PP luong giac chung minh BDT

Phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số Lấ XUÂN ĐẠI GV Trường THPT Chuyờn Vĩnh Phỳc Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, chỳng ta gặp khỏ nhiều bài toỏn ch

Phơng pháp lợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số

Lấ XUÂN ĐẠI

(GV Trường THPT Chuyờn Vĩnh Phỳc)

Trong cỏc đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, chỳng ta gặp khỏ nhiều bài toỏn chứng minh bất đẳng thức (BĐT) đại số Và đõy cũng là bài toỏn thuộc dạng khú với cỏc thớ sinh Để giỳp cỏc em cú cỏch nhỡn phong phỳ hơn về cỏc phương phỏp chứng minh BĐT, tụi xin giới thiệu thờm

về phương phỏp lượng giỏc để chứng minh BĐT đại số mà cơ sở xuất phỏt của chỳng bắt nguồn từ cỏc BĐT quen biết trong tam giỏc

Do khuụn khổ của bài viết nờn cỏc kết quả và BĐT cơ bản trong tam giỏc khụng chứng minh lại

Sau đõy, tụi xin đưa ra một số dạng bài toỏn điển hỡnh thể hiện cho phương phỏp này

Dạng 1: Trong BĐT cú giả thiết “x,y,z là cỏc số dương thoả món x+y+z= xyz ”

Khi đú tồn tại tam giỏc nhọn ABC sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC

Thật vậy, tồn tại

, , 0;

2

A B C  



sao cho x=tanA; y=tanB; z=tanC

Từ

tan tan( )

x y

xy



Thớ dụ 1 Cho x,y,z là cỏc số thực dương thoả món điều kiện x+y+z=xyz.

Chứng minh rằng

3 3

Lời giải Ta cú

tan

sin

A

sin 2 1





y

B

sin 2 1





z

C

Khi đú BĐT cần chứng minh

3 3 sin sin sin

2

(đõy là BĐT cơ bản trong tam giỏc) Bài toỏn được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giỏc ABC đều, hay x    y z 3

* Để ý thờm rằng

cosA

3 2

cosA cosB cosC

, nờn ta cú bài toỏn sau:

Thớ dụ 2 Cho x,y,z là cỏc số thực dương thoả món điều kiện x+y+z=xyz

Chứng minh rằng

Dạng 2: Trong BĐT cú giả thiết “x,y,z là cỏc số dương thoả món xy+yz+zx= 1 ”

Khi đó tồn tại tam giác ABC sao cho tan 2, tan ,2 tan 2

(HS tự chứng minh)

Thí dụ 3 Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn xy+yz+xz=1 Chứng minh rằng

2

3 3

3 3 sin sin sin

1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 3

x  y z

Thí dụ 4 Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.

Chứng minh rằng:

xy z  yz x  xz y 2

Lời giải Viết lại giả thiết như sau:

z y  z x  y x  (*)

Tồn tại tam giác ABC sao cho:

tan 2; tan ;2 tan 2

Lúc đó

C 2

sin



Cùng với BĐT cơ bản trong tam giác

sin sin sin

2  2  2 2, ta suy ra đpcm

Nhận xét: Mấu chốt của lời giải trên là đưa giả thiết x+y+z=1 về dạng (*) Cùng với ý tưởng như

vậy ta giải được bài toán sau:

Thí dụ 5 Cho x,y,z dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

x yz y xz z xy

Lời giải Với phép đổi biến như thí dụ 4, ta biến đổi P như sau:

2

xy



Do đó

P 1     

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2

Dễ thấy khi đó x  y 2 3 3, z 7 4 3   Vậy

3 3 min P 1

4

 

Thí dụ 6 Cho các số dương a,b,c thoả mãn điều kiện abc+a+c=b Chứng minh rằng

10

Lời giải Từ giả thiết suy ra   1

a c ac

b b , nên tồn tại tam giác ABC sao cho

10 3

2

10

P

3

1

1 sin

2



















cos

C

cos

Khi đó

2 2

a ; b= 2 ; c=

2 2

Dạng 3: Trong BĐT có giả thiết “x,y,z là các số dương thoả mãn x2 y2 z2 2xyz=1 ” Khi đó tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho xcosA; y=cosB; z=cosC (HS tự chứng minh)

Thí dụ 7 Cho các số dương x,y,z thoả mãn x2y2 z2 2xyz=1

a) Chứng minh rằng:

3

xy yz xz

4

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của



Lời giải Tồn tại tam giác nhọn ABC sao cho xcosA; y=cosB; z=cosC

a) Ta có

(x y z) (cos A cos B cos C)

(đpcm)

b)

Ta có:

4

và 2

4

sin A sin B sin C

Áp dụng BĐT cô si:

sin

, cùng các BĐT tương tự ta suy ra

13 4

P 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1/2 Vậy

13 min

4

P 

Dạng 4: Một số dạng giả thiết khác

Thí dụ 8 Cho a, b,c (0;1) Chứng minh rằng: abc  (1 a)(1 b)(1 c) 1   

Lời giải Đặt

a sin x, b sin y, c sin z; x, y, z 0;

2



Vế trái của BĐT trở thành P sin x.sin y.sin z cos x.cos y.cos z 

Ta có P sin x.sin y cos x.cos y cos(x y) 1     , suy ra đpcm

1

Chứng minh rằng abcd 3

Lời giải Đặt a2 tan ;x b2 tan ;y c2 tan ;z d2 tanz, trong đó

, , , 0;

2

 

x y z t 

Giả thiết đã cho trở thành cos x2 cos y2 cos z2 cos t2 1

Áp dụng BĐT Côsi cho các số thực dương ta được

sin x 1 cos x=cos y2 cos zcos t3(cosy.cosz.cost) Suy ra sin2x3(cosy.cosz.cost)2 3 Nhân từng vế của các BĐT tương tự ta được:

(sinx.siny.sinz.sint) 3 (cosx cosy.cosz.cost ) 2 2 2 2 4

 x y z t hay lµ abcd

Cuối cùng xin đưa ra một số bài tập cho các bạn luyện tập

Bài 1 Cho các số thực dương x,y,z thoả mãn x+y+z =xyz.

Chứng minh rằng (x 1)(y 1)(z1) 6 3 10 

Bài 2: Cho các số thực dương x,y,z dương thỏa mãn x2 y2z22xyz=1 Chứng minh

a)

1 xyz 8



b)

3

4

Bài 3: Cho a,b,c thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng

Bài 4 Cho các số dương a,b,c thoả mãn 2009ac+ab+bc=2009 Tìm giá trị lớn nhất của

2

b P

Email: info@123doc.org; DT: 0912960417