Luan van Toan Giai Tich

Trong luận văn này chúng tôi đã giới thiệu và mở rộng một sô các kết quả về điểm bất động trên lớp các không gian Gmetric đã có trước đó và đưa ra các ví dụ minh họa đầy đủ cho sự mở rộng đó, các kết quả này vẫn có thể mở rộng hơn, các bạn muốn tìm tòi và nghiên cứu có thể tham khảo để viết luận văn Cao học

Mục Lục

Trang

Chương 1 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên các

1.1 Không gian G-mêtric 41.2 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên các khônggian G-mêtric 10Chương 2 Tính chất P và một số định lý điểm bất động đối với các

ánh xạ trên các không gian G-mêtric đầy đủ 202.1 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên các khônggian G-mêtric đầy đủ 202.2 Tính chất P trong không gian G-mêtric 38

lời nói đầu

Lý thuyết điểm bất động là một trong những hướng nghiên cứu quantrọng, bởi nó có nhiều ứng dụng trong các ngành toán học khác nhau

Do đó nó đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và thu được nhiều kếtquả Kết quả quan trọng đầu tiên về lý thuyết điểm bất động là nguyên

lý ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ của nhà toán học S Banach.Sau đó các nhà toán học đã mở rộng nguyên lý này cho nhiều loại ánhxạ và nhiều không gian khác nhau Một trong những hướng mở rộng

là thay thế các điều kiện trong định nghĩa không gian mêtric, từ đó thu

được lớp các không gian rộng hơn không gian mêtric Sau đó người tanghiên cứu sự tồn tại các điểm bất động trên các không gian này

Khái niệm không gian 2-mêtric được giới thiệu bởi S Gahler (xem[8,9]) vào những năm sáu mươi của thế kỷ trước, khái niệm không gian

D-mêtric được giới thiệu bởi B Dhaler vào năm 1992 (xem [5,6]) và họ

đã đưa ra một số kết quả về điểm bất động của các ánh xạ trên các lớpkhông gian này Tuy nhiên, vào năm 2003, Z Mustafa cùng với B Sims

đã chỉ ra những vấn đề chưa hợp lý về cấu trúc tôpô của không gianDmêtric (xem [11]) và họ đã giới thiệu một cấu trúc mới của không gianmêtric suy rộng và gọi là không gianG-mêtric Sau đó, các nhà toán họcnày đã giới thiệu và phát triển lý thuyết điểm bất động cho những ánhxạ trên các không gianG-mêtric Hiện nay, các vấn đề về lý thuyết điểmbất động đối với các ánh xạ trên các không gianG-mêtric đang thu hútnhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu và đã có những kếtquả nhất định

-Dựa trên hai bài báo Some Fixed Point Theorem For Mapping onComplete G-metric Space của các tác giả Z Mustafa, H Obiedat và F.Awawdeh, Existence of Fixed Point Result in G-metric Space của cáctác giả Z Mustafa, W Shatanawi và M Bataineh cùng với các tài liệutham khảo khác, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Văn Ân,chúng tôi đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài: Một số

định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên các không gian

G-mêtric Với đề tài này, chúng tôi sẽ trình bày một cách có hệ thống,các kết quả về các tính chất của không gian G-mêtric và mở rộng một

số định lý về điểm bất động trong không gian G-mêtric cho các ánh xạdưới các điều kiện khác nhau Bố cục luận văn gồm hai chương

Chương 1 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trêncác không gianG-mêtric

Trong chương này, mục 1 dành cho việc giới thiệu một số kiến thứccơ sở cho việc trình bày của luận văn Mục 2 chúng tôi đưa ra hai định

lý điểm bất động đối với các ánh xạ trên các không gianG-mêtric đó làcác Định lý1.2.1 và Định lý1.2.4

Chương 2 Tính chất P và một số định lý điểm bất động đối vớicác ánh xạ trên các không gianG-mêtric đầy đủ

Trong chương này, mục 1 chúng tôi trình bày chi tiết Định lý 2.1.4

và đưa ra Định lý 2.1.9 là các định lý điểm bất động đối với các ánh xạtrên các không gianG-mêtric đầy đủ Mục 2, chúng tôi chứng minh hai

Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những saisót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quí ThầyCô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện

Vinh, ngày tháng 8 năm 2012

Tác giả

R+ ánh xạ G được gọi là một G-mêtric trên X nếu nó thỏa mãn các

điều kiện sau:

Ví dụ sau đây là hiển nhiên

1.1.2 Ví dụ Cho tậpX 6= φ, xét ánh xạG : X ì X ì X → R+cho bởi







0 nếu x = y = z,

1 trong các trường hợp còn lại

Khi đó(X, G) là một không gian G-mêtric

1.1.3 Ví dụ Cho (X, d) là một không gian mêtric thông thường, xét

ánh xạG : X ì X ì X → R+ cho bởi

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} với mọix, y, z ∈ X

Khi đó(X, G)là một không gianG-mêtric Thật vậy, ta kiểm traGthỏamãn các điều kiện của G-mêtric:

(G1) Vìd(x, y), d(y, z), d(x, z), đều là các số thực không âm với mọi

x, y, z ∈ X nên G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ≥ 0 với mọi

x, y, z ∈ X Đẳng thức xảy ra khix = y = z

(G2) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) > 0với mọi

x, y ∈ X mà x 6= y

(G3) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) ≤

≤ max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} = G(x, y, z) với mọi x, y, z ∈ X mà

z 6= y

(G4) Tính chất đối xứng là hiển nhiên

(G5) Với mọix, y, z, a ∈ X ta có

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)}

≤ max{d(x, a) + d(a, y), d(y, z), d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)}

≤ max{d(x, a), d(x, a), d(a, a)} + max{d(a, y), d(a, z), d(y, z)}

= G(x, a, a) + G(a, y, z)

1.1.4 Ví dụ Cho (X, d) là một không gian mêtric thông thường, xét

ánh xạG : X ì X ì X → R+ cho bởi

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó(X, G) là một không gian G-mêtric

Dễ thấy ánh xạ G thỏa mãn các điều kiện (G1),(G2),(G3),(G4) trong

định nghĩa củaG-mêtric Ta kiểm tra điều kiện (G5) Thật vậy, với mọi

x, y, z, a ∈ X, ta có

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)

≤ [d(x, a) + d(a, y) + d(y, z) + d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)]

= [d(x, a) + d(x, a) + d(a, a)] + [d(a, y) + d(y, z) + d(a, z)]

= G(x, a, a) + G(a, y, z)

Vậy(X, G) là một không gianG-mêtric

1.1.5 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) và (X0, G0) là các không gian Gmêtric và ánh xạf : (X, G) → (X0, G0) Ta nói f là G-liên tục tại điểm

-a ∈ X nếu với số ε > 0 cho trước tồn tại một số δ > 0, sao cho với mọi

x, y ∈ X mà G(a, x, y) < δ ta có G(f (a), f (x), f (y)) < ε Hàm f đượcgọi làG-liên tục trên X nếuf làG-liên tục tại mọi điểm a ∈ X

1.1.6 Định nghĩa ([12]) Cho(X, G) là không gian G-mêtric và{xn}làmột dãy các điểm trong X Ta nói dãy {xn} làG-hội tụ tới x ∈ X nếu

lim

n,m→∞G(x, xn, xm) = 0, nghĩa là với số ε > 0 cho trước tồn tại một số

N ∈ N, sao choG(x, xn, xm) < ε với mọin, m ≥ N Lúc đó điểmxđượcgọi là giới hạn của dãy {xn}và viết là xn → x hoặc lim xn = x

1.1.7 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Khi đó cácmệnh đề sau là tương đương

(i) {xn} là G-hội tụ tới x;

-x ∈ X nếu và chỉ nếu nó là G-liên tục theo dãy tại x, nghĩa là với bất

kỳ dãy {xn} là G-hội tụ tới x thì {f (xn)} là G-hội tụ tới f (x)

Chứng minh Giả sử f là G-liên tục tại điểm x ∈ X và dãy {xn}

làG-hội tụ tới x, ta cần chứng minh rằng {f (xn)} là G-hội tụ tới f (x).Thật vậy, vì f là G-liên tục tại điểm x ∈ X nên với số ε > 0 bé tùy ýcho trước tồn tại số δ > 0sao cho với mọi y, z ∈ X mà G(x, y, z) < δ ta

cóG(f (x), f (y), f (z)) < ε Lại vì dãy{xn}là G-hội tụ tới x nên tồn tạimột sốN ∈ Nsao cho G(x, xn, xm) < ε với mọin, m ≥ N Từ đó suy ra

G(f (x), f (xn), f (xm)) < ε với mọi n, m ≥ N Vậy {f (xn)} là G-hội tụtớif (x)

Ngược lại, giả sử rằng nếu{xn}là dãy bất kỳG-hội tụ tớix ∈ Xta có

{f (xn)}là dãyG-hội tụ tớif (x), nhưngf không làG-liên tục tại điểmx.Khi đó tồn tại sốε0 > 0sao cho với mỗin ∈ Ntồn tạixn, yn ∈ X sao cho

0khin → ∞ Nhờ Mệnh đề 1.1.7 (iii) ta suy ra G(f (x), f (x), f (xn)) → 0

vàG(f (x), f (x), f (yn)) → 0khin → ∞ Vì thế lại nhờ Mệnh đề 1.1.7 (ii)

ta suy ra G(f (x), f (xn), f (yn)) → 0 khi n → ∞ Điều này mâu thuẫn.Vậyf làG-liên tục tại điểm x

1.1.9 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Dãy {xn}

gọi làG-Côsi nếu với sốε > 0 cho trước tồn tại một số N ∈ N, sao cho

G(xm, xn, xl) < ε với mọi n, m, l ≥ N, nghĩa là G(xm, xn, xl) → 0, khi

n, m, l → ∞

1.1.10 Mệnh đề ([12]) Cho(X, G)là không gianG-mêtric Khi đó cácmệnh đề sau là tương đương

(i) Dãy{xn} là G-Côsi;

(ii)Với mọi ε > 0, tồn tại một số N ∈ N, sao choG(xn, xm, xm) < ε,với mọi n, m ≥ N

Chứng minh (i)⇒(ii) Vì {xn} làG-Côsi nên với số ε > 0cho trướctồn tại một sốN ∈ N, sao choG(x , x , x ) < εvới mọin, m, l ≥ N Mặt

BG(x0, r) = {y ∈ X : G(x0, y, y) < r}.

Họ tất cả cácG-hình cầu tạo thành một cơ sở tôpô τ (G) trên X Ta gọi

τ (G)làtôpô G-mêtric

1.1.12 Định nghĩa ([12]) Không gianG-mêtric(X, G)gọi là không gian

G-mêtric đối xứng nếuG(x, y, y) = G(y, x, x) với mọi x, y ∈ X

1.1.13 Mệnh đề ([12]) Mỗi không gianG-mêtric(X, G) đều xác địnhmột không gian mêtric (X, dG) với mêtric dG xác định bởi công thức

dG(x, y) = G(x, y, y) + G(y, x, x)với mọix, y ∈ X Nếu(X, G)là khônggian G-mêtric đối xứng, thì dG(x, y) = 2G(x, y, y) với mọi x, y ∈ X.Tuy nhiên nếu (X, G) không đối xứng, thì nhờ các tính chất củakhông gian G-mêtric ta có 3

(ii) Vì y ∈ BG(x0, r), nên G(x0, y, y) < r Đặt δ = r − G(x0, y, y) thì

δ > 0 Ta sẽ chứng minh rằng BG(y, δ) ⊆ BG(x0, r) Thật vậy, lấy bất

kỳz ∈ BG(y, δ), ta có G(y, z, z) < δ = r − G(x0, y, y) suy raG(y, z, z) +G(x0, y, y) < r.Mặt khácG(x0, z, z) ≤ G(y, z, z)+G(x0, y, y) < r Suy ra

z ∈ BG(x0, r) Điều này chứng tỏ tồn tại δ > 0để BG(y, δ) ⊆ BG(x0, r)



1.1.16 Định nghĩa ([3]) Cho(X, d)là không gian mêtric vàT : (X, d) →(X, d) Ký hiệu O(x, ∞) = {x, T x, T2x, T3x, } Không gian X đượcgọi là đầy đủT-quỹ đạo nếu mỗi dãy Côsi{xn} ⊂ O(x, ∞)với xthuộc

X đều hội tụ về điểm thuộc X

1.1.17 Định lý ([3]) Cho T là một tự ánh xạ của không gian mêtric

(X, d)sao cho X là đầy đủ T-quỹ đạo Giả sử rằngT thỏa mãn

d(T x, T y) ≤ k max{d(x, y), d(x, T x), d(y, T y), d(x, T y), d(y, T x)},

vớik là một số thực thỏa mãn0 ≤ k < 1 Khi đó ánh xạ T có duy nhất

điểm bất động u ∈ X Ngoài ra, với mỗi x ∈ X ta có lim Tnx = u và

(A3) tồn tại x ∈ X sao cho dãy {Tnx} có dãy con {Tn ix} là G-hội

tụ tớiu

Khi đó ánh xạT có duy nhất điểm bất động là u (kí hiệu T u = u).Chứng minh VìT làG-liên tục tạiuvà{Tn ix}làG-hội tụ tớiu, nêntheo Mệnh đề 1.1.8 ta có dãy{T (Tn ix)}làG-hội tụ tớiT u hay{Tn i +1x}

làG-hội tụ tớiT u Giả sửT u 6= u, khi đóG(u, T u, T u) > 0 Vì{Tnix}là

G-hội tụ tới u và {Tn i +1x} làG-hội tụ tới T u, nên vớiε = G(u, T u, T u)

Cho l → ∞, vì 0 < k < 1 nên từ bất đẳng thức trên cho ta kết quả

G(Tnlx, Tnl +1x, Tnl +1x) ≤ 0, điều này mâu thuẫn với (1.2.1) Vậy vớimọin ∈ N ta đều cóT u = u

Tiếp theo ta sẽ chứng minh tính duy nhất củau Giả sử cóv ∈ X saochoT v = v Sử dụng(A1)ta có G(u, v, v) ≤ k max{G(u, v, v); 0; 0; 0} Vì

0 < k < 1nên G(u, v, v) = 0 Lại nhờ điều kiện (G2) trong định nghĩa

G-mêtric suy ra u = v là điểm bất động duy nhất của T 

Từ định lý trên ta trực tiếp suy ra các hệ quả sau

1.2.2 Hệ quả (Theorem 2.1 [14]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric

vàT : X → X là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(A1).G(T x, T y, T z) ≤ aG(x, T x, T x)+bG(y, T y, T y)+cG(z, T z, T z),

với mọi x, y, z ∈ X và a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 0 <

a + b + c < 1

(A2).T là G-liên tục tại u ∈ X,

(A3) tồn tại x ∈ X sao cho dãy {Tnx} có dãy con {Tnix} là G-hội

tụ tớiu

Khi đó ánh xạT có duy nhất điểm bất động là u, nghĩa là T u = u.Chứng minh Với mọi x, y, z ∈ X và a, b, c là các số thực không âmthỏa mãn0 < a + b + c < 1ta có

G(T x, T y, T z) ≤ aG(x, T x, T x) + bG(y, T y, T y) + cG(z, T z, T z) ≤

≤ (a + b + c) max{G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

≤ (a+b+c) max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

= k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)},

với0 < k = a + b + c < 1 Vậy theo Định lý 1.2.1 ánh xạ T có duy nhất

Ví dụ sau đây chỉ ra rằng Định lý 1.2.1 của chúng tôi là thực sự mạnhhơn Hệ quả 1.2.2

1.2.3 Ví dụ Xét tậpX = [0; 1)và các ánh xạG : X ì X ì X → R+, chobởiG(x, y, z) = |x − y| + |y − z| + |z − x|, với mọix, y, z ∈ X,T : X → X,cho bởiT (x) = 4

5xvới mọi x ∈ X.Khi đó dễ dàng kiểm tra rằng Gthỏa mãn các điều kiện (G1),(G2),(G3),(G4) của G-mêtric Bây giờ ta kiểm tra điều kiện (G5) Với bất kỳ

Vậy (X, G) là một không gianG-mêtric.

Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng(X, G)không phải là không gianG-mêtric

đầy đủ Thật vậy, ta xét dãy{xn}với xn = 1 − 1

m|} → 0, khi m, n → ∞, nên {xn} là dãy G-hội tụ về

1, nhưng 1 /∈ X, nên {xn} không G-hội tụ trong X Vậy (X, G) khôngphải là không gianG-mêtric đầy đủ

Tiếp theo ta chứng minh rằngT thỏa mãn Định lý 1.2.1 nhưng khôngthỏa mãn Hệ quả 1.2.2 Thật vậy với mọi x, y, z ∈ X ta có G(x, y, z) =|x−y | + | y −z | + | z −x |vàG(x, T x, T x) =| x−T x | + | T x−T x | + |

T x − x | = 2

5x Tương tự ta có G(y, T y, T y) = 2

5y vàG(z, T z, T z) = 2

5z.Vì thế với mọix, y, z ∈ X ta có

10 nên T thỏa mãn điều kiện (A1) Định lý 1.2.1 Bây giờ ta chỉ

T thỏa mãn điều kiện(A2)Định lý 1.2.1 Thật vậy, với mỗi sốε > 0 chotrước tồn tại sốδ = ε sao cho G(0, y, z) = |0 − y| + |y − z| + |0 − z| < δ

nênT làG-liên tục tại điểm0 ∈ X, hayT thỏa mãn điều kiện(A2)trong

Bây giờ ta chỉ ra rằng T không thỏa mãn Hệ quả 1.2.2 Muốn vậy tachỉ ra rằng T không thỏa mãn điều kiện (A1) trong Hệ quả 1.2.2 Với

x, y, z ∈ X, không mất tính tổng quát ta giả thiết rằng x ≥ y ≥ z, khi

≤ (a + b + c) max{G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)},

với mọi x, y, z ∈ X và a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 0 <

a + b + c < 1 Kết hợp với (a) và (b) ta có 8

5(x − z) ≤ (a + b + c)

2

5x ⇔4x − 4z ≤ (a + b + c)x Vì thế nếu ta chọn x > y > z = 3

4x, thì ta có

(a + b + c) ≥ 1 Điều này dẫn đến mâu thuẫn Vậy điều kiện(A1)trong

Hệ quả 1.2.2 không thỏa mãn với mọix, y, z ∈ X vàa, b, clà các số thựckhông âm thỏa mãn0 < a + b + c < 1

1.2.4 Định lý Cho (X, G) là không gian G-mêtric và T : X → X làmột ánh xạG-liên tục thỏa mãn các điều kiện sau:

(B1) G(T x, T y, T z) ≤

≤ k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

với mọi x, y, z ∈ M, trong đó M là tập con trù mật khắp nơi của X

(theo tôpô sinh bởi G-mêtric) và 0 < k < 1

2,

(B2) tồn tại x ∈ X sao cho dãy {Tnx} → x0

Khi đóx0 là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T nghĩa là T x0 = x0.Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng với các giả thiết của

Định lý 1.2.4, ánh xạT thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.1 Muốnvậy từ giả thiếtT : X → X là một ánh xạ G-liên tục, nhờ các điều kiện

(B1) và (B2) ta chỉ cần chứng minh rằng

G(T x, T y, T z) ≤

≤ k0max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)},

với mọi x, y, z ∈ X, trong đó0 < k0 < 1

Thật vậy, lấy bất kỳx, y, z ∈ X, khi đó vìM = X nên tồn tại các dãy

{xn}, {yn}, {zn} trong M sao cho xn → x, yn → y và zn → z Từ điềukiện(G5) trong định nghĩa của G-mêtric ta có

G(yn, T yn, T yn) ≤ G(yn, y, y) + G(y, T yn, T yn)

Vì T là ánh xạ G-liên tục và yn → y, zn → z nên theo Mệnh đề 1.1.8

ta có T yn → T y, T zn → T z Mặt khác theo Mệnh đề 1.1.7 từ yn →

y, zn → z, T yn → T yvà T zn → T z ta cóG(yn, y, y) → 0, G(zn, z, z) → 0,G(T y, T yn, T yn) → 0 và G(T z, T zn, T zn) → 0 khi n → ∞ Vì vậy lấygiới hạn hai vế của (1.2.9) khin → ∞ta có

G(T z, T y, T y) ≤ k max{G(x, y, z), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)} (1.2.10)

Vì yn, xn ∈ M với mọi n ∈ Nnên lập luận tương tự quá trình trên tacó

G(T x, T y, T y) ≤ k max{G(x, y, z), G(y, T y, T y), G(x, T x, T x)} (1.2.11)

Từ (1.2.2), (1.2.10) và (1.2.11) ta có

G(T x, T y, T z) ≤ G(T x, T y, T y) + G(T z, T y, T y) ≤

≤ k max{G(x, y, z), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}+

+k max{G(x, y, z), G(y, T y, T y), G(x, T x, T x)}

= 2k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

Từ đó ta suy ra

G(T x, T y, T z) ≤

≤ 2k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)},

với mọix, y, z ∈ X và0 < k0 = 2k < 1 Vì thế nên theo Định lý 1.2.1 thì

x0 là điểm bất động duy nhất của T

Từ Định lý trên ta trực tiếp suy ra hệ quả sau

1.2.5 Hệ quả (Theorem 2.5 [14]) Cho(X, G) là không gianG-mêtric

vàT : X → X là một ánh xạ G-liên tục thỏa mãn các điều kiện sau:

(C1) G(T x, T y, T z) ≤ k{G(x, T x, T x)+G(y, T y, T y)+G(z, T z, T z)}

với mọix, y, z ∈ M, trong đóM là tập con trù mật khắp nơi củaX(theotôpô sinh bởi G-mêtric) và 0 < k < 1

6,

(C2) tồn tại x ∈ X sao cho dãy {Tnx} → x0

Khi đóx0 là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T nghĩa là T x0 = x0.Chứng minh Với bất kỳ x, y, z ∈ M và 0 < k < 1

6 ta có

G(T x, T y, T z) ≤ k{G(x, T x, T x) + G(y, T y, T y) + G(z, T z, T z)}

≤ 3k max{G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

≤ 3k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)}

5x với mọi x ∈ X Khi đó ta dễ dàng kiểm tra rằng

Gthỏa mãn các điều kiện (G1),(G2),(G3),(G4) củaG-mêtric Bây giờ takiểm tra điều kiện (G5) Với bất kỳx, y, z, a ∈ X, ta có

G(x, y, z) =| x − y | + | y − z | + | z − x |

=| x − a + a − y | + | y − z | + | z − a + a − x |

Đầu tiên ta chứng minh T là G-liên tục trên X Thật vậy, với bất

kỳa ∈ X và với mỗi số ε > 0 cho trước ta chọn δ = ε Khi đó với mọi

Tiếp theo ta chứng minh rằngT thỏa mãn điều kiệnB1 trong Định

lý 1.2.4 Thật vậy với mọix, y, z ∈ M ta cóG(x, y, z) =| x−y | + | y−z |+ | z − x |vàG(x, T x, T x) =| x − T x | + | T x − T x | + | T x − x |= 6

5x.Tương tự ta có G(y, T y, T y) = 6

nên T thỏa mãn điều kiện (B2) trong Định lý 1.2.4 Vì vậy sử dụng

Định lý 1.2.4 suy rax = 0 là điểm bất động duy nhất của T

B©y giê ta chØ ra r»ng T kh«ng tháa m·n HÖ qu¶ 1.2.5 Muèn vËy

ta chØ ra r»ng T kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (C1) cña HÖ qu¶ 1.2.5.LÊy bÊt kú x, y, z ∈ M Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ thiÕt r»ng

6 KÕt hîp víi (c) vµ (d) ta cã 4

5(x − z) ≤3k6

chương 2

đối với các ánh xạ trên các không gian

2.1.2 Mệnh đề ([12]) Không gian G-mêtric (X, G) là G-đầy đủ nếu

và chỉ nếu(X, dG) là không gian mêtric đầy đủ

2.1.3 Định lý (Theorem 2.2 [15]) Cho (X, G) là không gianG-mêtric

đầy đủ và T : X → X là một ánh xạ thỏa mãn một trong hai điềukiện sau:

G(T x, T y, T z) ≤

≤ k max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)} (2.1.1)

hoặc

G(T x, T y, T z) ≤

≤ k max{G(x, y, z), G(x, x, T x), G(y, y, T y), G(z, z, T z)}, (2.1.2)

với mọi x, y, z ∈ X và k là một số thực thỏa mãn 0 ≤ k < 1 Khi đó

ánh xạ T có duy nhất điểm bất động u ∈ X và T là G-liên tục tại u.Chứng minh Giả sử T thỏa mãn (2.1.1) Khi đó với mọix, y ∈ X tacó

G(T x, T y, T y) ≤ k max{G(x, y, y), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y)} (2.1.3)

Giả sử(X, G) là đối xứng, theo Mệnh đề 1.1.13,dG(x, y) được xác địnhbởi công thứcdG(x, y) = 2G(x, y, y)là một mêtric trênX, thay vào (2.1.3)

và nhân 2 vào hai vế ta có

dG(T x, T y) ≤ k max{dG(x, y), dG(x, T x), dG(y, T y)}

Nhờ Định lý 1.1.17, suy raT có duy nhất điểm bất độngu ∈ X

Bây giờ giả sử (X, G) là không đối xứng Lúc đó ta xác định dãy

{xn}cho bởixn = Tnx0 với mọi số tự nhiênn ≥ 1 Không mất tính tổngquát, ta giả thiết rằngxn 6= xn+1 với mọin Thật vậy, nếu tồn tạiN ∈ N

sao choxN = xN +1, thìxN = xN +1 = T xN và xN là điểm bất động của

tụ tớiu Ta sẽ chứng minh rằng T u = u Thật vậy, từ (2.1.1) ta có

G(xn, T u, T u) ≤ k max{G(xn−1, u, u), G(xn−1, xn, xn), G(u, T u, T u)}

Lấy giới hạn hai vế khin → ∞ ta được G(u, T u, T u) ≤ kG(u, T u, T u)

Do0 ≤ k < 1, nên từ bất đẳng thức trên ta có G(u, T u, T u) = 0 Vì thế

từ điều kiện(G2) trong định nghĩa của G-mêtric suy rau = T u

Bây giờ ta sẽ chứng minh tính duy nhất của u Giả sử có v ∈ X saochoT v = v Từ (2.1.1) ta có

G(u, v, v) ≤ k max{G(u, v, v), G(u, T u, T u), G(v, T v, T v)} = kG(u, v, v)

Vì 0 ≤ k < 1, nên từ bất đẳng thức này ta suy ra G(u, v, v) = 0 Điềunày kéo theou = v và ulà điểm bất động duy nhất của T.

Tiếp theo ta chứng minhT làG-liên tục tạiu Thật vậy, giả sử{yn} ⊂

X và yn → u khi n → ∞ Khi đó nhờ (2.1.1) ta có

G(u, T yn, T yn) ≤ k max{G(u, yn, yn), G(u, T u, T u), G(yn, T yn, T yn)}

(2.1.5)

Từ điều kiện (G5) trong định nghĩa của G-mêtric ta nhận được

G(yn, T yn, T yn) ≤ G(yn, u, u) + G(u, T yn, T yn)

Bây giờ giả sử T thỏa mãn điều kiện (2.1.2) Khi đó ta xác định dãy

{xn} cho bởi xn = Tnx0 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 Lập luận tương tựtrên, nhờ điều kiện (2.1.2) và0 ≤ k < 1ta có

G(xn, xn, xn+1) ≤

≤ k max{G(xn−1, xn−1, xn), G(xn−1, xn−1, xn), G(xn, xn, xn+1)}

= k max{G(xn−1, xn−1, xn), G(xn, xn, xn+1)} = kG(xn−1, xn−1, xn)

Suy ra G(xn, xn, xn+1) ≤ kG(xn−1, xn−1, xn) ≤ ≤ knG(x0, x0, x1) Vớimọim, n ∈ N mà m > n, bằng cách sử dụng điều kiện (G5) trong địnhnghĩa củaG-mêtric ta có