[r]
Trang 1ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Cho c là một số thực dương Dãy số {x ❑n }, n = 0,1,2,…., được xây dựng theo cách sau :
x ❑n+1 = √c −√c+x n
(n=0,1,2,….) nếu các biểu thức dưới căn là không âm
Tìm tất cả các giá trị của c đề với mọi giá trị ban đầu x ❑0 (0,c)
dãy {x ❑n } được xác định với mọi giá trị n và tồn tại giới hạn hữu hạn lim
x ❑n khi n → ∞
Bài 2 : Trên mặt phẳng cho trước hai đường tròn (O ❑1 ,r ❑1 ) và (O
❑2 ,r ❑2 ) Trên đường tròn (O ❑1 ,r ❑1 ) lấy một điểm M ❑1 và trên đường tròn (O ❑2 ,r ❑2 ) lấy một điểm M ❑2 sao cho đường thẳng
O ❑1 M ❑1 cắt đường thẳng O ❑2 M ❑2 tại một điểm Q Cho M ❑1
chuyển động trên đường tròn (O ❑1 ,r ❑1 ) , M ❑2 chuyển động trên đường tròn (O ❑2 ,r ❑2 ) cùng theo chiều kim đồng hồ và với vận tốc góc như nhau
1/ Tìm quĩ tích trung điểm đoạn thẳng M ❑1 M ❑2
2/ Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác M ❑1 QM ❑2
luôn đi qua một điểm cố định
Bài 3 : Cho đa thức :
P(x) = x ❑3 + 153x ❑2 - 111x + 38 1/ Chứng minh rằng trong đoạn [1;3 ❑2000 ] tồn tại ít nhất 9 số
nguyên dương a sao cho P(a) chia hết cho 3 ❑2000
2/ Hỏi trong đoạn [1;3 ❑2000 ] có tất cả bao nhiêu số nguyên dương a
mà P(a) chia hết cho 3 ❑2000 ?
Trang 2
-ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 1999-2000
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Cho trước góc α với 0<α<π
1/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một tam thức bậc hai dạng f(x) =
x ❑2 + ax + b (a,b là số thực ) sao cho với mọi n>2 đa thức
P ❑n (x) = x ❑n sinα – xsin(nα) + sin(n-1)α chia hết cho f(x)
2/ Chứng minh rằng không tồn tại nhị thức bậc nhất dạng g(x) = x + c (c là số thực) sao cho với mọi n>2 đa thức P ❑n (x) chia hết cho g(x)
Bài 5 : Tìm tất cả các số tự nhiên n>3 sao cho tồn tại n điểm trong không
gian thoả mãn đồng thời các các tính chất sau đây :
a/ Không có ba điểm nào trong chúng thẳng hàng
b/ Không có bốn điểm nào trong chúng cùng nằm trên một đường tròn c/ Tất các các đường trong đi qua ba điểm trong chúng đểu có bán kính bằng nhau
Bài 6 : Với mỗi đa thức hệ số thực P(x) , kí hiệu A ❑P là tập hợp các số thực x sao cho P(x) = 0
Tìm số phần tử nhiều nhất có thể có của A ❑P khi P(x) thuộc tập hợp các đa thức có hệ số thực với bậc ít nhất là 1 và thoả mãn đẳng thức :
P(x ❑2 - 1) = P(x).P(-x) với mọi giá trị thực x