Giao trinh Vat Ly thong ke

Những đại lượng nhiệt động của chất lỏng Hêli II... Hiện tượng siêu chảy của chất lỏng Hêli II..[r]

Khoa Vật Lý-Đại Học Sư Phạm Hà Nội

GIÁO TRÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ

Người biên soạn: GS TS Nguyễn Hữu Mình PGS TS Đỗ Hữu Nha

I Ma trận mật độ Phương trình chuyển động của ma trận mật độ

§1 Ma trận mật độ

Nếu hệ lượng tử là cô lập hay hệ ở trong trường ngoài mà tương tác giữa hệ

và trường ngoài đã biết được chính xác thì trạng thái của hệ lượng tử được

mô tả bởi hàm sóng Trạng thái của hệ lượng tử được mô tả bằng hàm sóng được gọi là trạng thái sạch

Ta khảo sát hệ lượng tử mà trạng thái của hệ được mô tả bằng hàm sóng

( )x

Chú ý rằng toán tử ˆA x chỉ tác dụng lên biến x của hệ con ( )

toạ độ biểu diễn) Dùng quy tắc nhân ma trận, ta viết được:

[ ]x ' x ' ( )

hợp

n

ứng với giá trị q đã cho Đặt (6) vào (3) ta được:

Ma trận mật độ trong x- biểu diễn bây giờ có dạng:

nm m n n,m

Hay

nm n m

Công thức (13) là yếu tố ma trận trong F-biểu diễn và công thức (11) là yếu

tố ma trận trong x-biểu diễn

Nếu chọn m là hàm riêng của toán tử ρ tương ứng với giá trị riêng ρm, ta có:

Là xác suất tìm thấy trạng thái sạch của hệ con được mô tả bằng hàm sóng

m m m m

( )

m x

diễn bằng tích hai hàm sóng mô tả trạng thái của hai phần cô lập với nhau (trong công thức (6) chỉ có một số hạng):

(q,x) C qn( ) ( )n x

Từ điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:

2 n

§3 Phương trình chuyển động của ma trận mật độ

Ta biểu diễn ma trận mật độ phụ thuộc vào thời gian t và sau đó lập phương trình chuyển động của ma trận mật độ Ở trạng thái hỗn hợp, mỗi trạng thái

Hệ số khai triển m( )

r

của ma trận mật độ trong G-biểu diễn có dạng:

*m m

m s r m

aa

Hay: *m( )

s * *m

ls l l

Đó là phương trình chuyển động của ma trận mật độ Giải phương trình (32)

bình của tất cả các đại lượng vật lí đặc trưng cho hệ

Xét trường hợp hệ ở trạng thái cân bằng:

Khi đó mọi giá trị trung bình của các đại lượng A đặc trưng cho hệ không

t

(Er −Es)ρ = Nếu thì r srs 0 ≠ thì ρ = Vậy yếu tố ma trận rs 0 ρ khi hệ ở rstrạng thái cân bằng có dạng:

rs rr rs r rs

Trong đó:

2 m

m ar

r

r

( )H

II Ma trận mật độ và các phân bố thống kê

§1 Ma trận mật độ cân bằng Phân bố chính tắc Gibbs

Ma trận mật độ thoả mãn các điều kiện:

cấu tạo từ hai hệ con (1) và (2) độc lập (tương tác giữa các hệ con (1) và (2) được bỏ qua) Khi đó ta có:

(1), hệ con (2) và của hệ lớn cấu tạo từ hai hệ con để thoả mãn các hệ thức (1.4) Ma trận mật độ cân bằng phụ thuộc vào H có dạng:

n

n Em

Ma trận mật độ bây giờ được viết lại như sau:

Năng lượng trung bình của hệ:

m m m

trưng cho trạng thái cân bằng nhiệt của hệ được xác định bằng hệ thức:

Phân bố được xác định bằng hệ thức (1.9’) gọi là phân bố chính tắc Gibbs Đại lượng Z được gọi là tổng thống kê trong phân bố chính tắc Gibbs và đại lượng F gọi là năng lượng tự do của hệ Dùng hệ thức:

m nm nm

Vì năng lượng E của hệ phụ thuộc vào các điều kiện ngoài đặt lên hệ, nghĩa

k

a

FS

∂

−

ngoại a là thể tích V của hệ thì lực suy rộng trung bình A là áp suất P:

Đại lượng Q TdSδ = là nhiệt do hệ nhận được trong quá trình cân bằng Khi chỉ có một thông số ngoài là thể tích V, ta có:

là số hạt của hệ con 1 và hệ con 2, N là số hạt của hệ lớn cấu tạo từ hai hệ con độc lập 1 và 2 Khi đó ta có:

( ) ( )

( ) ( )

Ω− +µ θ

k k

k k k

§3 Phân bố Fermi-Dirac và phân bố Bose-Einstein

Trong phần này ta áp dụng phân bố chính tắc lớn để tìm phân bố Dirac và phân bố Bose-Einstein Hạt Fermi là hạt có spin bán nguyên mỗi trạng thái lượng tử bị chiếm hoặc 0 hạt hoặc 1 hạt Hạt Bose là hạt có spin nguyên, mỗi trạng thái lượng tử bị chiếm bởi số hạt bất kì bằng 0, 1, 2, 3…

Fermi-Ta xét một hệ N hạt đồng nhất không tương tác với nhau (khí lí tưởng) Đối với hệ hạt đồng nhất ta không cần quan tâm hạt cụ thể nào ở trạng thái lượng

tử nào mà chú trọng đặc biệt có bao nhiêu hạt ở cùng một trạng thái lượng

∑

  θ

  θ

µ−ε θ

ε −µ θ

µ−ε

θ

µ−ε θ µ−ε

θ

ε −µ θ

gọi là hàm phân bố Bose-Einstein

ε−µ

và phân bố Fermi-Dirac chuyển về phân bố Boltzmann

Xét một hệ ở trạng thái cân bằng cấu tạo từ hai hệ con độc lập Gỉa thiết rằng

có dạng giống nhau khi:

thức (4.2) thoả mãn các điều kiện (4.1)

Toán tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào H và V ở trạng thái cân bằng có dạng:

( )

( ) ( m )

H pV 1 H pV

2

m

1 E V pVm

e

eZ

Φ− − θ

Thế nhiệ động Gibbs là đại lượng cộng được Thế nhiệt động Φ của hệ lớn

Thế nhiệt động Gibbs là đại lượng cộng được nên được viết dưới dạng:

Đối với hệ có số hạt biến thiên, ta có:

/

k k k

f T,p,aN

§5 Chuyển từ thống kê lượng tử về thống kê cổ điển

Ta khảo sát một hệ cổ điển cấu tạo từ N hạt và có s bậc tự do Trong cơ học

cổ điển, trạng thái vi mô của hệ được xác định bằng s giá trị của các toạ độ

thay đổi trạng thái vi mô của hệ được mô tả bằng 2s phương trình chính tắc Hamilton:

Trong đó H q ,q , q ,p ,p , p( 1 2 s 1 2 s) là Hamilton của hệ Đối với hệ bảo toàn hàm H bằng động năng T cộng với thế năng U của hệ Giải hệ 2s phương

(5.2) suy ra rằng trạng thái vi mô của hệ ở thời điểm t bất kì hoàn toàn được xác định một cách đơn giá bởi trạng thái vi mô của hệ ban đầu

Về mặt hình học, trạng thái vi mô của hệ được biểu diễn bằng một điểm

xác định như vậy gọi là không gian pha và được kí hiệu bằng chữ Γ Điểm biểu diễn trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha được gọi là điểm pha Theo thời gian, trạng thái vi mô của hệ thay đổi và do đó điểm pha vạch trong không gian pha một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha

19

điểm t bất kì Vì vậy bài toán về chuyển động một số lớn hạt thực tế không giải được và phải dùng phương pháp thống kê để tìm xác suất sự xuất hiện các trạng thái vi mô của hệ và tính giá trị trung bình các đại lượng vĩ mô đặc trưng cho hệ

Và N là số điểm pha toàn phần của hệ ở Trong vùng không gian pha mà hệ

có thể đi qua được trong khoảng thời gian τ đủ lớn ( τ → ∞ ) thì xác suất tìm

ddW= q ,q , ,q ,p ,p , ,p

hΓ

Kí hiệu q ,p( ) k ( ) k là một tập hợp những toạ độ suy rộng và xung lượng suy rộng của hạt thứ k Nếu hệ cấu tạo từ N hạt đồng nhất (các hạt giống nhau về mọi đặc tính vật lí như khối lượng nghỉ, điện tích, spin,vv ) thì trạng thái vi

( ) ( )

( ) ( )

giao hoán các giá trị q và p của hạt thứ nhất cho hạt thứ hai

( ) ( )

( ) ( )

đồng nhất thì có N! cách giao hoán giữa các cặp hạt bất kì cho nhau N!

gian pha Γ và cùng mô tả một trạng thái vật lí vi mô duy nhất Vậy thể tích không gian pha bé nhất tương ứng với một trạng thái vật lí vi mô của hệ N

Ở trạng thái cân bằng hàm phân bố chính tắc Gibbs trong gần đúng giả cổ điển có dạng :

( k )

H p,q,a

trong đó H là năng lượng của hệ Hàm H phụ thuộc vào các toạ độ suy rộng

định từ điều kiện chuẩn hoá của xác suất :

( ) ( )

− θ

k

a H

− θ

∆Γ

động hay trọng lượng thống kê

§6.Phương trình động Định luật tăng entropy

1 Entropy

Ta định nghĩa entropy của hệ ở trạng thái cân bằng bằng công thức:

trong một biểu diễn nào đó Khi đó biểu thức của S được viết dưới dạng :

2 Phương trình động Định luật tăng entropy

Entropy của hệ ở trạng thái không cân bằng được định nghĩa bằng công thức:

m

(6.11) hay (6.10) là phương trình động cơ bản

Theo nguyên lí cân bằng chi tiết hay nguyên lí về thuận nghịch vi mô thì

Khi đó phương trình (6.10) và (6.11) được viết lại như sau :

Ta hãy chứng minh rằng nghiệm này là duy nhất Giả thiết rằng không phải

Vì những số đều lớn nên mỗi số hạng trong tổng (6.16) đều dương và tổng

Như vậy khi hệ ở trạng thái cân bằng thì mọi trạng thái vi mô có xác suất bằng nhau, nghĩa là :

Dấu bằng đối với trường hơp hệ ở trạng thái cân bằng và dấu lớn hơn đối với

hệ ở trạng thái không cân bằng Với hệ cô lập đoạn nhiệt (E=const) khi hệ chuyển từ trạng thái không cân bằng về trạng thái cân bằng thì entropy của

hệ tăng Đó là định luật tăng entropy

Chú ý rằng, đối với tập hợp vi chính tắc (các hệ của tập hợp có E=const) thì

Gọi N là số trạng thái vi mô toàn phần thì xác suất tìm một trạng thái vi mô

N là số trạng thái vi mô tương ứng một trạng thái vĩ mô có E=const đã cho

§7 Nhiệt độ âm tuyệt đối

Từ trước tới nay ta chỉ khảo sát những hệ vật lí thông thường Năng lượng

hạn trên của năng lượng không hạn chế, nghĩa là :

k

E

k

Vì năng lượng của hệ là giới nội nên khi T>0 hay T<0 thì xác suất của hệ ở trạng thái k có giá trị giới nội Do đó đối với hệ này điều kiện chuẩn hoá của xác suất được thực hiện không chỉ với trường hợp T>0 mà cả T<0

khác nhau Thật vậy, tổng thống kê Z của hệ bằng :

k

E F

Ở đây n là số mức năng lượng không suy biến toàn phần của hệ

k

k

E kT

k kT

là hàm đơn giá của trạng thái)

Khi T=+0 thì số hạng có năng lượng cực tiểu trong tổng trạng thái Z đóng vai trò quyết định còn các số hạng khác bé có thể bỏ qua Vì vậy :

kT k

Khi T=-0 thì số hạng có năng lượng cực đại trong tổng trạng thái Z đóng vai trò quyết định còn các số hạng khác bé có thể bỏ qua Khi đó ta có :

kT k

max k

Như vậy ở trạng thái với T=+0 hệ có năng lượng nhỏ nhất và ở trạng thái

Khi chuyển từ trạng thái T=+0 đến trạng thái T=-0 (qua trạng thái với

năng lượng của hệ ở trạng thái nhiệt độ dương tuyệt đối Ta hãy chỉ ra rằng

độ âm tuyệt đối sang hệ (1) có nhiệt độ dương tuyệt đối Thật vậy, ta xét hệ

có nhiệt độ âm tuyệt đối và hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối làm thành một hệ

tuyệt đối ‘nóng’ hơn hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối, nhiệt độ âm tuyệt đối nằm trên nhiệt độ dương tuyệt đối

Trong thực tế không có hệ hoàn toàn cô lập trong một khoảng thời gian dài

Vì vậy hệ ở trạng thái cân bằng với nhiệt độ âm tuyệt đối sau một khoảng thời gian dài nhất định nào đó sẽ truyền năng lượng của mình cho môi trường xung quanh (hệ có nhiệt độ dương tuyệt đối) và chuyển hệ từ trạng thái có nhiệt độ âm tuyệt đối sang trạng thái có nhiệt độ dương tuyệt đối Như vậy, trạng thái của hệ ở nhiệt độ âm tuyệt đối là trạng thái không bền

Thí dụ :

Ta hãy xét hệ gồm N hạt nhân mỗi hạt nhân có spin ½ và có mômen từ spin

Giả sử trong N mômen từ có n mômen từ có chiều ngược chiều với H và

thì có bấy nhiêu trạng thái vi mô ứng với một trạng thái vĩ mô có năng lượng

hay T = +∞ Khi n tăng tiếp tục (N n N

Vì vậy chuyển pha từ pha lỏng Heli I sang pha lỏng Heli II là chuyển pha loại II Những đồ thị sau đây cho ta thấy sự phụ thuộc nhiệt dung vào nhiệt

Chất lỏng Hêli II có một loạt tính chất đặc biệt của nó Sau đây ta hãy

không tuyệt đối thì chất lỏng He4 ở trạng thái kích thích nhiệt độ với mức năng lượng:

0

được khảo sát như tổng năng lượng của những kích thích nhiệt cơ bản Mỗi

được khảo sát như một chuẩn hạt (hạt giả) có năng lượng ε và xung lượng

p Một trong những đặc tính của chuẩn hạt là sự phụ thuộc của ε vào p

e

thuộc của ε vào p theo định luật như

hình vẽ

Khi hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt thì

đa số chuẩn hạt ở vùng có năng lượng

nhỏ nhất nghĩa là ở vùng năng lượng ε

có giá trị gần bằng không và vùng năng

hạt có năng lượng nằm trong vùng

Ở đây v là vận tốc truyền sóng âm trong chất lỏng II, q là véctơ sóng âm, λ

là độ dài của sóng âm Trong vùng này p bé do đó λ lớn Chuẩn hạt có năng

bé) gọi là hạt rotôn Để tìm mối liên hệ giữa năng lượng và xung lượng của

định từ thực nghiệm Phonôn và rotôn là những lượng tử của sóng âm có độ dài sóng lớn và độ dài sóng bé Phonôn và rotôn (có spin bằng không) thuộc loại hạt Bozon tuân theo phân bố Bose-Einstein:

Chú ý rằng hàm phân bố n của phonôn hay rotôn cũng được tính trực tiếp

§ 2 Những đại lượng nhiệt động của chất lỏng Hêli II

Ta hãy tính năng lượng và năng lượng tự do của khí phonôn và sau đó tính năng lượng và năng lượng tự do cho khí rotôn Biết năng lượng tự do của khí phonôn và rotôn, ta tính được năng lượng tự do của chất lỏng Heli II

vi mô và mỗi trạng thái vi mô có n hạt có năng lượng bằng hν

Số phonôn có xung lượng nằm giữa p và p+dp hay có tần số nằm giữa ν và d

Khi nhiệt độ T đủ thấp (Tε0) thì:

0 0

r

N E

x y z

r r

r

dp dp dpeV

r

F0N

3 r

Dùng hệ thức này, ta viết lại biểu thức của Fr như sau:

x y z kT

−

−∞ :

0 0

0

p p

2 kT 2 kT

Biểu thức gần đúng của I bây giờ có dạng:

( ) ( ) 0

0 p r

4 5

v

V

2 3/ 2

2 0 kT

0 0 0 3

§3 Hiện tượng siêu chảy của chất lỏng Hêli II

Chất lỏng Hêli II có tính chất rất đặc biệt đó là tính chất siêu chảy Hiện tượng chảy của chất lỏng Hêli II dọc theo ống mao dẫn (hay theo thành rắn nào đó) với độ nhớt coi bằng không gọi là hiện tượng siêu chảy Vì độ nhớt của chất lỏng Hêli II coi bằng không nên sự chảy của chất lỏng Hêli II dọc theo thành rắn là sự chảy không chậm dần và chất lỏng Hêli II sẽ lan khắp thành rắn

Để giải thích hiện tượng siêu chảy ta chú ý rằng ở nhiệt độ không tuyệt đối chất lỏng Hêli II ở trạng thái cơ bản (trạng thái không có một kích thích nào) Ở trạng thái này tất cả các nguyên tử của Hêli II chuyển động như toàn

bộ (các nguyên tử cùng có vận tốc như nhau) Đó là sự chảy thành dòng không xoắn như toàn bộ của chất lỏng Hêli II Khi nhiệt độ gần nhiệt độ

không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II ở trạng thái kích thích nhiệt Ở trạng thái này một số nguyên tử Hêli II nhận được những kích thích nhiệt và chuyển động vô trật tự Số nguyên tử Hêli II chuyển động vô trật tự càng lớn nếu nhiệt độ càng tăng Trong trường hợp này sự chảy của chất lỏng Hêli II là sự chảy có xoắn (sự chảy thường) Bây giờ ta hãy giải thích hiện tượng siêu chảy của chất lỏng Hêli II Ở nhiệt độ không tuyệt đối, chất lỏng Hêli II chảy thành dòng (không xoắn) như toàn bộ Sự chảy này không thể chậm dần vì chất lỏng không nhận năng lượng từ ngoài (không nhận kích thích nhiệt) đủ lớn để ngăn cản sự chảy của chất lỏng Thành thử, sự chảy của chất lỏng trong trường hợp này là siêu chảy Rõ ràng rằng khi chất lỏng ở trạng thái siêu chảy thì sự chảy của chất lỏng không mang theo những kích thích nào

nguyên tử kích thích Hêli II nhận được những kích thích nhiệt và chuyển động vô trật tự, còn một số nguyên tử khác của chất lỏng Hêli II vẫn chuyển

0

siêu chảy và chảy thường Một cách sơ bộ coi rằng trong chất lỏng Hêli II là hỗn hợp hai chất lỏng: chất lỏng siêu chảy và chất lỏng chảy thông thường tồn tại đồng thời và độc lập với nhau Dòng siêu chảy không mang kích thích nhiệt và dòng thường mang các kích thích nhiệt Khi nhiệt độ

0

và hiện tượng siêu chảy biến mất

Sự tồn tại hiện tượng siêu chảy trong chất lỏng Hêli II chỉ có thể xẩy ra khi vận tốc của chất lỏng không thể lớn hơn vận tốc sóng âm dài Thật vậy, ta khảo sát sự chảy của chất lỏng Hêli II dọc theo thành rắn Để thuận tiện, đầu tiên ta hãy khảo sát trong hệ qui chiếu K’ chuyển động cùng chất lỏng với

vận tốc v Trong hệ qui chiếu này chất lỏng Hêli II đứng yên và thành rắn

qui chiếu K’ “gằn liền” với chất lỏng Hêli II (K’ chuyển động cùng chất

p



(tính từ mức cơ bản) Đối với hệ qui chiếu K gắn liền với thành rắn thì

công thức biến đổi năng lượng nói chung khi chuyển từ hệ K’ sang hệ K và

đối với hệ K, theo định lí cộng vận tốc, ta có:

chất lỏng Hêli khi chuyển từ hệ K’ sang hệ K như sau:

Ở đây V là vận tốc và

2

mV

Nếu chất lỏng Hêli II chuyển động không ma sát (siêu chảy) thì năng lượng của chất lỏng bằng

p

không có chứa các kích thích nhiệt Sự chảy của chất lỏng Hêli II không

siêu chảy

§4 Hiệu ứng cơ nhiệt

Một tính chất nhiệt rất đặc biệt của chất lỏng Hêli II gọi là hiệu ứng cơ nhiệt Nội dung của hiệu ứng này như sau Có một bình đựng chất lỏng Hêli II Khi cho chất lỏng Hêli II chảy qua ống mao dẫn và ra ngoài một phần thì nhiệt

độ của chất lỏng Hêli II còn lại trong bình tăng Ngược lại, khi cho chất lỏng Hêli II từ ngoài theo ống mao dẫn chảy thêm vào trong bình thì nhiệt độ của chất lỏng Hêli II trong bình giảm Hiệu ứng này được giải thích như sau Khi