Tìm cực trị của hàm số Tính... Biên soạn: ThS..[r]
Trang 1Cho: f(x,y) = ln(x2y2+ 1 + (xy)2)
a Tính
y
f x
f
∂
∂
∂
∂
;
b Tính df(1,1)
Tìm cực trị của hàm số f(x,y) = x4 +y4− 4xy
Tính I =∫∫Ω(x2 +y2 ) 3dxdy,
với Ω ={(x,y) /x2 + y2 ≤ 1 ,y ≥ 0}
Tính x y z dxdydz
V
V là miền giới hạn bởi 4 mặt x=0; y=o; z=0; x+y+z=1
Tính x yx dx xy y dy
L( + 2 ) − ( 2 + )
với L là đường tròn đơn vị tâm O, được lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
Bài giải:
f(x,y) = ln(x2y2+ 1 + (xy)2)
a Sử dụng (ln ) ;
' '
u
u
u =
u
u u
2 ) (
' '
=
Đặt u= (xy) 2 + 1 + (xy) 2
=> f(x,y) = lnu
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
' 2 2 2
1
2 1
2
2 2
1 2
) ) 1
( 2
y x
xy xy
y x
xy xy
y x
x y x xy
x
u
+ +
= +
+
= +
+ +
=
∂
∂
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
' 2 2 2
1
2 1
2
2 2
1 2
) ) 1
( 2
y x
y x y
x y
x
y x y
x y
x
y y x y
x y
u
+
+
= +
+
= +
+ +
=
∂
∂
+ + +
+
= +
+ +
+
=
∂
∂
=
∂
∂
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
) ( 1 ) ( 1
1 2
) ( 1 ) (
1 2
xy xy
y x xy
xy xy
y x
xy xy
u
x u
x
f
Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp 2
Toán Cao Cấp 2 ( 5 điểm)
Trang 2
+ + +
+
= +
+ +
+
=
∂
∂
=
∂
∂
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
) ( 1 )
(
1
1 2
) ( 1 )
(
1 2
xy xy
y x y
x xy
xy
y x
y x y
x
u y u
y
f
y
f dx x
f
) 1 , 1 ( )
1 , 1 ( df(1,1)
∂
∂ +
∂
∂
=
; 2 2
1 2 2 2 1 2
1 2 ) 1 , 1 (
+
+
= +
+
=
∂
∂
x
f
2 2
1 2 2 ) 1 , 1 (
+
+
=
∂
∂
y f
) (
2 2
1 2 2 ) 1 , 1
+
+
=
⇒
f(x,y) = x4+ y4 − 4xy
−
=
∂
∂
−
=
∂
∂
x y y
f
y x x
f
4 4
4 4
3 3
±
=
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
∂
∂
=
∂
∂
1 0
0 ) 1 ( 0 )
( 0 0
4 4
0 4 4 0 0
3
8 3 3
3 3 3
3 3
3
x
x
x y
x x
x y x
x
x y x
y
x y x
y
y x
y
f
x
f
=> f(x) có 3 điểm dừng O(0,0), M1(1,1), M2(-1,-1)
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
=
∂
∂
2 2
2
2 2
2
12 4 12
y y
f
y
x
f
x x
f
Tại O(0,0):
0 ) 0 , 0 (
4 ) 0 , 0 (
0 ) 0 , 0 (
2 2
2 2
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
=
y
f C
y x
f B
x
f A
⇒
>
=
−
=
∆ B2 AC 16 0 f không đạt cực trị tại O(0,0)
Biên soạn: ThS Đào Ngọc Dũng - 0912765874 - daongocdungdhtb@gmail.com
Trang 3Tại M1(1,1):
12 ) 1 , 1 (
4 ) 1 , 1 (
12 ) 1 , 1 (
2 2
2 2
=
∂
∂
=
−
=
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
=
y
f C
y x
f B
x
f A
0 12 12 ) 4 ( 2
2
<
∗
−
−
=
−
=
A = 12 > 0 => f đạt cực tiểu tại M1(1,1)
Tương tự, f đạt cực tiểu tại M2(-1,-1)
Vậy f không đạt cực trị tại O(0,0)
f đạt cực tiểu tại M1(1,1), M2(-1,-1)
=
=
ϕ
ϕ
rCos
y
rCos
x
(x,y) Є ℜ 0 ≤ r ≤ 1; 0 ≤ φ ≤ π
8 8 )
) ( ) ((
1 0
8 1
0 7 0
3 2 2
1 0 0
π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π π
=
=
= +
=∫d ∫ rCos rSin rdr ∫d ∫r dr r
I
V = { ( x , y , z ) / 0 ≤ z ≤ 1 − x − y ; 0 ≤ y ≤ 1 − x ; 0 ≤ x ≤ 1 }
8
1 12
1 2
1
3
2
2
1
12 2
3
2 2
1 )
3 3
2
(
2
1
) 3
) 0 ( 0 ( ) 3
) 1 ( ) 1
((
2
1
3
) (
2
1 )
( 1
2
1
2
) 0 (
2
) 1
(
2
) (
) (
1
0
4 2 1
0
3
3 3
1
0
1
0
3 1
0
1
0
2 1
0
2 2
1
0
1
0
1
0
2 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
=
+
−
=
+
−
= +
−
=
−
−
− +
−
−
=
−
= +
−
=
−
−
− + +
=
= +
+
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
−
=
=
−
−
−
−
=
=
−
−
−
−
x x x dx
x x
x x
x x dx
y x y dx dy
y x dx
y x y
x y
x dy
dx
z y x dy dx dz
z y x dy
dx
I
x y
y x
x
y x z
z
x y
x x
Đề thi mẫu Môn Toán Cao Cấp 2 –
Trang 4
2 4
1 2 4
.
) ) (
) ((
) (
) (
) (
) (
) (
) (
1
0
4 2 0 1
0 3 2
0
1
0
2 2
2
0
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
π π
π
−
=
−
=
=
−
=
+
−
= +
−
=
+
−
=
−
−
=
∂
∂
−
∂
∂
−
=
∂
∂
⇒ +
−
=
=
∂
∂
⇒ +
=
∂
∂
−
∂
∂
= +
= +
− +
=
∫
∫
∫
∫
∫∫
∫
Ω
Ω
r dr
r d
rdr rSin
rCos d
dxdy y
x I
y x x
y y
P
x
Q
y x
Q y
xy
Q
x y
P yx
x
P
dxdy y
P x
Q Qdy
Pdx dy
y xy dx yx x
I
L L
Bổ sung: 4 điểm
1 Phương trình vi phân
2 Chuỗi số
3 Ứng dụng Toán học trong kinh tế học
- Good luck to you ! -