de cuong toan 8 tap 1a

a Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành.. Gọi I là trung điểm của AD HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD sử dụng đường trung bình HK là đường ca

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ I MÔN TOÁN 8

Áp dụng tính: a/ (25x5 - 5x4 + 10x2) : 5x2 b/(x2 - 2x + 1):(1 -x)

3/ Thế nào là phân thức đại số? Cho ví dụ?

4/Định nghĩa hai phân thức bằng nhau

Áp dụng: Hai phân thức sau

x

x3

và

x x

x x





2

2

34

có bằng nhau không?

5/Nêu tính chất cơ bản của phân thức đại số?

Áp dụng: Hai phân thức sau bằng nhau đúng hay sai?

)8(2

)8

)8( x 2

6/ Nêu qui tắt rút gọn phân thức đại số Áp dụng : Rút gọn

18

48

3 



x x

7/ Muốn qui đồng mẫu thức các phân thức đại số ta làm thế nào ?

B/ BÀI TẬP:

I / NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC, ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC :

Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:

x y xy x  xy Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

b) (3x22x1)(x22x 3) 4 (x x2 1) 3x2(x22)

Bài 4: Tìm x biết

a) 4x3 3 x2 3 x1 4 x  1 27 b) 5 12x x7 – 3 20 – 5 x x  100

c) 0,6x x – 0,5 – 0,3 2 x x1,30,138 d) x1x2x5 – x2x   8 27

II/ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Bài 3: Xác định số hữu tỉ sao cho:

a) Đa thức 4x2 – 6x + a chia hết cho đa thức x – 3

b) Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3

c) Đa thức 3x2 + ax – 4 chia hết cho đa thức x – a

Bài 4 Chứng minh rằng:

a a2( a + 1) + 2a( a + 1) chia hết cho 6 với a  Z

b a(2a –3) – 2a( a + 1) chia hết cho 5 với a Z



 B = 2

56

x  x C = x x

x

43

169







a/ Tìm điều kiện của x để phân thức được xác định

b/ Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng -1

x

3

32

2 



; b)

62

64

3 2

x x x

2

x

x x

a Tìm điều kiện xác định của M

b Rút gọn M

c Tính giá trị của M khi x =

21

Bài 3: Cho biểu thức N =

a Rút gọn N

b Tính giá trị của N khi 1

2

y

c Tìm giá trị của y để N luôn có giá trị dương

Bài 4: Cho biểu thức :

12

1

2 3 4

3 4

x x x

3 Định nghĩa, tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang

4 Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

5 Diện tích các hình chữ nhật, hình vuông, tam giác

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao M là trung điểm AB Gọi D là

điểm đối xứng của H qua M

a) Chứng minh tứ giác AHBD là hình chữ nhật

b) Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành c) Gọi N là điểm đối xứng của A qua H Chứng minh: Tứ giác AENB là hình thoi

d) MN cắt BH tại K Chứng minh: BE = 3BK

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C

a) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

b) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

c) Gọi I là giao điểm của AE và DC Tia BI cắt DE tại K Chứng minh KI =

a) Chứng minh: Tứ giác ADHE là hình chữ nhật

b) Gọi F là điểm đối xứng của điểm H qua điểm E

Chứng minh: Tứ giác ADEF là hình bình hành

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: AMAF

Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC) Gọi M là trung điểm của BC Trên tia đối

của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I Vẽ IH  AB (H  AB) Chứng minh IKB cân

Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi G, H và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và

BC

a) Chứng minh tứ giác BCHG là hình thang

b) Gọi O là điểm đối xứng với E qua H Chứng minh tứ giác EAOC là hình bình hành c) Chứng minh AE, GH, OB đồng quy

Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH, đường trung tuyến AM

Vẽ HD  AB, HE  AC (D  AB, E  AC)

a) Chứng minh: tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AB AC = AH BC

b) Gọi P là điểm đối xứng của A qua E Tứ giác DHPE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi V là giao điểm của DE và AH Qua A kẻ đường thẳng xy vuông góc với đường thẳng MV Chứng minh ba đường thẳng xy, BC, DE đồng quy

Bài 8 Cho  ABC cân tại A Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB và AC

a/ Cho BC = 10 cm Tính độ dài DE

b/ Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân

c/ Gọi K là trung điểm BC, F là trung điểm BK, H là giao điểm của AK và DE Chứng minh tứ giác DHKF là hình chữ nhật

d/ Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM Gọi D là trung điểm của

AB

a/ Chứng minh: MD  AB

b/ Gọi E là điểm đối xứng với M qua D Chứng minh tứ giác EACM là hình bình hành

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

c/ Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi

d/ Cho BC = 6cm, tính chu vi tứ giác AEBM

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Gọi M, N, K thứ tự là trung điểm của

AB, AC và BC

2 và ABKN là hình thang vuông

b) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN và cắt tia KN tại Q.Chứng minh AKCQ là hình thoi

c) MN cắt BQ tại O và AK cắt BN tại I Biết BC = 24cm, tính độ dài OI

Bài 11 Cho ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm Gọi M là trung điểm của cạnh

AB, N là trung điểm của cạnh AC

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN

b) Gọi D là trung điểm của cạnh BC Chứng minh tứ giác BMND là hình bình hành

c) Chứng minh tứ giác AMDN là hình chữ nhật

Gọi E là điểm đối xứng của D qua M Chứng minh tứ giác BDAE là hình thoi

Bài 12: Cho ABC vuông tại A có AB < AC Gọi M là trung điểm BC Từ M kẻ MN vuông

góc với AC tại N, kẻ ME vuông góc với AB tại E

a) Chứng minh tứ giác ANME là hình chữ nhật và tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Vẽ D đối xứng M qua E Chứng minh tứ giác ADBM là hình thoi

c) Vẽ đường cao AH của ABC Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân

Bài 13: Cho hình thang ABCD có độ dài đáy lớn AB bằng 2 lần đáy nhỏ CD Gọi I là

trung điểm AB Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại E

a) Chứng minh AICD và BCDI là các hình bình hành

b) Chứng minh AD = DE

c) Giả sử A = D = 900 và AD = CD Chứng minh BC AC

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A AB  AC và M N P , , lần lượt là trung điểm của AB AC BC , ,

a) Chứng minh: Tứ giác BMNP là hình bình hành

b) Vẽ Q đối xứng với P qua N Chứng minh: Tứ giác APCQ là hình thoi

c) Vẽ R đối xứng với P qua M Chứng minh: R A Q , , thẳng hàng

Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm

của AB, BC và AC

a) Chứng minh tứ giác AMNK là hình bình hành

b) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC Tứ giác MKNH là hình gì? Vì sao?

c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua M AH và IC lần lượt cắt MK tại E và F Chứng minh HC – HB = 2EF

Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào biến

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

122

x x





Đa thức 2x2 + x + a chia hết cho đa thức x + 3  15

3

a x

3 2

x x x

2(

c )Tính giá trị của M khi x =

21

2

1

1



=

23

1

=32

1



=

25

1

=5

2

1

2 2 3 4

3 4 2

3 4

3 4

x x x x

x x x

x x x A

1

11

11

111

1

11

2 2 2

2

2 2

2 2

3 2

2 2

x x

x x x

x x x

x x x

x x

x x

x x

PHẦN 2: HÌNH HỌC

Bài 1:

a) Chứng minh: tứ giác AFKD là hình thang và tứ giác KEMF là hình bình hành

Ta có:

F là trung điểm của AC (gt)

K là trung điểm của CD (gt)

KF là đường trung bình của tam giác ACD

E là trung điểm của BD (gt)

M là trung điểm của AB (gt)

EM là đường trung bình của tam giác ABD

H E

K

M

F I

Gọi I là trung điểm của AD

HS chứng minh được: IE // AB và IF // CD (sử dụng đường trung bình)

HK là đường cao tam giác HCD

Mà HK là đường trung tuyến tam giác HCD (KC = KD)

Nên Tam giác HCD cân tại H

.3

23

BH

Vậy BE = 3BK

Bài 3:

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E là điểm đối xứng của B qua C

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

e) Chứng minh tứ giác ACED là hình bình hành

Ta có BC = CE (E là điểm đối xứng của B qua C)

và BC = AD (ABCD là hình chữ nhật)

nên CE = AD

mà AD//CE (do AD//BC)

Vậy tứ giác ACED là hình bình hành

f) Gọi M là trung điểm của BC Tia AM cắt tia DC tại F Chứng minh tứ giác BDEF là hình thoi

Xét 2 tam giác ABM và FCM có:

F

MˆCB

CˆFM

Gọi N là giao điểm của AC và BI

Ta có tứ giác ACED là hình bình hành, I là giao điểm của AE và CD

nên I là trung điểm của AE

Tam giác ABE có 2 đường trung tuyến AC và BI cắt nhau tại N

nên N là trọng tâm của ABE

Suy ra IN =

3

1

IB

Ngoài ra IB =

2

1

AE (do BI là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABE)

Do đó IN =

6

1

AE Mặt khác IK = IN (do hình bình hành ACED là hình có tính chất đối xứng)

Vậy IK =

6

1

AE

Bài 4:

a) Chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b) Ta có AD//HE và AD = HE (cạnh đối HCN)

Mà HE = EF (t/c đối xứng)

AD //EF và AD = EF

 DECM là HBH (2 cạnh đối // và bằng nhau)

c) H và F đối xứng nhau qua E nên HE = EF (t/c đối xứng)

HFAC nên tam giác AHF cân tại A (đường cao đồng thời là trung tuyến)

AFEAHEmà AHEC(cùng phụ góc CHE) Có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác ABC AM = MC = BC/2 AMC cân tại M  MACC  MACAFE(= CAHE)

Có 0 AFEFAE90 (vì HEAC)  0 MAC FAE 90 AMAF

Bài 5:

O

F

E

D

C M

H B

A

K

E

D

M

B

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật

CM: ABCD là hình bình hành

CM: ABCD là hình chữ nhật

b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh tứ giác ADBE là hình bình hành CM: BD = AE

CM: ADBE hình bình hành

c) EM cắt AB tại K và cắt CD tại I Vẽ IH  AB (H  AB) Chứng minh IKB cân

3

1



CM: AK = HK

CM: HK = BH

CM: IKB cân

Bài 6:

a) Xét tam giác ABC có

G là trung điểm của AB (gt)

H là trung điểm của AC (gt)

Vậy GH là đường trung bình của tam giác ABC

=>GH // BC

Xét tứ giác BCHG có GH // BC (cmt) Vậy tứ giác BCHG là hình thang

b) Xét tứ giác AECO có H là trung điểm của AC (gt)

H là trung điểm của OE (O đối xứng với E qua H)

Vậy tứ giác AECO là hình bình hành

c) Chứng minh được tứ giác AGEH là hình bình hành

=> Hai đường chéo AE và GH cắt nhau tại trung điểm của AE và GH

Chứng minh được tứ giác ABEO là hình bình hành

O

E

H G

A

=> AE cắt BO tại trung điểm của AE và BO

Điều phải chứng minh

EAD (ABC vuông tại A)

Vậy tứ giác AEHD là hình chữ nhật

1 21 2

Vậy tứ giác DHPE là hình bình hành Giải thích

c) Gọi F là giao điểm của Ax và BC

V là trực tâm tam giác AMF (MVAx; AVBC)

Mà AEV EAV (Tứ giác AEHD là hình chữ nhật)

Đồng thời EAVACM900(tam giác ACH vuông tại H)

D là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của AC (gt)

Suy ra DE là đường trung bình của ABC

Nên H là trung điểm AK (H  AK) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DH là đường trung bình của ABK

1 2

d) Chứng minh 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

- Chứng minh tứ giác DEKB là hình bình hành

- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật DHKF

Nên O là trung điểm của DK và HF (*)

- Hình bình hành DEKB có O là trung điểm của đường chéo DK (cmt)

Nên O cũng là trung điểm của đường chéo BE (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 3 đường thẳng DK, HF, BE đồng quy

Bài 9:

a/ Tam giác ABC có:

M là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

 MD là đường trung bình của ABC

 MD // AB

Mà AC  AB (vì tam giác ABC vuông tại A)

 MD  AB

b/ Ta có:

MD = AC : 2 (vì MD là đường trung bình của tam giác ABC)

MD = ME : 2 (vì E đối xứng với M qua D)

 AC = ME

Mà AC // ME (vì AC // MD)

 Tứ giác EACM là hình bình hành

c/ Xét tứ giác EAMB có:

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của EM

 Tứ giác EAMB là hình bình hành

Mà EM  AB (vì MD  AB)

 Tứ giác EAMB là hình thoi

d/ Ta lại có: tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

Nên T/g ABKN hthang vuông

b) C/m được BNQM là hình bình hành.N là trung điểm của QK

C/m được AKCQ là hình bình hành.KQAC

Hình bình hành AKCQ là hình thoi

c) Chứng minh được I là trọng tâm của tam giác ABC, C, I, M thẳng hàng Gọi V sao cho I

là trung điểm của MV OI=1/2NV=1/2.1/2AI=1/4.2/3AK=1/6AK; OI=2cm

C

M là trung điểm ED (E và D đối xứng qua M)

Tứ giác BDAE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Nên tứ giác BDAE là hình bình hành

Mà ED  AB (do AMDN là hình chữ nhật)

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

Tứ giác BDAE là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

Bài 12:

a) Chứng minh đúng tứ giác ANME là hình chữ nhật

Chứng minh được E là trung điểm của AB

Chứng minh đúng NM = BE và NM//BE

Kết luận tứ giác NMBE là hình bình hành

b) Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình bình hành

Chứng minh đúng tứ giác ADBM là hình thoi

c) Chứng minh được NH = NA

Chứng minh tứ giác MNEH là hình thang cân

Bài 13:

a/ AICD, BCDI là các hình bình hành (đúng dấu hiệu: 2

cạnh đối song song và bằng nhau)

E

D

C

B I

A

N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

=>MN//BC và MN = BC

=>MP//BPvà MN = BP

=>Tứ giác MBPN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Tứ giác APCQ là hình bình hành( Vì NA=NC ; NP = NQ (gt) mà AP là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong ABC vuông tại A (gt) nên AP = PC

Do đó hình bình hành APCQ là hình thoi (Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau) c) Chứng minh tứ giác ARBP là hình thoi =>đường chéo AB là phân giác của ̂ => ̂ = ̂ (1)

Tứ giác APCQ là hình thoi (cmt) =>đường chéo AC là phân giác của ̂ => ̂ = ̂ (2)

b) Chứng minh MKNH là hình thang cân

c) chứng minh ME là đường trung bình của tam giác ABH  ME = BH/2

chứng minh KF là đường trung bình của tam giác CIA  KF = AI/2

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có B600, C 800, D1000 Tính số đo góc A?

Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

2( 2)( 2) 1

0,25

0,25

0,5 0,25 0,25

0,25 0,5

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,5 0,25 0,25 0,25

Thầy Đức Math - 0963.295.430 TÀI LIỆU TOÁN HỌC

x x

b,

22

32

x

Câu 3.(2 điểm) Cho biểu thức P =

144

28

4

2

2 3

x x x

a, Tìm điều kiện xác định của biểu thức P

b, Tìm x sao cho P =

23

c, Tìm giá trị x nguyên sao cho P nhận giá trị nguyên

Câu 4.( 3 điểm) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi

M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA

a, Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b, Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì?

c, Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ

Câu 5.( 2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H BC) Gọi D, E theo thứ tự là điểm đối xứng với điểm H qua các cạnh AB và AC Chứng minh rằng AD = AE

0,25 0,25

2

a,

)2(3

1.)1(

)2)(

2(4

x x

=

)1(3

)2(4

3)

1(2

x

=

)1)(

1(2

)1)(

3()1)(

1(

x x x

3

Ta có: P =

12

)12)(

2()

12(

)2()2(4

x

x x

x

a, Điều kiện để biểu thức xác định là: 2x+1  0  x 

-21

)12)(

2(

=

23

23

= x + 1 -

12

 AD = AH (1)

C Tương tự A nằm trên đường trung trực