Bài tập Hình học vi phân _ Giải tích 2

[r]

1

BÀI TẬP CHƯƠNG 5 HÌNH HỌC VI PHÂN Dạng 1: Tính độ cong

 Trường hợp 1:  AB : y y x  Độ cong:

 

''

3

'

1

xx x

y C

y



  

 Trường hợp 2:  AB : x x t   









3

tt t tt t

C





 Trường hợp 3:  AB :rr   Độ cong:  

 

2

3

2

C





  

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường cong  

 

 

 

:

x x t

C y y t

z z t











 



tại điểm t t0

+ Phương trình tiếp tuyến: ' 0 ' 0 ' 0

    

+ Phương trình pháp diện:

x t xx y t yy z t zz 

Dạng 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong F x y z  , ,  0 tại điểm M0x y z0; 0; 0

+ Phương trình pháp tuyến:

 0  0  0

+ Phương trình tiếp diện:

F M xx F M yy F M zz 

2

BÀI TẬP

Bài 1: Tính độ cong của đường: .cos

.sin

t t

 







 , tại điểm ứng với t bất kỳ

Công thức tính độ cong:

   

3

tt t tt t

C





'

'

''

''

.cos sin cos sin

.sin cos sin cos

cos sin sin cos 2 sin

sin cos cos sin 2 cos

t

t

tt

tt









 



   

2 cos cos sin 2 sin sin cos 2. 1

cos sin sin cos

tt t tt t

C

Bài 2: Tính độ cong của 3

3 2

yx  x tại M 2; 0

Công thức tính độ cong:

 

''

3

'

1

xx x

y C

y



  

 

 







82

1 9

Bài 3: Tính độ cong của ra1 cos  ; a0

Công thức tính độ cong:  

 

2

3

2

C





  

'

''

sin

cos





  





 



3

 

 

3

1 cos sin cos cos 2 sin 2 cos cos

2 cos cos sin

C





3

a









Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của đường: x2sin ;t y2cos ;t zt

tại A0;2;  

Ứng với điểm A0;2;   , ta có: t

' '

2

2 cos

t t

x t







 





Phương trình tiếp tuyến:

 0  0  0

2 0

1





  



Phương trình pháp diện: 2x 0 0.y 2 1 z      0 2x z  0

Bài 3: Viết phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong   2 2 2

:

S z x y tại điểm M3; 4; 5

, ,

 

 

 





Phương trình pháp tuyến:

 0  0  0

Phương trình tiếp diện: 6x 3 8 y 4 10z    5 0 6x 8y10z0