Xét đường tròn O thay đổi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O nằm trên đường thẳng BC.. Gọi M , N tương ứng là giao điểm thứ hai của đường tròn O với các đường
Trang 1ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ nhất
Bài 1 : Giải phương trình :
x
3 10 3
Bài 2 : Trong mặt phẳng , cho tam giác ABC cân tại A Xét đường tròn (O)
thay đổi qua A, không tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC và có tâm O nằm trên đường thẳng BC Gọi M , N tương ứng là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với các đường thẳng AB, AC Hãy tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMN
Bài 3 : Cho các số nguyên dương m, n với m < 2001, n < 2002 Cho 2001 x
2002 số thực đôi một khác nhau Điền các số đã cho vào các ô vuông con của bảng ô vuông kích thước 2001 x 2002 (bảng gồm 2001 hàng và 2002 cột) sao cho mỗi số được điền vào một ô và mỗi ô được điền một số Ta gọi một ô vuông con của bảng là ô "xấu" nếu số nằm trong ô đó bé hơn ít nhất m
số nằm cùng cột với nó và đồng thời bé hơn ít nhất n số nằm cùng hàng với
nó
Với mỗi cách điền số nói trên , gọi s là số ô "xấu" của bảng số nhận được Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của s
Trang 2
-ĐỀ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2001-2002
MÔN : TOÁN (Bảng A)
Ngày thi thứ hai
Bài 4 : Giả sử a,b,c là các số thực sao cho đa thức :
P(x) = x3 + ax2 + bx + c
có ba nghiệm thực (các nghiệm không nhất thiết đôi một khác nhau)
Chứng minh rằng :
12ab + 27c 6a3 + 10(a2 - 2b) 2
3
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 5 : Hãy tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho phương trình :
x + y + u + v = n xyuv
có nghiệm nguyên dương x,y,u,v
Bài 6 : Xét phương trình :
1
1
x + 4 1 1
1
1
2
x
1
1
2
x
n = 21 trong đó n là tham số nguyên dương
1/ Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, phương trình nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1; kí hiệu nghiệm đó là x n
2/ Chứng minh rằng dãy số {x n} có giới hạn bằng 4 khi n +∞