CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Trong chuyên đề này với thời gian 2 tiết cho phép tôi xin giới thiệu một 2 phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ: Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ Tro

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC NINH

TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT

********************

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Tác giả :Nguyễn Thị Anh Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác : Trường THPT Lý Thường Kiệt

Tổ : Toán - Tin

Bắc Ninh, tháng 11 năm 2020

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Phương trình vô tỷ là một đề tài lý thú vị của đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay, ý tưởng phong phú và tối ưu Tuy đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình

vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo

Chuyên đề ''Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi THPTQG Trong chuyên đề này với thời gian 2 tiết cho phép tôi xin giới thiệu một 2 phương pháp thường dùng để giải phương trình vô tỉ:

Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA

Phương pháp 2: ĐẶT ẨN PHỤ

Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh

tự luyện.

Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của toán học qua các phương trình vô tỷ Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót Chúng tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu từ các thầy

cô và các em học sinh để chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!

PHẦN II- NỘI DUNG

CHUYÊN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I Mục tiêu :

1 Về kiến thức:

+/ -Nắm vững các dạng và cách giải để làm các bài tập

+/ Học sinh hiểu và vận dụng được giải các dạng toán liên quan.

2 Về kỹ năng:

+/ Biết vận dụng các pp giải toán để giải bài tập

3 Thái độ:

+/ Phân tích vấn đề chi tiết, hệ thống rành mạch.

+/ Tư duy các vấn đề logic, hệ thống.

+/Giáo dục cho học sinh tính cẩn thận,chính xác,chăm chỉ trong học tập

4 Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh:

+ Năng lực tự học: Học sinh xác định đúng đắn động cơ thái độ học tập;tự đánh giá và điều chỉnh được kế hoạch học tập; tự nhận ra được sai sót và cách khắc phục sai sót

+ Năng lực giải quyết vấn đề : Biết tiếp nhận câu hỏi, bài tập có vấn đề hoặc

đặt ra câu hỏi Phân tích được các tình huống trong học tập.

+ Năng lực tự quản lý: Làm chủ cảm xúc của bản thân trong quá trình học tập vào trong cuộc sống; trưởng nhóm biết quản lý nhóm mình, phân công nhiệm

vụ cụ thể cho từng thành viên nhóm, các thành viên tự ý thức được nhiệm vụ của mình và hoàn thành được nhiệm vụ được giao.

+ Năng lực giao tiếp: Tiếp thu kiến thức trao đổi học hỏi bạn bè thông qua hoạt động nhóm; có thái độ tôn trọng, lắng nghe, có phản ứng tích cực trong giao tiếp.

+ Năng lực hợp tác: Xác định nhiệm vụ của nhóm, trách nhiệm của bản thân đưa ra ý kiến đóng góp hoàn thành nhiệm vụ của chủ đề.

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh nói và viết chính xác bằng ngôn ngữ

Toán học

+ Năng lực sử dụng công nghệ thông tin và truyền thông

- Năng lực chuyên biệt:

+ Năng lực tự học: Đọc trước và nghiên cứu chủ đề qua nội dung bài trong sách giáo khoa lớp 10 ( Ban cơ bản)

+ Năng lực giải quyết vấn đề.

+ Năng lực sử dụng ngôn ngữ.

II CÁC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP

KIẾN THỨC 1: PHƯƠNG PHÁP : NÂNG LUỸ THỪA

1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1

Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân hoặc nhóm nhỏ

+ Chuyển giao:

Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 + = −

Bài 2: Giải phương trình: x− 2x+ = 3 0

HS : lên bảng trình bày

GV : chính xác hóa lời giải

Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 + = − (1)

x 3

Bài 2: Giải phương trình: x− 2x+ = 3 0

HD:Ta có: x− 2x+ = 3 0 ⇔ 2x+ = 3 x

2

2

0

0

0

3 1

3

x

x x x

x x x

x x

x

≥



⇔  + =



≥





≥





⇔ = − ⇔ =



 =



Từ đó GV tổng quát hóa các dạng

2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC 1

A - LÝ THUYẾT

1/

( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x g x

f x g x

≥







( ) 0 ( ) ( )

g x

f x g x

f x g x

≥



 3/

( ) 0

f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x





( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x g x n N

f x g x

≥







2

( ) 0

n

n

g x

f x g x

≥



=

 6/ 2n+1 f x( ) =2n+1g x( ) ⇔ f x( ) =g x( ) (n N∈ * )

7/ 2n+1 f x( ) =g x( ) ⇔ f x( ) =g2n+ 1 ( ) (x n N∈ * )

…

B- BÀI TẬP

Mục tiêu: HS sử dụng cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa

phương thức tổ chức:Hs nhóm

+ Chuyển giao: Bài 3- bài 6 (mõi nhóm trình bày 1 câu vào bảng phụ sau 7 phút nộp sp)

+ Các nhóm nhận xét sp chéo nhau

Bài 3: Giải phương trình: x+ − 4 1 − =x 1 2 − x

HD: Ta có: x+ − 4 1 − =x 1 2 − x ⇔ x+ = 4 1 2 − x+ 1 −x

x

x

 − ≥



⇔ − ≥



2

1

2

x

 ≤



⇔ 

1 2

x x

 ≤





⇔ + ≥





0

0

7

x x

x x

x x

x

−

−

Bài 4: Giải phương trình: x− − 2 3 x2 − = 4 0

4 0

x

x x

− ≥



⇔ ≥

 − ≥

2

(2) 17

9

x x

x x

=







 =

Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2

Bài 5 Giải phương trình sau : 2

2 x+ = 3 9x − −x 4

HD:Đk: x≥ − 3 phương trình tương đương :

2

1

3 1 3

18

x

x

=



 = + + = −

Bài 6: Giải phương trình sau:

x− x− − =

3/ HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP KT 1

Mục tiêu: Rèn luyện cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa

phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân làm ra giấy, sp được thu lại GV chấm sau

+ Chuyển giao: Bài 1-6

Bài 1:Giải các phương trình sau:

1/ x+ x− = 1 13 2/ 3 x+ 34 3 − x− = 3 1

1 +x x + = + 4 x 1 3/ x 3 5+ = − x 2−

Bài 2: Tìm m để phương trình sau cĩ nghiệm: − +x2 3x− = 2 2m x x+ − 2

Bài 3: Cho phương trình: x2 − − = 1 x m

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm

KIẾN THỨC 2: PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ

1/ HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG KT1

Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận cách giải pt bằng cách nâng lũy thừa phương thức tổ chức:Hs hoạt động cá nhân hoặc nhĩm nhỏ

+ Chuyển giao:

Ví dụ :

0 7 12x 6x

x

2x − 2+ 2− + = (1)

Phân tích : Nếu bình phương 2 vế sẽ làm bài tốn phức tập lên vì vậy ta sẽ làm như sau:

Đặt :

t = 6x2− 12x+ 7 ≥ 0 ⇒ t2 = 6x2 - 12x + 7

⇒

6

t 7 x 2x− 2= − 2

6

t

7− 2+ = ⇔ -t 2 + 6t + 7 = 0

⇔









±

=

⇔

=

−

−

⇔

−

=

= +

−

⇔

=

2 2 1 0

7 2

7 7 12

x

x

(loại) 1

t

6x

7

2/ HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH VÀ LUYỆN TẬP KT2

Mục tiêu: Giúp học sinh tiếp cận một vài pp đặt ẩn phụ để giải pt

vơ tỷ.

1 Phương pháp đặt ẩn phụ thơng thường

Đối với nhiều phương trình vơ vơ tỉ , để giải chúng ta cĩ thể đặt t = f x( )

và chú ý điều kiện của tnếu phương trình ban đầu trở thành phương trình

chứa một biến tquan trọng hơn ta cĩ thể giải được phương trình đĩ theo t thì việc đặt phụ xem như “hồn tồn ”

Bài 1 Giải phương trình: x− x2 − + 1 x+ x2 − = 1 2

HD:Điều kiện: x≥ 1

Nhận xét x− x2 − 1. x+ x2 − = 1 1

Đặt t = x− x2 − 1 thì phương trình cĩ dạng: t+ = ⇔ =1t 2 t 1

Thay vào tìm được x= 1

Bài 2 Giải phương trình: 2x2 − 6x− = 1 4x+ 5

HD:Điều kiện: 4

5

x≥ −

Đặt t = 4x+ 5(t≥ 0) thì 2 5

4

t

x= − Thay vào ta cĩ phương trình sau:

t t

(t 2t 7)(t 2t 11) 0

Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 = − ± 1 2 2;t3,4 = ± 1 2 3

Do t ≥ 0 nên chỉ nhận các gái trị t1= − + 1 2 2,t3= + 1 2 3

Từ đĩ tìm được các nghiệm của phương trình l: x= − 1 2 vàx= + 2 3

BT tương tự

Bài 3 Giải phương trình sau: x+ 5+ x− =1 6

HD:Điều kiện: 1 ≤ ≤x 6

Đặt y= x− 1(y≥ 0) thì phương trình trở thành:

y + y+ = ⇔ y − y − +y = ( với y≤ 5)

(y y 4)(y y 5) 0

Từ đĩ ta tìm được các giá trị của 11 17

2

x= −

Bài 4 Giải phương trình sau : ( ) ( )2

x= + x − − x

HD: ĐK: 0 ≤ ≤x 1

Đặt y= 1− x thì phương trình trở thành:

2 1 −y y + −y 1002 = ⇔ = ⇔ = 0 y 1 x 0

Bài 5 Giải phương trình sau : 2 1

x

HD:Điều kiện: − ≤ < 1 x 0

Chia cả hai vế cho x ta nhận được:x 2 x 1 3 1

Đặt t x 1

x

= − , ta giải được

Bài 6 Giải phương trình : 2 3 4 2

x + x −x = x+

HD: x= 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được:

3

2

 − + − =

Đặt t=3 1

x

x

− , Ta có : 3

2 0

t + − = ⇔t 1 1 5

2

t = ⇔ =x ±

3x + 21x+ + 18 2 x + 7x+ = 7 2 HD:Đặt y = 2

x + x+ ;y≥ 0 Phương trình có dạng: 3y2 + 2y - 5 = 0

5 3 1

y y

−

 =



⇔

=



1

y

⇔ =

Với y = 1 2

x x

⇔ + + = ⇔  = −x x= −16 Là nghiệm của phương trình đã cho

Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được

một lớp bài đơn giản, đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải

2 Đặt ẩn phụ đưa về hệ:

Đặt u=α( )x v, =β( )x và tìm mối quan hệ giữa α( )x và β( )x từ đó tìm được hệ theo u,v

HD:Đặt y= 3 35 −x3 ⇒x3 +y3 = 35

35

xy x y

x y

+ =



 + =

{2;3}

x∈

Bài 2 Giải phương trình: 4 629 −x+ 4 77 +x = 8

HD:ĐK:− ≤ ≤ 77 x 629

Đặt

4

4

629

( ; 0) 77

u v





706 ,

8 4 + 4 =

=

+

Đặt t = uv







=

=

⇔

= +

−

⇒

113

15

0 1695 128

2

t

t

t

t

Với t = 15 ⇒ x = 4

Với t = 113 ⇒ x = 548

Bài 3 Giải phương trình: x3 +x2 − + 1 x3 +x2 + = 2 3 (1)

x +x − ≥ ⇒ x +x + >

Đặt

1 2

u x x

v x x





 Với v > u ≥ 0

Phương trình (1) trở thành u + v = 3

Ta có hệ phương trình

3

3

1 1

1 1

2 4

u v

v u

v u v u v u v

x x

x x

x x

x x

+ =



 − =









⇔ 





2

2

2 0

x x

x x x

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

Bài 4 Giải phương trình: 4 18 + 5x+ 4 64 − 5x = 4

HD:Với điều kiện























≤

≤

−

⇔

≤

−

≥

⇔

≥

−

≥

+

5

64 5

18 5

645

18 0

5

64

0

5

18

x x

x x

x

(*) Đặt u= 4 18 + 5x,v= 4 64 − 5x, với u ≥ 0, v ≥ 0

Suy ra







−

=

+

=

x v

x u

5 64

5 18

4

4

Phương trình đã cho tương đương với hệ:

( )



















≥

≥

=

− +

= +

⇔

≥

≥

=

+

=

+

0 , 0

82 ) ( 2 4 0

,

0

82

4

2 2

2 2 4

4

v v

uv v

u

v u v

v

v

u

v

u

Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:

( )

















=

∨

=

=

⇔

= +

−

=

⇒









≥

≥

=

−

−

=

29 3

4 0

87 32

4

0 ,

0

82 2

2

4

2

2 2

2

P P

S P

p

S

S

P

P P

S

S

u và v là nghiệm của phương trình:

3

y

y y

y

=



− + = ⇔  =

Do đó ta có:













=

=

∨

=

=

1

3 3

1

v

u v

u

Suy ra

5

63 5

17

=

∨

−

=

(2) Với S = 4, P = 29 ⇒ không tồn tại u và v

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

1

2

17

5

63

5

x

x

 = −





 =



HOẠT ĐỘNG CỦNG CỐ :

Với thời gian cho phépbài học của chúng ta dừng lại ở 2 phương pháp giả pt

vô tỷ

BÀI TẬP TỔNG HỢP ( BTVN) Bài 3: Giải các phương trình sau:

x− + x− = 3(x2 − + = +x 1) (x x− 1) 2

3 1 2

5 5

x − x+ =

x + = x− + x + ( x− 3 4)( − x) = − 9 x

x+ −x +x −x =

0 864 5

.

5 x − x + = 3x2 + 2x= 2 x2 + + −x 1 x

Bài 10: Giải phương trình:

a) x2 + x2 + 2x+ = − 8 12 2x b) 2x2 − 5 2x2 + 3x+ = − − 9 3x 3

x − x+ = x − x+ d) 2 2

3x + 15x+ 2 x + 5x+ = 1 2 e) (x+ 4)(x+ − 1) 3 x2 + 5x+ = 2 6 f) 2x2 + + − 5x 2 2 2x2 + − = 5x 6 1

x + x+ − x + x+ = − h) 2 2

11 31

x + x + =

Bài 11: Giải phương trình:

x + −x =x −x 2 ( )3 ( )3 2

1+ −1 x  1−x − 1+x = + −2 1 x

1

x

x

x

3

x

x

+

−

2 2

1 − −x 2x 1 −x − 2x + = 1 0 64x6 − 112x4 + 56x2 − = 7 2 1 −x2

Bài 12: Cho phương trình: 1 + +x 8 − +x (1 +x) (8 −x) =m

a) Giải phương trình với m = 3

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

c) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Qua việc dạy chuyên đề về giải phương trình vô tỉ đối với hoc sinh 10A8 tôi thấy :

-Học sinh không ngại khi gặp dạng toán giải phương trình vô tỉ

-Hoc sinh thấy hứng thú hơn đối với môn toán đặc biệt là khi giải phương trình vô tỉ

2) Bài học kinh nghiệm

Từ những kết quả cụ thể trên tôi đã rút ra một số kinh nghiệm cho bản thân cũng như cho đồng nghiệp khi hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỉ như sau

- Phương pháp giải phương trình vô tỉ không khó đối với học sinh khá giỏi, mà điều cần lưu ý đối với giáo viên dạy toán là

+ Cần phân dạng các phương trình vô tỉ, và phương pháp giải cụ thể từng dạng với các ví dụ cụ thể

+ Những dạng bài tập giao cho học sinh phải thực tế dễ hiểu và gợi mở, giúp kích thích óc sáng tạo của học sinh nhưng không quá cao siêu trừu tượng

+ Hướng dẫn các em trước khi giải phương trình cần phân loại dạng toán, phương pháp giải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán tìm hiểu cách giải, phán đoán cách giải, các bước giải để các em đi đến lời giải thông minh ngắn gọn nhất

+ Rèn kĩ năng giải phương trình vô tỉ cho học sinh, thường xuyên để ý giúp các em sửa chữa những sai lầm thường mắc phải khi giải phương trình vô tỉ nhất là ĐKXĐ

+ Trên cơ sở làm một số bài tập mẫu thật cẩn thận giáo viên cần giao thêm lượng bài tập về nhà có nội dụng tương tự hoặc mở rộng hơn để các em được tự mình giải quyết các phương trình vô tỉ ấy

- Nếu có được những việc làm trên tôi tin chắc rằng tất cả các em học sinh

sẽ không còn lúng túng khi giải phương trình đặc biệt là pt vô tỉ

3) Kết luận.

Trong chuyên đề này tôi đã cố gắng lựa chọn lượng kiến thức phù hợp với lượng thời gian cho phép.

Do thời gian có hạn và kinh nghiệm còn hạn chế nên trong quá trình viết khó tránh được những sai sót trong cách trình bày cũng như hệ thống các bài tâp đưa ra còn hạn chế , chưa đầy đủ, chưa khoa học tôi rất mong các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hạp lĩnh , ngày 1 tháng 11 năm 2020

Người viết chuyên đề

Nguyễn Thị Anh

Tài liệu tham khảo:

- Nâng cao và phát triển toán - Tập 1 - Vũ Hữu Bình

- Tài liệu chuyên toán lớp tập 1 – Vũ Hữu Bình.

- Các đề thi học sinh giỏi của các tỉnh thành trong cả nước

- Báo toán học tuổi trẻ

- Toán sơ cấp

- Các trang báo mạng về toán