Luận văn Toán giải tích

Chương 3 sẽ chứng minh định lý về tồn tại nghiệm của u  f trong l1 và cho một phản ví dụ mà ở đó phương trình này không giải được trên không gian l p Luận văn được hoàn thành dưới sự h[r]

MỤC LỤC

Nội dung Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 3 §1 Toán tử  3 §2 Tính khả vi và liên tục Lipschitz 7

§3 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi 9

§4 Phương trình  u f trong :N 12

CHƯƠNG 2: CÁC BỔ ĐỀ PHỤ TRỢ 15

§1 Chuỗi vô hạn biến 15 §2 Bổ đề chìa khóa 21 §3 Ước lượng nghiệm của phương trình  u f trong :N 31 CHƯƠNG 3: CÁC KẾT QUẢ CHÍNH 36 §1 Phương trình  u f trong một hình cầu trong l1 36 §2 Định lý tồn tại nghiệm 38 §3 Một ví dụ 40 KẾT LUẬN 45

LỜI NÓI ĐẦU

Mục đích của luận văn nhằm nghiên cứu phương trình  u f trong không gian Banach Do hạn chế về mặt thời gian cũng như năng lực của tác giả nên phạm vi đề tài chỉ thu hẹp trong không gian Trong luận văn có trình bày l p

định lý về tính giải được của phương trình  u f trong Đặc biệt có một l1

phản ví dụ trong về một hàm mà ở đó phương trình l p f  u f không giải được trên một tập mở  l p

Nội dung của luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày các khái niệm về

toán tử cũng như các tính chất của nó Các khái niệm về  1, 0 của các hàm trong không gian Banach

Chương 2: Các bổ đề bổ trợ Chương 2 trình bày các mệnh đề, các khái

niệm, các bất đẳng thức ước lượng dùng để phục vụ cho chương 3

Chương 3: Các kết quả chính Chương 3 sẽ chứng minh định lý về tồn

tại nghiệm của  u f trong và cho một phản ví dụ mà ở đó phương trình l1

này không giải được trên không gian l p

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập nghiên cứu

Cảm ơn các cơ quan chủ quản, gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành tốt luận văn này

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC MỞ ĐẦU

§1 Toán tử 

Định nghĩa 1.1.1:

Cho E F, là các không gian Banach thực Ta ký hiệu m ;  là không

a E F

L

gian tất cả các ánh xạ - tuyến tính m A E: m F

Định nghĩa 1.1.2:

Cho E F, là không gian Banach phức, p q N,  với p q 1 Chúng ta sẽ

ký hiệu bởi pq ,  là không gian con tất cả những

a E F

a

AL  E F: :

sao cho :

 1, ,  p .q  1, , 

A x   x    A x x     :; x1, ,x p q E

Định nghĩa 1.1.3:

Nếu là tập con mở của ta sẽ ký hiệu bởi U E mU F;  là không gian véc tơ tất cả các ánh xạ : : m ;  Và chúng ta sẽ ký hiệu

a

f U  L E F

gồm tất cả các của lớp

 ; 

k

m

C U F f mU F;  C k

Định nghĩa 1.1.4:

Cho là một tập mở của thì ta ký hiệu U E pqU F;  là không gian con tất cả các f p q U F;  sao cho   pq ; 

a

f x  L E F  x U

Tương tự chúng ta sẽ ký hiệu bởi k  ;  là không gian con tất cả các

pq

C U F

sao cho

 ; 

k

p q

f C  U F   pq ; 

a

f x  L E F  x U

Mệnh đề 1.1.5:

Nếu là tập con mở của thì U E

a) mU F;   pqU F; 

b) k ;  k  ; 

m p q m pq

 

 

Chứng minh:

Có các phép chiếu liên tục : : m ;  m q q, ;  sao cho

u L E F: : L  E F

Điều này sinh ra các phép chiếu :

u   u u id

sao cho :q: m ;  q m q q,  ; 

u f  U F u  f   U F u:0   u:1 u:m id

Nếu f mU F;  là lớp C k thì rõ ràng là k

q

u  f C :

Nếu f C U F m ;  và x U thì ta có Df x D f x'  D f x''   Ở đó

  10      01   

D f x L E L E F: : D f x L E L E F: :

Do đó '  , ''   m 1 ; 

a

D f x D f x L  E F: :

Định nghĩa 1.1.6:

Cho là tập con mở của Với mỗi U E f C U F m ;  ta định nghĩa  f, f

bởi :

        

        1

          x U

Hay nói cách khác:

1

1

, , , m m 1 j ' j , , , ,j m

j

f x t t t    D f x t t t t 



   1       : 

1

1

, , , m m 1 j '' j , , , ,j m

j

f x t t t    D f x t t t t 



Mệnh đề 1.1.7:

Nếu là tập con mở của thì : U E

a) Cả 2 ánh xạ , :C U F m ;  C m 1U F;  là tuyến tính



b) df    f f  f C U F m ; 

c) :C pq U F; C p1,qU F;  và :C pq U F; C p q, 1 U F; 

d) 2f  2f 0 và    f f 0  f C U F m ; 

e) Nếu f C U g C U m ;  n  thì :

f g    f g  1 m f  g

f g    f g  1 m f  g

Chứng minh: a), b) c) dễ thấy Ta chứng minh d).

0 d f   f      f f f

Nhưng ta lại có theo c) thì 2   , ,

p q

f C U F

     f f C p1, 1q U F; 

Theo mệnh đề 1.1.5 ta có

 

2

p q

f C  U F

0

       

Chứng minh e):

Ta có  f C pq  U g C U;  rs  d f gdf   g  1 p q f dg

f g f g  1 p q f g f g f g  1 p q f g 0

                      

Ta có f g    f g  1 p q f   g C p r 1,q s U F; 

f g    f g  1 p q f   g C p r q s ,  1U F; 

Do đó theo mệnh đề 1.1.5 ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.1.8:

Cho E F G, , là không gian Banach phức Cho U  E V, F là các tập

mở, cho HU F;  với  U V

a) *:pqV G;  pqU G; 

b)  *f * f

 *f * f  f C V G m ; 

Chứng minh: a) Nếu f pqV G;  thì

 *                 

1, , ,2 p q 1 , , p q

Do đó nếu D x  là - tuyến tính do đó : *f pqU G; 

b) Với f C pq V G;  ta có :

0 d  f  df    f  f     f  f 

Mà  * *    và

p q



p q



Theo mệnh đề 1.1.5 ta có :    







Mệnh đề 1.1.9:

Cho là tập con mở của và cho U E f C p0U F;  thì  f 0 trên U 

a

f H U L E F

Chứng minh: Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh

 

: Hiển nhiên

''"

""  f 0 t0, ,t pE, , ,0  p:

   0 0        0 0 : 

0

p

k

k

f x  t  t D f x  t  t  t  t



  0    0 :  (1.1)

0

1 '' , , , ,

p

k

k

D f x t t t t

  



 

Chọn p1 số phân biệt 0, , p trong khoảng  0; Đặt i k,

k e 

  ,

2

/ i k

k k k e 

     k   0 k p

Áp dụng (1.1) với j,

k k

  j 0, p

Ta được hệ phương trình tuyến tính :

với Dễ thấy là

     0 : 

0

1 '' , , , , 0

p

k j

k

D f x t t t t





số phân biệt nên hệ phương trình trên có định thức Vandermonde 1

do đó ta có  1 k D f x t''   k t0, , , ,t:k t p0  k 0,p

điều phải chứng minh



§2 Tính khả vi và liên tục Lipschitz

Cho là không gian Banach phức, V  V là tập mở, u:  : là một hàm

Định nghĩa 1.2.1:

Với mỗi tập A  ta xét 2 chuẩn sau đây :

0,A sup  

z A





   

1,A sup

z w A

u z u w u

z w

 







Khi A  chúng ta đơn giản viết u0,u1 thay thế cho u 0,A,u 1,A

Nếu u 0,A  , u 1,A   chúng ta nói rằng là liên tục Lipschitz trên u A

Định nghĩa 1.2.2:

là dạng - 1 vi phân trên , f  A   B, là hình cầu đơn vị trong V Xét 2 chuẩn của như sau: f

   

0,

;

sup ;

A

z A B

 



   

1,

,

sup

A

z w A B

f z f w f

z w









Chúng ta nói rằng là liên tục Lipschitz trên nếu f A f 0,A  , f 1,A  

Ta cũng ký hiệu đơn giản là f 0, f 1 nếu A  :

Xét ánh xạ lớp C1  :  : Bằng tính toán đơn giản ta có:

(1.2)

*

0 2

*

1



Hầu hết các tô pô được sử dụng để nghiên cứu không gian các hàm và các dạng vi phân là tô pô compact mở Trong tô pô này thì u j u (tương ứng

) nếu chúng hội tụ đều trên tất cả các tập con compact của (tương

j

ứng  V) Vì thế u j  u Tuy nhiên

0, 0

u u    K

j

f  f 

Mệnh đề 1.2.3:

Nếu u jC  và u j u đều trên các tập compact của thì  u C  

Chứng minh:

Rõ ràng là hạn chế của trên bất kỳ tập compact u K   là liên tục Nếu

Đặt thì compact vì thế

 z n  , z n z K z z z, , , 1 2  K

  lim  n

n





Do đó liên tục trên u  :

Định nghĩa 1.2.4:

Giả sử u C   , f C0,1  Chúng ta nói rằng  u f (theo nghĩa yếu) nếu bất kỳ không gian con hữu hạn F V,  u F  f F theo nghĩa phân phối

Khi là hữu hạn chiều thì V  u f theo nghĩa trên   u f theo nghĩa phân phối

Dưới đây là một số kết quả quen thuộc :

Mệnh đề 1.2.5:

Nếu u jC  , f jC0,1  ,  u j f j và u j u( tương ứng f j  f ) đều trên các tập compact của (tương ứng   V) thì  u f

Mệnh đề 1.2.6:

Nếu u C   , 0,1 , (tương ứng liên tục Lipschitz)

m

f C  m1,2, f

và  u f theo nghĩa yếu thì u C m  (tương ứng u C 1  ) và  u f

theo nghĩa ban đầu của 

Mệnh đề 1.2.7:

Nếu u jC  (tương ứng  u C0,1  ) là bị chặn đều trên các tập con compact của (tương ứng   V ) thì u j là đồng liên tục đều trên (suy 

ra rằng có thể được phủ bởi các tập con mở mà ở đó là đồng liên tục) u j

§3 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi trong n

:

Ta ký hiệu B 1 là hình cầu tâm bán kính 1.0

Định nghĩa 1.3.1:

Cho tập mở   :n một hàm u:    ;  gọi là nửa liên tục trên

(tương ứng u:    ;  gọi là nửa liên tục dưới) nếu nó thỏa mãn

ta đều có tập (tương ứng ) là

a

 : z: n:u z a z: n:u z a

tập mở

Định nghĩa 1.3.2:

Cho tập mở   :n một hàm u:    ;  được gọi là đa điều hòa

dưới nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện dưới đây:

i) là nửa liên tục trên.u

0

1 2

i

u a u a e b d



 



      :a , b n a B  1 b 

Ví dụ: Xét hàm uH  Khi đó rõ ràng Re , Im , , logu u u u thỏa mãn điều kiện i) Ta chứng minh chúng đa điều hòa bằng cách chứng minh chúng thỏa mãn điều kiện ii) Thật vậy: Lấy a b, như trong ii)

+) Do a B  1 b  nên theo công thức tích phân Cauchy với hàm chỉnh

hình ta có :   2  

0

1 2

i

u a u a e b d



 



Bằng ước lượng và tính toán đơn giản ta có Re , Im , u u u thỏa mãn điều kiện ii)

+) Lấy là đa thức trên sao cho P :

logu a  bReP  với mọi  1 Từ đó suy ra rằng:

  Re P  P 

u a b e   e 

Do đó eP  u a  b1   1

Theo nguyên lý mô đun cực đại ta có logu a  bReP    1

Từ đó theo định lý 34.8 trong [Mu] ta có log u thỏa mãn điều kiện ii)

Định nghĩa 1.3.3:

Cho tập mở   : n Hàm : : n 0; được định nghĩa bởi :  x t, supr 0 :x rB  1 t 

Định nghĩa 1.3.4:

Tập con mở   : n được gọi là miền giả lồi nếu log là hàm đa điều hòa dưới trên   :n

Ví dụ: Trong thì : B 1 là miền giả lồi Thật vậy, ta có:

 B 1  x t, supr 0 :x rB  1 t B 1 

Do B 1 là cân nên nếu x rB  1 tB 1 thì ta có r t  1 x Do đó  1  

1 khi 0 ,

khi 0

B

x

t t

x t

t



 





 



1

log 1 +log khi 0

khi 0

B

x t

t



Đặt f x t ,  log B 1  x t, ,g x  log 1  x, h t logt Thì khi đó

     ,

f x t g x h t

Xét

0

       

       

0

    Vậy

,

       

Mà g x  log 1  x log 1 x x 

Nên

x

và

2

2

4 1

g

 

Tương tự ta có   1  

log log

2

h t  t  t t

1 1 1

h

t



2

0

h

t t

 

 

Do đó mà Vậy hàm thỏa mãn điều kiện

2 2

4 1

Levi (Xem Định lý 2.6.2 trong [Ho]) nên f x t , là đa điều hòa dưới 

cũng là đa điều hòa dưới trên Vì thế là giả lồi

  1

log B

§4 Phương trình  u f trong N

:

Để giải phương trình  u f trong không gian vô hạn chiều ta giải nó trong trường hợp N sau đó cho ta được kết quả trong

Cho T N  : N /: N ký hiệu hình xuyến chiều nó tác động lên N N bởi :

:

với

   2 1 2 

1, , it 1, , it N

t z z N e  z e  z N

  t  t  T N

Trong mục này sẽ ký hiệu cho bất kỳ chuẩn trên N mà bất biến dưới

:

tác động  t và ký hiệu  N : 1 đặc biệt - chuẩn là một

N

B  z : z  l1

chuẩn như vậy

Cho * là chuẩn đối ngẫu trong : N và là số thực dương sao cho : 

1/ 2

1

N







Định nghĩa 1.4.1:

Ký hiệu diam: đường kính của tập 

Vol thể tích của tập   : N

r z dist z ; với z được đo bởi chuẩn

Bổ đề 1.4.2: (Định lý 4.4.2 [Ho])

Cho là tập giả lồi mở trong  N, là hàm đa điều hòa dưới trong Đối

với mọi 2   với có một lời giải của

, 1

p q

p q

u L  loc

phương trình  u g sao cho :

2  2 2 2

1

u e z  d  g e d 

Bổ đề 1.4.3:

Giả sử là dạng- f  0,1 nhận giá trị phức, bị chặn và đo được trên một tập giả lồi bị chặn   : N Nếu  f 0 thì  u C  sao cho  u f với

thì

z

(1.3)

      1/ 2   

0

u z  diam Vol VolB r z  r z f

Ở đây chỉ toán tử Cauchy – Riemann được mở rộng để tác động trên các  phân phối

Chứng minh:

Giả sử Ta có :

1

N

f f d z  



0 1

N



Theo bổ đề 1.4.2 ta có phương trình  u f có một lời giải bình phương khả tích u:  : sao cho : 2 2 2 2 2

0





Thật vậy ta có  2 2 2 2 2 2 2

2

0

1 diam  u u 1 z  f Vol f

Bằng thủ thuật quen thuộc ta sẽ dẫn đến tồn tại một lời giải sao cho :u

2  2 2 2 (1.4)

0

u  diam Vol f





Thật vậy, với diam 1 thì điều này là hiển nhiên

Với trường hợp tổng quát ta co về miền có đường kính bằng 1 Dưới phép 

co thì u2 tỷ lệ giống Trong khi đó tích không thay đổi

Như vậy ta có kết quả (1.4) trong trường hợp tổng quát

Hơn thế nữa lời giải thậm chí liên tục Theo [H] tồn tại lời giải địa u

phương liên tục của phương trình u'  u' f Do đó u u ' chỉnh hình và u

liên tục

Với z, r r z   và d  dt dt1 N Ký hiệu là độ đo Lesbegue trên 

mà Ta định nghĩa hàm trên bởi

N

       

N

t T

v   u z r   d  t

Chúng ta sẽ đánh giá chuẩn Lipschitz của Đầu tiên giả sử v 1  thì

N

v C B

Cũng thế là bất biến dưới tác động Điều này suy ra rằng

0

0

; Nó kéo theo rằng và

 ; 0 N

N

dv      B  : i : N dv:N  2 v:N

vì thế với , ' N ta có :

N

B

    :

(1.5)

   ' 2 0 '

Thật vậy, ta có (1.4) đúng với  , 'B N sử dụng phép xấp xỉ argument cho phép ta mở rộng (1.4) cho trường hợp tổng quát, bỏ đi giả thiết

Hơn thế nữa,

 

1

N

v C B

2 2 2 (1.6)

N

N B





Chọn một điểm  B N ở đó 2 không lớn hơn trung bình của nó trên

Theo (1.4) (1.6) ta có:

   1/ 2

0

N

v    diam Vol VolB r f

Áp dụng (1.4) với  ' 0 ta được ước lượng (1.2) với u z   v 0 :

Bằng tính toán đơn giản ta có:

Hệ quả 1.4.4:

Trong trường hợp đặc biệt khi   z : N : z R, 0 R   có một lời giải thỏa mãn: u

N

R

     

Khi là - chuẩn, thì l1 diam 2R và có thể được chọn là  N

CHƯƠNG 2: CÁC BỔ ĐỀ PHỤ TRỢ

§1 Chuỗi vô hạn biến

Định nghĩa 2.1.1:

Cho z z  là dãy vô hạn biến, z B  1 l1 và q:

B 1 ký hiệu cho hình cầu đơn vị mở của l1

Đặt   (2.1)

 

# 0

#

,

v v

v

k v

k k v

k

k k k

k

k 















Ở đó k 0 được hiểu là k  0 

#k: số phần tử k  0