Phương pháp Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số nếu cần để lấy x x0 ra khỏi căn thức và rút gọn để đưa về các giới hạn đã biết.. * Chó ý 1 Nếu tử số có nhiều căn thức, tách[r]
Trang 1Các phương pháp tìm GIớI HạN HàM Số, Hàm số liên tục
- -Định nghĩa
Hàm số f x có giới hạn là số thực L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số x n tuỳ ý
; \ 0
n
x a b x limx n x0 limf x n L
Chú ý rằng giới hạn của hàm số nếu có là duy nhất
A Các dạng toán tìm giới hạn của hàm số
I DạNG 1 CHứNG MINH KHÔNG TồN TạI GIớI HạN
Theo định nghĩa, để chỉ ra không tồn tại ta chỉ ra hai dãy sao cho
0
lim
x x f x
nhưng Khi đó không tồn tại
limxn x , limy n x lim f x n lim f y n
0
lim
x x f x
Ví dụ. Chứng minh rằng các giới hạn sau không tồn tại:
x x
1 lim sin
1 lim cos
x x
x x
x x
1 lim tan
1 lim cot
0
1 lim 2 3 tan
x x
x
Solution
1) Ta chứng minh lim sinx không tồn tại.
x
Thật vậy, chọn hai dãy: : 2 ;
2
n n
2
: x'
n n
Rõ ràng với cách chọn thì limx n lim 'x n Nhưng f x n 1; f x 'n 1 vì vậy
nên không tồn tại
lim f x n 1; lim f x'n 1 lim sin
x x
Các bài khác chứng minh tương tự, ta có thể chọn các dãy như sau:
2) Chọn hai dãy x n : x n n2 và x'n : x'n n2
3) Chọn hai dãy 1 và
:
2 2
n n
n
'
2 2
: x'
n n
x
n
4) Chọn hai dãy 1 và
:
2
n n
n
'
2 2
: x'
n n
x
n
5) và 6) Chọn hai dãy : 2 và
4
n n
4
: x'
n n
7) 8) và 9) Chọn hai dãy 1 và
:
2 4
n n
n
'
2 4
: x'
n n
x
n
Trang 2II DạNG 2 Sử DụNG NGUYÊN Lý GIớI HạN KẹP
Nguyên lý kẹp
Cho ba hàm số y f x , yg x , yh x xác định trên a b; chứa điểm x0 (có thể không xác
định tại x0) Nếu g x f x h x x a b; \ x0 và thì
x x g x x x h x L
0
lim
x x f x L
g x f x h x x a b; \ x0
L
*) Chú ý
x x f x x x f x
2) Nếu thì (điều ngược lại chưa chắc đã đúng)
0
lim
x x f x L
0
lim
x x f x L
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
1
0
1 lim sin
x
x
3
lim sin
x x
x
x L
x
3) (BCVT'99) 3 lim s 4) (GT'97)
s
inx inx
x
x L
x
0
1 lim os
x
x
Solution
Sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp, chẳng hạn:
3
s
inx inx
x
x
L
x
x
x x
III Dạng 3 Giới hạn xác định
*) Chú ý: Nếu hàm số y f x liên tục trên tập D và x0D thì
0
0
lim
x x f x f x
0
là các đa thức với
f
0
, lim
0
x x
f x L
Phương pháp
Do f x 0 g x 0 0 nên x0 là nghiệm của các phương trình f x 0; g x 0, do đó ta lấy
ra khỏi bằng cách phân tích
0
00 11 11
Khi đó
1
1
x x x x
L
*) Nếu g x1 0 0 thì
1 0
1 0
f x L
g x
*) Nếu g x1 0 0 thì
1 0
1 0
0 0
Nếu f tiếp tục lặp lại quá trình phân tích như trên
x x
0
Trang 3*) Chú ý: 1 2 2 1
a b a b a a b a b b
a a a a a
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
3
lim
1
x
L
x
3
2 1 lim
x
L
4 4
3 lim
x a
L
x a
1 lim
x a
L
5 0
lim
h
L
h
1
lim
x
L
7)
lim
8 12
x
L
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
1
1
5 lim
1
x
L
x
2
2 1
lim
1
n
x
L
x
1
1 lim
1
m n x
x L
x
4
0
lim
x
L
x
lim
x
L
2010
6 1 2009
2 1 lim
2 1
x
L
7) (DB'A'02)
6
lim
1
x
L
x
chứa các căn thức cùng chỉ số với
f
0
, lim
0
x x
f x L
Phương pháp
Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu số và tử số (nếu cần) để lấy xx0 ra khỏi căn thức và rút gọn để
đưa về các giới hạn đã biết
*) Chú ý
1) Nếu tử số có nhiều căn thức, tách thành nhiều giới hạn để tìm từng giới hạn đó
2) Các biểu thức liên hợp
liên hợp với để được liên hợp với để được liên hợp với để được
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
1
2 1 lim
1
x
L
x
2
0
lim
x
x L
x
2
7 3 lim
4
x
x L
x
4 0
lim
x
L
x
0
lim
x
x L
x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
1
0
lim
x
L
x
1
1 lim
1
x
x L
x
1
5 2 lim
2 1
x
x L
x
2
0
1 1 lim
16 4
x
x L
x
2
5 0
lim
x
L
0
lim
4 2
x
L
x
3
1
1 lim
3 2
x
x L
x
Trang 43) Loại 3 Dạng
chứa căn thức không cùng chỉ số với
f
0
, lim
0
x x
L
Phương pháp
Đặt c f x 0 g x 0 và phân tích:
Tìm các giới hạn Đây là các giới hạn đã biết cách tìm
x x x x
Phương pháp trên gọi là phương pháp gọi số hạng vắng (số hạng vắng là hằng số c)
*) Chú ý: Có một số bài toán không phải thêm bớt hằng số c như trên mà phải thêm bớt một biểu thức chứa ẩn x (phương pháp tách bộ phân nghiệm kép)
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
1) (QGHN'A'97) 2) (QGHN'A'98)
3
lim
x
L
x
1
lim
1
x
L
x
3
lim
x
L
x
1
lim
1
x
L
x
3
lim
x
L
2 3
6 1
lim
1
x
L
x
3
lim
x
L
x
1
lim
1
x
L
x
3
9
0
1 1 lim
4 2
x
x L
x
3
10 1
lim
1
x
L
x
*) Chú ý: Bằng cách đặt ẩn phụ n1 ta tìm được:
t ax
0
lim
n
x
áp dụng kết quả trên thu được:
0
lim
p
n m
x
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
5
1
2
30 2 lim
2
x
x L
x
5 4
2 1
lim
1
x
L
x
3
cos cos lim
sin
x
L
x
sin
4 0
2009 1 2 2009 lim
x
L
x
5
0
1 1 2 1 3 1 lim
4 2
x
L
x
3
7
lim
9 2
x
L
x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
3
lim
x
L
x
0
lim
x
L
x
3)*
3
lim
x
L
x
Dạng 5 Giới hạn lượng giác
Ngoài một số ít bài toán giới hạn lượng giác sử dụng nguyên lý giới hạn kẹp còn lại đa số đều sử dụng kết quả
0
sin
x
x x
*) Chú ý
Trang 51) Từ kết quả trên suy ra:
sin
sin
2) Nếu hàm số cần tìm giới hạn có chứa cả lượng giác và đa thức, căn thức, Ta tách giới hạn đó thành nhiều giới hạn đã biết cách tìm
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
0
1 cos lim
x
ax L
x
2 0
sin sin lim
x
x L
x
3
0
sin sin sin sin lim
x
x L
x
0
1 cos cos 2 lim
x
L
x
0
1 cos cos 2 cos lim
x
L
x
0
cos cos 2 cos 3 cos 5 lim
x
L
x
7) 7 8) 9) 10)
0
tan lim
x
ax L
x
0
tan lim tan
x
ax L
bx
0
sin lim tan
x
ax L
bx
0
sin lim sin
x
ax L
bx
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau
2
0
lim
x
L
x
0
2
sin 2
x
x
0
1 sin 2 cos 2 lim
1 sin 2 cos 2
x
L
2
sin 2 sin sin 4 lim
x
L
x
5) (QGHN'B'97) 5 6) (ĐHĐN'97)
2 0
1 1 sin 3 lim
1 cos
x
x L
x
2
6 0
1 cos lim sin
x
x L
7) (GTVT'98) 7 8) (HH'A'01)
0
1 2 1 sin lim
x
L
0
lim
1 1
x
L
x
9 0
lim
1 cos
x
L
x
0
1 cos lim
1 cos
x
x L
x
2
1 cos lim 7
x
x L
x
12) (BK'D'01) 13) (AN'00)
2
12 0
lim
1 cos
x
x L
x
0
98 1 cos 3 cos 5 cos 7 lim
x
L
x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
0
tan sin lim
x
L
x
0
1 tan 1 sin lim
x
L
x
0
1 cos lim
tan
x
x L
x
4
0
lim
1 cos
x
L
x
0
1 sin cos 2 lim
sin
x
L
x
lim tan sin
2
x
L
x x
0
lim
x
L
x
0
lim
x
L
x
2
9
0
sin lim
1 sin cos
x
x L
lim
tan 2
x
L
x
3
1 cos cos cos lim
x
L
x
lim
x
L
x
cos cos 2 lim
sin 2
x
x L
x
0
cos cos 2 lim
sin 2
x
x L
x
Trang 6*) Chú ý: Nếu giới hạn lượng giác nhưng xx0 0 Khi đó bằng cách đặt ẩn phụ y x x0 (hoặc
) ta đươc về giới hạn lượng giác của biến y với
0
Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau
4
lim tan 2 tan
4
x
4
sin cos lim
4
x
L
x
1 cos 7 lim
5
x
x L
x
3
sin
3 lim
1 2 cos
x
x L
x
2
2
sin
cos
x
x
x
2
1
cos
x
x
7) 7 lim 11 tan 8) (QG'D'99) 9)
2
x
x
3
2 lim
sin 1
x
L
x
2
4 lim cos 4
x
x L
x
4
2 sin
2 lim
tan 1
x
x L
x
6
sin
6 lim
3 cos 2
x
x L
x
12 4
lim 4 tan 2
x
3
sin 3 lim
1 2 cos
x
x L
x
3
14 3
tan 3 tan lim
cos
6
x
L
x
3
4
1 cot lim
2 cot cot
x
x L
0
1 lim 1 ; lim 1
x
x
x
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
1
0
lim 1 sin x
x
2 1
2
2 lim
1
x
x
x L
x
2 sin
3 lim 1 tan0 x x
x
1
x
x
x L
x
5 lim 10 x
x
1 sin 6
1 tan lim
1 sin
x x
x L
x
3
cot
7 0
1 sin cos lim
1 sin cos
x
x
L
8 1
lim 1 sin x
x
L x
Dạng 7 Giới hạn liên quan đến hàm mũ và lôgarit
ln 1 1
x
x e
*) Nếu không phải là hàm lôgarit tự nhiên hay hàm x ta biến đổi đưa về các hàm này bởi công thức
e
đồi cơ số của mũ và lôgarit: x lna x xlna và
ln
a
x x a
Ví dụ. Tìm các giới hạn sau
1
0
ln 1 3 lim
x
x L
x
0
1 lim
x
x
e L
x
0
lim
ax bx
x
L
x
4) (ĐHHH'99) 5) (GT'01)
sin 2 sin
4 0
lim sin
x x
x
L
x
2 3
0
1 lim
ln 1
x
x
L
x
2
0
3 cos lim
x
x
x L
x
2
0
cos lim
x
x
L
x
0
ln cos lim
x
x L
x
Trang 7Dạng 8 Giới hạn vô định dạng ; 0 và
*) Với giới hạn dạng ta chia cả tử và mẫu cho (m là bậc cao nhất của x dưới mẫu số) và sử
m
x
dụng các kết quả đã biết hoặc quy tắc tìn giới hạn vô cực
*) Với giới hạn dạng , 0. ta nhân với biểu thức liên hợp để đưa về dạng
2 nếu x 0 áp dụng khi x +
nếu x<0 áp dụng khi x
x
x
Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
3
lim
x
L
2
3 lim
x
x L
lim
x
L
2
lim
x
L
2
lim
x
L
2
2 lim
x
L
Ví dụ 2 Tìm các giới hạn sau
x
x
1 m 1 n nguyên dương
x
x
x
x
x
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau
x
x
x
x
x xx x x