- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.. - Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã c
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A Kiến thức cần nhớ
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ( )I ax by c' ' '
a x b y c
+ =
( a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) + Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi
' '
a ≠ b
+ Hệ (I) vô nghiệm khi
a =b ≠c
+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi
a = =b c
* Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn
- Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
* Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
- Nhân các vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ
số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
- Giải phương trình trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ
*Lưu ý:
Đôi khi, ta có thể đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về một hệ phương trình mới đơn giản hơn Sau đó sử dụng phương pháp cộng hoặc thế để tìm ra nghiệm của hệ phương trình.
* Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ.
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt ẩn phụ (tìm điều kiện cho ẩn và ẩn phụ nếu có).
Bước 2: Đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải Bước 3: Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện nếu có.
Bước 4: Kết luận.
Trang 2B Một số dạng bài tập thường gặp.
I DANG 1 : GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1 Bài tập minh họa.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
a) b)2x y x+ =2y3 5
+ =
)
c
x y
− = −
− + =
Giải
a)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1 )
)
b
y
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
− + = − + = − =
2 3
x R
= +
⇔ ∈
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm y 2x 3
x R
= +
∈
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.
)
b
x y
+ =
)
c
Giải
)
a
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
Trang 3b) 3 2 4 3 2 4 7 14
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
)
c
1 1
6 6
2
2
y y
=
−
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; ) 2 1;
Bài 3: Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ.
a)
3
1
b
− − − =
− + − =
)
x y c
− + =
+ + =
Giải
a)
3
1
Điều kiện xác định 2 0
2 0
+ ≠
+ ≠
2 2
≠ −
≠ −
Hệ phương trình đã cho trở thành:
( )
tm
Trang 41 2
1
1 2
+
⇒
+
2 1
x y
+ =
⇔ + =
1 3 1 3
x y
=
⇔
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; ) 1 1;
3 3
x y = ÷
)
b
− − − =
− + − =
Điều kiện xác định x≥1; y≥1
Đặt: a= x−1,b= y−1 ( ;a b≥0)
Hệ phương trình đã cho trở thành:
( )
tm
+ = + = =
( )
1 1
tm
y
− = − = =
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; ) (2;2)x y =
)
x y
c
− + =
+ + =
Đặt: t = +y 2 ĐK: t≥0
Hệ phương trình đã cho trở thành:
+ = + = + =
1 1( )
x
=
⇔ =
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( x y; ) (∈{ 1; 1 , 1; 3− ) ( − ) }
2 Bài tập tự luyện.
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
x y
− = −
− = −
( Trích đề thi vào 10 năm 95-96)
+ =
3. − − =5x x−23y y+ =6 05 0
4.
3
− =
− =
Trang 5Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
2.
2
1 3
2
3 5
2
x y
x y
x y
−
− − =
( 4)( 7) ( 3)( 4)
( Trích đề thi vào 10 năm 01-02 )
+ + = −
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau:
1.
8
1
+ −
+ −
( )
4.
13
5.
3
4
Bài 4 : Giải các hệ phương trình sau:
1.
4
x y
2.
2 2
2 2
( Trích đề thi vào 10 năm 01-02)
= − +
= −
( Trích đề thi vào 10 năm 95-96)
Trang 6II DẠNG 2: XÁC ĐỊNH HỆ SỐ KHI BIẾT NGHIỆM CỦA HỆ
Các bước giải.
Bước 1: Thay nghiệm đã cho vào hệ phương trình.
Bước 2: Giải và kết luận.
1 Bài tập minh họa.
Bài 1: Tìm các giá trị của a và b để hệ phương trình 3
ax by
ax by
+ =
có nghiệm là (3; 2)−
Giải
Vì hệ phương trình có nghiệm là (3;-2) nên thay x=3; y = -2 vào hệ phương trình ta được:
Vậy a = 3;b =3 là giá trị cần tìm
Bài 2: Biết hệ phương trình ( ) ( )
2ax+b 5
y
ïí
ïî có nghiệm ( ) ( )x y =; 1;2 Tính giá trị của biểu thức M= 3a+ 4b
Giải
Vì hệ phương trình có nghiệm ( ) ( )x y =; 1;2 nên thay x= 1;y= 2vào hệ phương trình
ta được:
2
1
2
a
ìï =
Vậy M = 8
Bài 3: Cho ba đường thẳng 3x+2y=4( )d1 ; 2 –x y =m d( )2 ; x+2y =3( )d3
a Tìm tọa độ giao điểm A của( )d và1 ( )d 3
b Tìm m để ba đường thẳng( ) ( )d1 ; d2 ; ( )d đồng quy tại một điểm.3
Giải
a.Tọa độ giao điểm của đường thẳng ( )d và1 ( )d là nghiệm của hệ:3
1
4
x
y
=
Trang 7Tọa độ giao điểm là 1 5;
2 4
.
b Để ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy 1 5;
2 4
⇔ ÷
thuộc đường thẳng 2x – y = m Thay 1; 5
x= y= ta được:
2
2 4− = ⇔ =m m 4
4
m= là giá trị cần tìm
2 Bài tập tự luyện.
Bài 1: Tìm giá trị của a và b:
a. Để hệ phương trình 3 ( 1) 93
= có nghiệm là (x; y) = (1;-5)
b. Để hệ phương trình ( )
( )
có nghiệm là (x; y) = (3;-1).
Bài 2: (Trích đề thi vào 10 năm1998-1999) Cho hệ phương trình mx ny 5
2x y n
− =
+ =
Tìm m, n để hệ có nghiệm x 3
y 4 2 3
= −
Bài 3: (Trích đề vào lớp 10 năm 2008-2009):Xác định hệ số m, n biết rằng hệ phương trình
1
mx y n
nx my
− =
+ =
Có nghiệm là (−1; 3)
Bài 4: (Trích đề thi vào 10 năm 2000-2001)
Cho các phương trình − =3x 4y 104x y 9− = (I) và + −mx y 8 5n6x (2n 3m)y 16+ = − = (II)
a. Giải hệ (I)
b Tìm m và n để hệ (I) tương đương với hệ (II)?
Trang 8III DẠNG 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Các bước giải (Giả sử hệ phương trình có ẩn x, y và m là tham số)
Bước 1: Tìm nghiệm duy nhất (x; y) theo m.
Bước 2: Thay x, y vừa tìm được vào điều kiện đề bài cho để tìm m.
Bước 3: Đối chiếu giá trị m với điều kiện (nếu có) rồi kết luận.
1 Bài tập minh họa.
Bài 1 Cho hệ phương trình: ( )I mx 4y 410 m
x my
+ =
a Tìm m đề hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x y+ = 1
b Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x.y>0
c Tìm tất cả các số nguyên m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y đều là số nguyên
Giải
a ( )I mx 4y 410 m (1)(2)
x my
+ =
Từ (2) ta có x= −4 my Thế vào (1) ta được:
2
2
2
10 5
2 4
5
2
m
m
y
m
−
−
⇔ =
+
Với m≠ ±2 thì hệ (I) có nghiêm duy nhất ( ); 8 ; 5
m
x y
−
= + + ÷ Theo bài ra ta có: x y+ =1
Trang 9Vậy 11
2
m= là giá trị cần tìm
b Với m≠ ±2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) 8 ; 5
m
x y
−
= + + ÷ Theo bài ra ta có .x y>0
m
−
5(8 )
0 ( 2)
m m
−
+ ⇔5(8−m) 0> ( vì(m+2)2 >0 với ∀ ≠ ±m 2 )
⇔ − > ⇔ <8 m 0 m 8 Kết hợp với điều kiện m≠ ±2 ta có m<8;m≠ ±2.
Vậy m<8;m≠ ±2 thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn x.y>0
c Với m≠ ±2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; ) 8 ; 5
m
x y
−
= + + ÷
Với m nguyên thì y nguyên 5
2
m
⇔ + nguyên⇔ + ∈m 2 Ư(5)={± ±1; 5} Lập bảng:
Vậy m∈ − − −{ 7; 3; 1;3} thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho x; y đều là số nguyên
Bài 2: (Trích đề thi vào lớp 10 năm 2003-2004):)Cho hệ phương trình - 2mx + 4
2x + m 2
y y
=
(Với m là tham số) Tính các giá trị x, y theo m và từ đó tìm giá trị của m để S=x+y đạt giá trị lớn nhất
Giải
Ta có - 2mx + 4 (1)
2x + m 2 (2)
y y
=
Từ (1) ta có y= +4 2mx thế vào (2) ta được:
Trang 10( ) 2 ( 2)
2x m+ 4 2+ mx = ⇔2 2x+4m+2m x= ⇔2 2 1+m x= −2 4m
2
1 2
1
m
x
m
−
⇔ =
+ ( Vì 1+m2 >0 với mọi m)
4 2
Với mọi m thì hệ có nghiệm ( ) 2 2
x y
= + + ÷
+
= −
5 1
m
= +
Vì m2 ≥0 với m∀
m
⇒ + ≥ với m∀
2
5
5
1
m
+ với m∀
5
S
⇒ ≤ với m∀
Dấu “=” xảy ra khi m2 = ⇔ =0 m 0.
Vậy giá trị lớn nhất của S= 5 khi m=0
Bài 3: Cho hệ phương trình ( ) 2 3
1
x y I
x my
− =
+ =
(m là tham số)
a Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất
b Tìm m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất (x; y) là tọa độ của điểm A(x; y) nằm trong góc phần tư thứ III của hệ trục tọa độ Oxy
Giải
Hệ phương trình( ) 2 3
1
x y I
x my
− =
+ =
a Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất 2 1 1
2
m≠ − thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất.
b Với 1
2
m≠ − ta có
Trang 11(2 1) 1
( )
I
m
m
2
m≠ − hệ có nghiệm duy nhất ( ); 3 1; 1
m
x y
= + + ÷
Theo bài ra A(x; y) nằm trong góc phần tư thứ III của hệ trục tọa độ Oxy
0
1
3
m
m
m
m m
−
.
Kết hợp điều kiện 1
2
m≠ −
− < < −
− < < −
thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài 4: (Trích đề thi vào 10 năm 2016-2017)Cho hệ phương trình ( )I 2x 25y m1
+ =
m là tham số) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y
là hai nghiệm của phương trình t2 −(3m− 1)t m+ 4 + 9m− = 13 0 với t là tham số.
Giải
Ta có
1 2
2 1 2
= −
Theo bài ra x và y là hai nghiệm của phương trình t2 −(3m− 1)t m+ 4 + 9m− = 13 0(*)
Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình (*) ta được
9 13
m
x
m
y
xy
m
−
=
+
Thay x=5m-2; y=1-2m vào (II) ta được
Trang 12( ) ( )
4
5 2 1 2
5 2 1 2
0 0( )
9
10 11 0
3 1
13
m
=
+
− +
= ⇔ = ±
−
Thay m=1 vào phương trình (*) ta được
( ) ( )
3
t
t
= −
− − = ⇔ + − = ⇔ = ⇒ =m 1 thỏa mãn
Tương tự m= -1 thỏa mãn
Vậy m= ± 1 là giá trị cần tìm
2 Bài tập tự luyện.
Bài 1 Cho hệ phương trình x my 1
mx 4y 2
a Giải hệ phương trình khi m=1
b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
c Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm
d Tìm m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 2 (Trích đề thi GK2 năm 2013-2014):
Cho hệ phương trình (m là tham số)
a Giải hệ phương trình với m = 2
b. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thị hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn 2x +y ≤ 3
Bài 3.(Trích đề thi GK2 năm 2012-2013):Cho hệ phương trình
Tìm giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm x>0 và y< 0
Bài 3 (Trích đề thi GK2 năm 2006-2007): Cho hệ phương trình:
a Giải hệ phương trình khi m = 2
Trang 13b. Tìm giá trị của m để hệ pt có nghiệm duy nhất thỏa mãn x-y = 1
Bài 4 ( Trích đề thi cuối năm 2007 –2008): Cho hệ phương trình
(I) với m là tham số
a Giải hệ phương trình (I) với m = -2
b Tìm tất cả các số nguyên m để hệ (I) có nghiệm (x; y ) thỏa mãn x; y đều là
số nguyên
Bài 5 Cho hệ phương trình Với m là tham số
a Giải hệ phương trình với m = 1
b Chứng minh hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c. Tìm tất cả các số nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y ) sao cho x; y đều là số âm
Bài 6.(Trích đề thi vào 10 Bắc Ninh năm 1997-1998) Cho hệ phương trình: 2 5
+ =
− = −
( Với m là tham số)
a Giải hệ phương trình với m=1
b Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho
x
y là số nguyên.
Bài 7. (Trích đề thi vào 10 Bắc Ninh năm 2002-2003)
Cho hệ phương trình ( I ) 2 3 1
+ = +
+ = −
a Giải hệ phương trình với m=6
b.Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãi x=3y
c Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x.y>0
Bài 8 (Trích đề thi vào 10 Bắc Ninh năm 2011-2012)
Cho hệ phương trình: ( I ) 2 5 1
2 2
+ = −
− =
a Giải hệ phương trình với m=1
Trang 14b.Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 −2y2 =1.
Bài 9 (Trích đề thi vào 10 THPT chuyên Bắc Ninh năm 2016-2017)
Cho hệ phương trình (I ) 1
2 3
x my
+ =
+ =
(Với m là tham số)
a Giải hệ phương trình khi m=1
b Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x và y là các số nguyên
Bài 10 Cho hệ phương trình
= +
−
= + 4
10 4
my x
m y
mx
(m là tham số)
a Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho điểm ( ; )
M x y nằm trong góc phần từ thứ I.
b Tìm sô nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x, y là các số nguyên dương
Bài 11 Cho hệ phương trình
=
−
= +
m y x
y x
2
4 2 3
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 12 Cho hệ phương trình:
=
−
= +
4 3
9
y mx
my x
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =
3
28
2 +
m - 3
C Bài tập trắc nghiệm.
Chọn phương án đúng trong các câu sau.
Câu 1 Trong các hệ phương trình sau hệ nào vô nghiệm.
A
x=3
+ =
x+y=3
+ =
3
x y y
+ =
=
3
x y
+ =
+ =
Trang 15Câu 2 Hệ phương trình 3 ( 1) 93
có nghiệm (1; 5− ) khi
A a = 1; b = 17 B a = -1; b = 17 C a = 1; b = -17 D a = -1; b = -17.
Câu 3 Hệ phương trình 2 2 9
− =
A 7;1 2
÷
7
; 1 2
−
Câu 4 Hệ phương trìnhmx yx+y=1− =2
có một nghiệm duy nhất khi:
Câu 5 Cho hệ phương trình (I) Hệ phương trình (I) vô nghiệm
khi
Câu 6 Cho hệ phương trình (I) Hệ phương trình (I) vô số nghiệm
khi
Câu 7 Cho hệ phương trình (I) Xét các câu sau:
1.Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi m ≠ 3
2.Hệ (I) vô nghiệm khi m = 3.
3.Hệ (I) vô số nghiệm khi m∈¡
4.Hệ (I) tương đương với hệ (II)
1
2
x y
− =
− =
khi m = 4
Trong các câu trên
A Chỉ có 1 câu đúng B Có 2 câu đúng
Trang 16C Không có câu nào đúng D Có 3 câu đúng.
Câu 8 Phương trình bậc nhất hai ẩn:
A Luôn luôn vô nghiệm.
B Luôn luôn có 1 nghiệm.
C Luôn luôn có vô số nghiệm Các điểm (x;y) thỏa mãn phương trình này
được biểu diễn hình học bằng một đường thẳng
D Luôn luôn có 2 nghiệm.
Câu 9 Hệ phương trình
1 3
2 2
x y
x y
+ =
+ =
có nghiệm là
Câu 10 Cho hai đường thẳng (d1): 2x – y = 3 và (d2): x + y = -6 Hai đường thẳng
(d1) và (d2) cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư nào trong hệ tọa độ Oxy?
Câu 11 Hệ phương trình 2
1
x y
+ =
− =
có nghiệm duy nhất (x; y) mà x và y đều là
số nguyên với m∈¢ khi
A m ∈ {0; 2} B m ∈ {0; -2} C m ∈∅ D Một kết quả khác.
Câu 12 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x = khi đó m
bằng
5
5
m= − m= −
Câu 13 Cho hệ phương trình 2 1
5
x y
mx y
− =
+ =
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
thỏa mãn điều kiện x và y trái dấu khi
A m < 10 và m ≠ -2 B m > 10 C -2 < m < 10 D một kết quả khác.
Câu 14 Hệ phương trình ( 1) 3 1
x y m
2 2
S =x + y đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó:
Trang 17A m = ± 1 B m = 1 C m = -1 D một kết quả khác.
Câu 15 Hệ phương trình 16
x y
+ >
có số nghiệm nguyên dương là
A 1 nghiệm duy nhất B 2 nghiệm C Không có nghiệm nào D Vô số nghiệm.
Trang 18KẾT LUẬN
- Nội dung của chuyên đề đã hệ thống được một số phương pháp giải hệ phương
trình, với từng phương pháp đã có ví dụ minh họa cụ thể và hệ thống bài tập vận dụng đi kèm để rèn kĩ năng làm bài Hệ thống bài tâp được sắp xếp theo thứ tự từ
dễ đến khó
- Kiến thức được trình bày trong chuyên đề đã được chúng tôi giảng dạy cho các
em học sinh lớp 9 luyện thi vào 10 THPT ở nhiều năm Kết quả thu được tương đối khả quan
- Mặc dù rất cố gắng khi thực hiện chuyên đề nhưng không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy chúng tôi mong muốn được đồng nghiệp đóng góp ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn
- Cuối cùng, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà trường THCS Tân Hồng, đã tạo điều kiện giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình làm chuyên đề Hy vọng rằng chuyên đề sẽ nhận được nhiều sự đóng góp quý báu của các cấp lãnh đạo
và quý thầy cô giáo để chúng tôi được học hỏi và nâng cao chuyên môn hơn nữa Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!