 300) =

3

4 r 8cos3x – 1 = 0

Bài tập 2*: Giải các phương trình sau:

a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + π

4 ) = -1 c

sin 2 x 1+cos 2 x =0

VD2: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0

c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d tan4x + 4tan2x - 5 = 0

Vậy nghiệm của pt là:

Bài tập 3: Giải các phương trình sau:

a 3cos2x - 5cosx + 2 = 0 b 4sin2x – 4sinx – 3 = 0

c cot2x – 4cotx + 3 = 0 d tan2x + (1 - √ 3 )tanx - √ 3 = 0

e 5cos2x + 7sinx – 7 = 0 f tan4x – 4tan2x + 3 = 0

g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + 5 = 0

VD3: Giải các phương trình sau:

a √ 3 sinx + cosx = 2 b cos3x – sin3x = 1

c 3sin2x + 4cos2x = 5 d √ 2 sinx – cosx = 3

4 -

α

2 + k π

sinxcosx + cos2x =

2 1 2

VD4: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

b 4cos2x + 3sinxcosx – sin2x = 3

Giải

a 2sin2x + 4sinx.cosx – 4cos2x = 1

Với cosx = 0 thì vế trái bằng 2 còn vế phải bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình Với cosx 0 chia hai vế phương trình trên cho cos2x

ta được:

2tan2x + 4tanx – 4 = 1 + tan2x

⇔ tan2x + 4tanx – 5 = 0

Vậy nghiệm của phương trình là:

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1

c 2cos2x -3sin2x + sin2x = 1 d 2sin2x + sinx cosx – cos2x = 3

e 4sin2x + 3 √ 3 sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0

g √ 3 sin2x + (1 – √ 3 )sinx.cosx – cos2x + 1 – √ 3 = 0

4

cos4x + sin4x =

1 sin2x

 CĐKTĐN 07