Đặt vấn đềTrong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra
Trang 1I Đặt vấn đề
Trong chơng trình toán ở trờng phổ thông việc chứng minh bất đẳng thức
là một vấn đề có thể nói là phức tạp nhất, nó rèn cho ngời làm toán trí thông minh, sự sáng tạo, ngoài ra còn có cả sự khéo léo, mỗi kết quả của nó là một công cụ sắc bén của toán học Nhng để chứng minh bất đẳng thức thì không đơn giản chút nào, nhất là đối với học sinh, các em tỏ ra lúng túng khi chọn cho mình một công cụ để chứng minh hiệu quả nhất Đã có rất nhiều tài liệu đa ra một số phơng pháp rất tốt để chứng minh bất đẳng thức chẳng hạn:
- Phơng pháp sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức
- Phơng pháp sử dụng tam thức bậc 2
- Phơng pháp sử dụng những bất đẳng thức kinh điển
- Phơng pháp sử dụng phản chứng
- Phơng pháp sử dụng quy nạp
- Phơng pháp sử dụng đạo hàm
- Phơng pháp sử dụng hình học
- Phơng pháp sử dụng hàm lồi
Mặc dù vậy song vẫn là cha đủ bởi sáng tạo của mỗi ngời làm toán là vô hạn Chính vì vậy trong bài viết này tôi muốn đề cập về "Một số phơng pháp
l-ợng giác để chứng minh bất đẳng thức đại số " nhằm trang bị thêm cho học sinh
một số công cụ hữu hiệu để chứng minh các bất đẳng thức đại số Phơng pháp l-ợng giác hoá đã đợc một số sách của các tác giả đề cập nh giáo s Phan Đức Chính, giáo s Phan Huy Khải, phó tiến sĩ Vũ Thế Hựu viết Nhng do cấu trúc mục tiêu của các cuốn sách đó mà các tác giả đều không đi sâu vào phơng pháp này hay nói cách khác là cha thật cụ thể hoá, hệ thống hoá nó
Trang 2II giải quyết vấn đề
1 Các kiến thức cần nắm
1.1 Các hệ thức cơ bản
+ cos2α+sin2α=1 + 1 + tg2α = k )
2
( cos
1
2 α≠π+ π α
+ tgα cotgα = 1 (α≠
2
kπ
) + 1 + cotg2α = ( k )
sin
1
2 α≠ π α
1.2 Công thức cộng góc
+ cos(α±β) = cosα cosβ sinα sinβ
+ sin(α ±β) = sinα cosβ± cosα sinβ
+ tg (α ±β) = 1tgtg tgtg (α;β≠π2+kπ)
β α
β
± α
+ cotg(α±β) = α± β
β
α
g cot g
cot
1 g cot g
) k
; (α β≠ π
1.3 Công thức nhân
+ sin2α = 2 sinα cosα
+ cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
+ tg2α = 12tgtg2 ( 4 k2)
π +
π
≠ α α
− α
2
k ( g
cot 2
1 g cot 2 α≠ π
α
− α
+ sin3α = 3sinα - 4sin3α
+ cos3α = 4cos3α - 3cosα
+ tg3α =
3
k 6
( tg
3 1
tg tg 3
3
3 α≠ π+ π α
−
α
− α
)
thức hạ bậc
+ cos2α =
2
2 cos
1+ α
+ sin2α =
2
2 cos
1− α
+ tg2α =
α +
α
−
2 cos 1
2 cos 1
) k 2
(α≠ π+ π
1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cosα + cosβ = 2cos
2
cos 2
β
− α β + α
+ cosα - cosβ = - 2sin
2 2
β α β
α+ sin
+ sinα + sinβ = 2sin
2 2
β α β
α+ cos
Trang 3+ sinα - sinβ = = - 2cos
2
sin 2
β
− α β + α
+ tgα ± tgβ = α β
β
±
α
cos cos
) sin(
) k 2
; (α β≠ π+ π
1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cosα.cosβ = [cos( ) cos( )]
2
1
β
− α +
β + α
+ sinα.sinβ = [cos( ) cos( )]
2
1 α−β + α+β
+ sinα.cosβ = [sin( ) sin( )]
2
1
β
− α + β + α
2 Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha phân chia thành các dạng bài tập Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây
Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất
đẳng thức lợng giác đơn giản nh:
| sin | 1;| cos | 1; sin α ≤ α ≤ nα ≤ 1; cos nα ≤ 1 (n N∈ *)
* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác
1 + x2 1 + tg2t 1+tg2t =
t cos
1
2
4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t
2
x 1
x 2
tgt 2
2
tgt 2
2
− = tg2t
2
x 1
x 2
tgt 2
2
tgt 2
2 + = sin2t
xy 1
y x
−
+
β α
−
β +
α
tg tg 1
tg tg
β α
−
β +
α
tg tg 1
tg tg
= tg(α+β)
cos
1
2 −
1
2 −
α = tg2α
Trang 4một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2α + cos 2α = 1
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt
α
=
α
=
cos y
sin x
với α ∈ [0, 2π]
b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt
α
=
α
=
cos a y
sin a x
với α ∈ [0, 2π]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: − 2 S = a(c+d) + b(c-d) ≤ ≤ 2
Giải:
Đặt
=
=
u cos
b
u sin
a
và
=
=
v cos d
v sin c
⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
⇒ S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
4 ) v u ( sin
2
S= + − π∈ − ⇒− ≤ = + + − ≤ (đpcm)
VD2: Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25 b
1 b a
1 a
2 2 2 2 2
+ +
+
Giải:
Đặt a = cosα và b = sinα với 0 ≤α ≤ 2π Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1 b a
1
α +
α +
α +
α
=
+ +
+
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4 4
4 4
4 4
4
α α
α +
α +
α +
α
= + α
+ α
sin cos
1 1
sin
α α
+ α +
α
sin cos
1 1
sin cos
2 sin
α α
+ α α
− α +
α
=
2
25 4 2
17 4 ) 16 1 ( 2
1 1 4 2
sin
16 1
2 sin
2
1
−
≥ +
α +
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a2+b2=1)
Trang 5II Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị |sinα|≤1 ; |cosα| ≤1
1 Ph ơng pháp :
a) Nếu thấy |x| ≤ 1 thì đặt
[ ]
2 2
π π
b) Nếu thấy |x| ≤ m ( m≥ 0) thì đặt
[ ]
2 2
π π
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1
Giải:
Đặt x = cosα với α ∈ [0, π], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p
p 2
p
2
sin 2 cos 2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 2
cos
≤
=
+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: 3−2≤A=2 3a2+2a 1−a2 ≤ 3+2
Giải:
Từ đk 1 - a2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 nên
Đặt a = cosα với 0 ≤α ≤π⇒ 1−a2 = sinα Khi đó ta có:
A=2 3a2+2a 1−a2 =2 3cos2α+2cosαsinα= 3(1+cos2α)+sin2α
3 2 sin 2 3 2
sin 2
1 2
cos
2
3
α+ π
= +
α +
VD3: Chứng minh rằng: S = 4( (1−a2)3 −a3) (+3a− 1−a2) ≤ 2
Giải:
Từ đk |a| ≤ 1 nên:
Đặt a = cosα với α∈ [0, π] ⇒ 1−a2 = sinα Khi đó biến đổi S ta có:
S=4(sin3α−cos3α)+3(cosα−sinα) = (3sinα−4sin3α)+(4cos3α−3cosα)
4 3 sin 2 3
cos
3
α+π
= α +
Trang 6III Dạng 3 : Sử dụng công thức: 1+tg 2α = 1
cos
1 tg
cos
1
2
2
α
= α
⇔
2
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu |x| ≥ 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 −1
thì đặt x =
α
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0 b) Nếu |x| ≥ m hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 −m2
thì đặt x =
α
cos
m
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
a
a a
Giải:
Do |a| ≥ 1 nên :
Đặt a =
α
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 ⇒ a2 −1= tg2α =tgα Khi đó:
3 sin
2 cos 3 sin
cos ) 3 tg
( a
3 1
α+ π
= α +
α
= α +
α
= +
−
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: A =
ab
1 b 1
a2 − + 2 −
≤ 1 ∀ a b; ≥1
Giải:
Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nên
Đặt a =
α
cos
1
; b =
β
cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 Khi đó ta có:
A = (tgα+tgβ)cosαcosβ = sinαcosβ+sinβcosα = sin(α+β) ≤1(đpcm)
IV Dạng 4 : Sử dụng công thức 1+ tg 2α =
α 2
cos 1
1 Ph ơng pháp:
a) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα với α∈
− π π
2
, 2 b) Nếu x ∈ R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα với α ∈
− π π
2 , 2
Trang 72 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S = 1
1
4 1
3
3 2
3
+
−
x x
x
Giải:
Đặt x = tgα với α∈
− π π
2
,
cos
1 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2
4 2
) a 2 1 (
a 12 a 8 3
+
+ +
Giải:
Đặt a 2 = tgα với α∈−π2,π2 thì ta có: A = 2 2
4 2
) tg 1 (
tg 3 tg
4 3
α +
α +
α +
α +
α
α +
α α
+
2 2 2
4 2
2 4
cos sin
2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin 3 cos
sin 4 cos
3
2
0 2 2
2 sin 3 A 2
1 3 2
5 2
2
sin2 α ⇒ = − ≤ = − 2 α ≤ − =
Với α= 0 ⇒ a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α=
4
π
⇒ a = 2
1 thì MinA =
2 5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
+ +
− +
∀ a, b ∈ R
Giải:
Đặt a = tgα, b = tgβ Khi đó
) tg )(
tg (
) tg tg )(
tg tg ( ) b )(
a (
) ab )(
b a (
β + α +
β α
− β + α
= +
+
−
+
2 2
2
1 1
1
1
=
β α
β α
− β
α β
α
β + α β
α
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
) sin(
cos
cos2 2
2 2
1
≤ β + α
= β + α β
+
VD4: Chứng minh rằng: ab+ cd ≤ (a+c)(b+d) (1) ∀a,b,c,d>0
Giải:
Trang 8(1) ⇔ 1
d
b 1 a
c 1 ab cd
d
b 1 a
c 1
1 1
) d b )(
c a (
cd )
d b )(
c a
(
ab
≤
+
+
+
+
+
⇔
≤ + +
+ + +
Đặt tg2α=
a
c
, tg2β=
b
d với α,β∈
π
2 ,
0 ⇒ Biến đổi bất đẳng thức
) tg 1 )(
tg 1 (
tg tg )
tg 1 )(
tg
1
(
2 2
2 2 2
β + α +
β α +
β + α +
⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 đúng ⇒ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔α=β⇔
b
d a
c =
V Dạng 5 : Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu
= +
+ +
>
1 2
0
2 2
x
z
; y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
C cos z
; B cos y
; A cos x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
b) Nếu
= + +
>
xyz z
y x
z
; y
;
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
tgC z
; tgB y
; tgA x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
c) Nếu
= + +
>
1 zx yz xy
0 z , y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
=
=
=
π
∈
∆
∃
2
C tg z
; 2
B tg y
; 2
A tg x
)
; 0 ( C
; B
; A
gC cot z
; gB cot y
; gA cot x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S = 3(x y z)
z
1 y
1 x
1+ + − + +
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β; z = tg
2
γ với α, β, γ∈
π
2 , 0
Trang 9Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
αtg
2
β + tg
2
βtg
2
γ + tg
2
γtg
2
α = 1
⇔ tg
2
2
tg 2
tg = 1 -
2
tgβ
tg 2
γ
2 2 tg 2
tg
1 2
tg 2 tg 1
2
tg 2
β+γ
⇔ α
= γ β
−
γ + β
π+α
=
β+ γ
2 2
2 2 2 2 2
2 2
tg
S = 3(x y z)
z
1 y
1
x
1
+ +
− +
2
α + cotg
2
β+ cotg
2
2
tg 2
tg 2 tg
−
+
+
2 2
2
2 2 2
2 2
2
g
cot
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) -
2 2
2
2 tg tg tg
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ
) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α
) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β
)
Để ý rằng: cotgα + cotgβ = sinsin( .sin) sinsin.sin cos(α−β)sin−cos(α+β)
γ
= β α
γ
= β α
β +
2 2
2 tg 2 g cot g
cot 2
tg 2 2
cos 2
2
cos 2 sin 4 cos 1
sin 2 ) cos(
1
sin
2
γ γ
= γ +
γ
= β +
α
−
γ
T đó suy ra S ≥ 0 Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 0
VD2: Cho
= + +
>
1 z y x
0 z , y , x
Chứng minh rằng: S =
4
9 xy z
z zx
y
y yz
x
+
+ +
+ +
Giải:
Đặt
2
tg
x
yz = α;
2
tg y
xz = β
;
2
tg z
xy = γvới α, β, γ∈
π
2 , 0
Do
x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx
x
nên tg
2
α tg
2
β + tg
2
βtg
2
γ + tg
2
γ tg
2
α = 1
Trang 10⇔ tg
β+ γ
2
2 = cotg 2
β+ γ
2
π −α
2
2
β
+ 2
γ
= 2
π
-2
α
⇔ α+β+γ =π ⇔α+β+γ=π
2 2
S =
2
3 1 xy z
z 2 1
zx y
y 2 1
yz x
x 2 2
1 xy z
z zx
y
y yz
x
x
+
+
+
+
+
+
= +
+ +
+
+
=
2 3 z
xy 1 z
xy 1
y
zx 1 y
zx 1
x
yz 1 x
yz 1 2
1 2
3 xy z
xy z zx y
zx y yz
x
yz
x
2
+
− + +
− + +
−
= +
+
− + +
− +
−
−
=
2
1
(cos + cosβ + cosγ) +
2
3
1 2
1 cosα+cosβ −(cosαcosβ−sinα+sinβ) +
4
9 2
3 4
3 2
3 cos cos ) sin (sin
2
1 ) 1 cos
(cos
2
1
2
1 α+ β 2 + + 2α+ 2β − α β+ = + = (đpcm)
III kết luận và kiến nghị
Việc chứng minh bất đẳng thức đại số là một công việc rất khó khăn và
đòi hỏi ngời chứng minh phải sáng tạo khéo léo phải biết sử dụng tất cả các kiến thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức Trong giai đoạn hiện nay chúng
ta đang tập trung cho cải cách giáo dục, trong đó có một phần quan trọng là cải tiến phơng pháp giảng dạy Để phát huy tính tích cực của học sinh, việc tiếp thu kiến thức mới và công việc giải toán thì ngời thầy giáo phải là ngời tiên phong trong việc phát huy tính tích cực của mình để tìm ra những phơng pháp giải toán mới, tìm ra những công cụ mới để ngày càng hoàn thiện hơn bản thân và cống hiến cho những ngời làm toán những công cụ hữu hiệu để có thể đi sâu vào thế giới của toán học
Trên đây là ý kiến của tôi về một số phơng pháp lợng giác để giải các bất
đẳng thức đại số nhằm giúp cho ngời chứng minh bất đẳng thức có một phơng pháp t duy về chứng minh bất đẳng thức đại số Do kinh nghiệm cha có nhiều nên bài viết của tôi không tránh khỏi khuyếm khuyết mặc dù tôi đã rất cố gắng xắp xếp về mặt phơng pháp, lợng bài tập và cấu trúc của bài viết Rất mong nhận
đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp để bài viết đợc tốt hơn
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn!
Thanh hoa, ngày 10 tháng 05 năm 2010