phuong phap giai toan giai tich to hop va xac suat (nxb dai hoc quoc gia 2011) ha van chuong 247 trang

Hai nti dé Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VA XÁC SUẤT” là một phân của “ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các dé thi Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học

PHUONG PHAP GIAI TOAN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Hai nti dé

Môn “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VA XÁC SUẤT” là một phân của

“ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH” lớp 11 và có trong cấu trúc các dé thi

Toán vào Cao đẳng và Đại học, là một mảng toán khó, nhiều học

sinh không phân biệt được khi nào dùng “tổ hợp” khi nào dùng

“chỉnh hợp”, không giải được các bài toán về “nhị thức Newton”

Về phần xác suất, học sinh cũng vấp phải các bài toán về tính xác suất các biến cố, biến cố có điều kiện nhất là các câu trong đề thi

Cao đẳng và Đại học Qua nhiều năm giảng dạy ở THPT và Luyện

thi Đại học Chúng tôi viết cuốn sách “GIẢI TÍCH TỔ HỢP VÀ

XÁC SUẤT” này nhằm giúp các em có một hệ thống bài tập từ

thấp đến cao, giúp các học sinh phân biệt khi nào dùng “tổ hợp”,

khi nào dùng “chỉnh hợp” Tính xác suất các biến cố, một cách hệ thống để học sinh rèn luyện kĩ năng giải toán

Mặc dù đã cố gắng biên soạn, song khó tránh khỏi những

thiếu sót Rất mong sự góp ý của các em học sinh và độc giả, để

lần tái bản sau sách được hoàn thiện hơn Rất cảm ơn

Tác giả

Hà Văn Chương

GIAI TICH TO HOP

Một hành động H gồm có các hành động liên tiếp A, B, C và nếu có

m cách thực hiện A, n cách thực hiện B, p cách thực hiện C, thì ta

có m xn x p cách thực hiện H

Quy tắc cộng

Một hành động H gồm có hoặc là hành động A, hoặc là hành động B, hoặc là hành động C và nếu có m cách thực hiện A, n là cách thực hiện B, p cách thực hiện C thì ta có m + n + p cách thực hiện H

~ (a—b)" = Cea® -Cla® 'b+ +(-D*CKa® Kb* + + (-D)" Ch b"

"

> (-1)* cha" kpk k=0

— Tam gidc Pascal :

Mỗi cách xếp đặt k phần tử được lấy từ một tập hợp có n phần tử

(0 <k<n;k,ne Z2”) được gọi là một chỉnh hợp n chập k phần tử

Mỗi cách xếp đặt n phần tử của một tập hợp có n phần tứ, theo một

thứ tự nhất định được gọi là một hoán vị n phần tử

CAC DAU HIEU CHIA HET

Số chia hết cho 6 : số chia hết cho 3 và chia hết cho 38

Số chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành chữ

- Giả sử bài toán đúng với n = k(k e Z,k>3), tức là ta có :k!>2h} (1)

— Ta chứng minh bài toán đúng khi n = k + 1, nghĩa là chứng minh

(k + 1)! > 2,

Nhân hai vế của (1) cho (k+ 1), ta có: kk+1)> 2È! (2

1 QUY TAC NHAN

10 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm

năm chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5 ?

Giải

Goi n =a,a,a,a,a, 1a so can lap Co hai truéng hop :

— Nếu ai = 5 thì ta có 1 cach chon a,

6 cách chọn a;

5 cách chọn a;

4 cách chọn ay _8 cach chon a,

Trường hợp này ta có : 1x6x5x4>x3= 360 số

~ Nếu a; #5 : Có bốn vị trí chữ số 5 trong n ứng với một vị trí của 5 ta

c6 chang han n = a,5a3a,a,

Giải

Xét một hdc co 8 6 trong [| | |

Có 7 cách lấy chữ số 0 bo vào hộc tdo a, # 0)

Có 7 cách lấy chữ số 2 bó vào hộc do còn 7 hoc trống

Có 6 cách lấy chữ sô 3 bỏ vào hộc do con 6 hoc trống

€ó 5 cách lấy chữ số 4 bo vào hộc do còn 5 hoc trống

13 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau (chú ý chữ số đầu

tiên không được bằng 0)

a) Bắt đầu bởi chữ số ð b) Bất đầu bởi chữ số 1

Goi n = aia¿a;a¿a; là sô cần lập

Taco: 4 cach chon a, (vi a, z1)

4 cach chon ay (vi a, # at)

Giai Gọi n = a¡a¿a;a¿a; là số cần lập

Vì n chăn, nên a; chăn = a; c 10, 2, 4] Có hai trường hợp :

Nếu a; z 0 thì ta có 2 cach chon a;

° 3 cach chon a, (vi a, # 0, a; # as)

16 Một tuyến đường xe lứa có 10 nhà ga Hỏi có bao nhiêu cách chọn một

cuộc hành trình bắt đầu ở một ga và chấm dứt ở một ga khác Biết

rằng từ ga nào cũng có thê đi tới bất kì nhà ga khác

Bước 1 : Tính số các số n có bốn chữ số (không chú ý đến điều kiện không có chữ số nào lặp lại đúng ba lần)

Trường hợp 1 : Ta có 9 cách chon a, (a, # 0, a¡ lặp lại ba lần)

Chon a, = a; = a), c6 1 cach chon ©

Chon a, # a), 9 cách chọn Vậy ta có : 9 x 9 = 81 cách

Trường hợp 2 : Chon a; # 0, có 9 cách

Chon a, = a; = a4, c6 1 cach (a, lap lai 3 lần)

Chọn a¿, có 9 cách (vi a, # ay)

Vậy ta có : 9 x 9 = 81 cách

Trường hợp 3 : Chọn ai # 0, có 9 cách

Chon a; = a¿ = ai, có 1 cách (a; lặp lại 3 lần)

Chọn a; z a;, có 9 cách Vậy ta có : 9 x 9 = 81 cách

Do đó số các số n thỏa màn yêu cầu bài toán là : 9000 — 324 = 8676 số

19 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3 4 có thê lập được bao nhiêu số có bảy chỉ

Có 4 cách chọn cho mỗi ngày

Vậy số cách chọn 6 ngày trong tuần là :

4x4x4x4x4x4=4'°= 4096 cách

21 Người ta viết ngẫu nhiên các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu

sau đó xếp ngầu nhiên thành một hàng

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được tạo thành ?

b)_ Có bao nhiêu số chắn gồm 6 chữ số được tạo thành ?

, Đề thị tuyển sinh oào ĐH Huế - 1996

Giải

a) Gọi n = aia›asa¿asas là số cần lập

Vinle >a lé > a € {1, 3, 5}.

Trong một tuần lễ, bạn A dự định mỗi đêm đi thăm người bạn trong

12 người bạn của mình Hỏi A có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu :

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Dém thứ hai chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đâm thứ bảy chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Vậy bạn A có : 12” = 35831808 cách

Đêm thứ nhất chọn 1 trong 12 người bạn để thăm, có 12 cách

Đâm thứ hai chọn 1 trong 11 người bạn để thăm, có 11 cách

Đêm thứ bảy chọn 1 trong 6 người bạn để thăm, có 6 cách

Cho các số 1, 2, 5, 7, 8 Có bao nhiêu cách lập ra một số gồm ba chữ số

khác nhau từ năm chữ số đã cho, sao cho :

+ Nếu a› = 7, có 1 cách chọn a„

26 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm tám

chử sô, trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần

thoa yêu cầu bài toán

27 Cho chín chữ số 1, 1, 1, 1,1,2, 3, 4,5 Lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm sáu chữ số, được rút ra từ chín chữ số nói trên

28 Một tổ gồm 7 hoc sinh nữ và ð học sinh nam, cần chọn ra 6 học sinh

trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau ?

Bao nhiêu số tự nhiên chắn, gồm năm chữ số khác nhau ?

Cho các chữ số 1, 2, 3, 4 5 6, 7 Tìm các số tự nhiên gồm năm chữ số

lấy từ bảy chữ số trên sao cho :

Chữ số đầu tiên là 3 b) Không tận cùng bằng chữ số 4

b) Số các số tự nhiên có năm chữ số lấy từ bảy chữ số cho trên :

m'{n -m)! — m(m — 1)!(n - m)!

20

21

Do dé: Ck, =Ch.g +C802 = (Chay + Cyst) + (Cat + Cn 7) n+3 n+

Dat u, = Cy, C5,., voi k thay đổi từ 0 đến m: ke N

Ta chứng minh day (u,) giảm

_ clos

~ ĐÔ]

2

Thật vậy ta chỉ cần chứng minh Chi < Choo

Voi k = 0 1, 2 1999 ta co bât đăng thức cần chứng mình tương đương

Dang thuc xay ra <> k = 999 hay k = 1000

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có + Choy, + Coy <= ChR00 4 C}0e

a' +b" > 1 an 1 Giai

49 Gọi n là một số nguyên dương cé dinh, ching minh rang C* l6n nhất

+1

nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá °

Dé thị tuyển sinh uào trường ĐH Vinh - khối A, B - 2001

!{4 — xì)! "(5 — x)! !{6 — x)I (Ne x!(4 — x)! _ x!(5 — x)! _ x!(6 — x)!

! 5! 6!

© (4 - x)l _ (5 — x)(4-x)! _ (6 — x)(5 — x)(4 - x)!

4! 5.4! 6.5.4!

28

(1) CỊ +CX '+C} “+ .+CY 19 = 1024 (vì Cš =1)

© C? +C}) +CƑ + +C!? = 1024

Nhận xét rằng : C¡ạ + Co + C?c + + C]) = 219 = 1024

Suy ra x = 10

55 Dinh x va y sao cho CY,, x+1 :C¥*) : CY} =6:5:2

58 Một tổ học sinh gồm 7 nam và 4 nữ Giáo viên muốn chọn 3 học sinh

để xếp bàn ghế của lớp, trong đó có ít nhất 1 nam sinh Hỏi có bao

nhiêu cách chọn ?

Đề thị tuyến sinh uào trường CĐ Hỏi quan - 2000

Giải

Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là Cƒ, = 495 cách

Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh được tính như sau :

+ Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp có 1 học sinh là :

Đề thì tuyển sinh ào ĐH Y Hà Nội - 2000 Giải

Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là C}C4 =12 cach

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó ?

b) Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5ð người đó

Đề thị tuyển sinh uào ĐH Thái Nguyên - khối A, B - 2000

- Số cách chọn 6 học sinh bất kì nam, nữ trong 15 học sinh, có CỆ

- Số cách chọn 6 học sinh toàn là nam, có Ca

— Số cách chọn 6 học sinh có 5 nam, 1 nữ, có Cặo Cis

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó phải có ít nhất 2 nữ là :

C8.(C$o + C39-Ci,) = 5413695 cach

63 Cho tập X có 10 phần tử khác nhau Tìm số tập con khác rỗng chứa

Số tập con của X có 2 phần tử là C?a, số tập con của X có 4 phần tử là

Cịc, số tập con của X có 10 phần tử là Co

Vậy số tập con thỏa yêu cầu bài toán là C2) + Ci) + C8, +08 + Cig =S

Xét (1- x)””= Cïa - Ca + Co + + Ciox'?

64 Có hai đường thang song song (d,) va (dy) Trén (d,) lay 15 diém phan

biệt, trên (d,) lấy 9 điểm phân biệt Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm ấy

Giải

Có hai loại tam giác tạo thành :

a) Tam giác có 1 đỉnh trên (d¡) và 2 đỉnh trên (d›)

Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên (d,), có Cỗ cách lấy 2 đỉnh trên (dạ)

Vậy ta có : 15C = 540 tam giác

b) Tam giác có 2 đỉnh trên (d,) va 1 dinh trên (d;)

Có Cỷ, cách lấy 2 đỉnh trên (d;), 9 cách lấy 1 đỉnh trên (d;)

Vậy ta có : 9C?; = 945 tam giác

Theo quy tắc cộng, ta có : 540 + 945 = 1485 tam giác

65 Một chỉ đoàn có 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chon ra một tổ

công tác có 5 ngườ, Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất

1 nữ

Đề thị tuyến sinh uào trường ĐH Y Hà Nội - 1998

Giải

Số cách chọn 5ð đoàn viên bất kì là Cặ,

Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là Cu

Vậy số cách chọn 5 đoàn viên có ít nhất 1 nữ là :

C3, - C8, = 20 _ 1P” _ 1z25 cách, 5!15! B15!

66 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chọn ra một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và

2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Đề thị tuyển sinh uào trường CĐSP Hà Nội - 1999

33

có bao nhiêu cách phân công

Dé thi tuyến sinh uào Học uiện Quân sự - 2000

Giải

Số cách phân công 3 người tại điểm A : Cả

Số cách phân công 2 người tại điểm B : C2

Số cách phân công 4 người còn lại : 1

Vậy số cách phân công là : Cả C2 = 1260 cach

68 Lớp học có 4 nữ, 10 nam Cần chia lớp thành hai tổ mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam Hỏi có mấy cách chia

Giải Chọn 2 trong 4 nữ, có C2 cách

Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, có C3, cach

Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia

Vay tac6: C2.03, = AL AO _ g.2.10-98-76 _ 1519 cach, 10 F Dior BIB! 2.3.4.5

69 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác

cần chọn 1 ki sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công

nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác

-_ Đề thi tuyển sinh uào trường ĐH Kiến trúc Hà Nội - 1998

71 Cho đa giác lồi n cạnh

a) Tìm số đường chéo của đa giác này

b) Tìm số tam giác có đỉnh là đỉnh của n giác

c) Tim số giao điểm của các đường chéo Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy

Giải

a) Cứ nối hai đỉnh của tam giác thì ta có 1 đường chéo hoặc 1 cạnh của n

giác Do đó tổng các đường chéo là Cả

` +" ca 2 : \ n! n(n - 3

Suy ra số đường chéo của n giác là : C; -n =—— -ne= n(n ~ 3)

2!(n - 2)! 2

b) Số tam giác tìm được là Cả

c) Cứ một đỉnh từ n đỉnh của n giác, tạo thành một tứ giác lôi nên có

một giao điểm của hai đường chéo

Vậy số giao điểm của các đường chéo của đa giác là Cứ

72 Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trang, 5 vién bi vang Chon ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong

số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu

Dé thì tuyển sinh cào trường ĐHDL Văn Hiến + Hồng Bàng - bhối A - 2000

35

Gidi

Để 4 viên bi lấy ra không đủ ba màu, có các trường hợp sau :

Cả 4 viên đều vàng, ta có Cš = 5 cách chọn

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc trắng, ta có Cả = 5 cách

Trong 4 viên bi chỉ có đỏ hoặc vàng, ta có C4 = 35 cach

Trong 4 viên bi chỉ có trắng hoặc vàng, ta có Cg = 70 cach

Vậy số cách chọn theo yêu câu bài toán là : 5 + 5 + 35 + 70 = 115 cách

a) Có bao nhiêu tập hợp con của A ?

b) Có bao nhiêu tập con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chăn ?

Dé thi tuyén sinh uào trường ĐHSP TP.HCM - 2001

74 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có 3 để kiểm tra khác nhau Cần

chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra Hỏi có mấy cách chọn

phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A

Tìm k e {1, 2, , n} sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất

Đề thi ĐHQG - khối B - 2006

Giai

Số tập con có k phần tử của A bang CK

Ti gia thiét suy ra: C4 = 20C? n”- 5n - 234 =0

nén Cig < Cig < < Cig = Cig > Cig > - > Cis

Vậy, số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9

76 Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn ra 4 học sinh để dự đại hội học sinh ưu

tú toàn quốc Có mấy cách chọn :

Tùy ý

b: Sao cho hai học sinh A và B không cùng đi

c- Sao cho hai học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi

c' Nếu A và B cùng đi, có Cỉc = 45 cach

Nếu A và B cùng không đi, ta có Cƒcy = 210 cách

Vậy ta có : 45 + 210 = 255 cách

77 Cô A có 11 người bạn thân, trong đó có 6 nữ Cô ta định mời ít nhất 3

người trong 11 người đó đến dự tiệc Hỏi :

a' Có mấy cách mời ?

b Có mấy cách mời để trong buổi tiệc gồm cô A và các khách mời, số am

Giải a' Mời 3 trong 11 người, có Cỷ, cách

Mời 4 trong 11 người, có C‡¡ cách

Tương tự cho khi mời 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, trong 11 người Vậy ta có :

37

b)

C3, + C4, + 4 CH = (CP, +Ch + +C}}) - (Cp) + Cj, + C2)

= 2!! ~(1+ 11+ 55) = 1981 cách

Mời 1 nữ trong 6 nữ, 2 nam trong 5 nam, ta có C¿CZ cách

Mời 2 nữ trong 6 nữ, 3 nam trong 5 nam, ta có CáC; cách

Mời 3 nữ trong 6 nữ, 4 nam trong 5 nam, ta có CC? cách

Mời 4 nữ trong 6 nữ, 5 nam trong 5 nam, ta có CC; cách

-78 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu

a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý ? `

b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc ?

e) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu cuối ?

Giải

a) Chọn tùy ý trong 10 câu ta có CŸ, = 45 cách chọn

b) Vì có 3 câu đầu bắt buộc, nên phải chọn thêm 3 câu trong 7 câu đầu còn

lại, ta có C? = 21 cach

c) Chon 4 trong 5 câu dau, cé C3 cach

Tiép theo, chon 4 trong 5 cau sau cé C3 cach

Vậy theo quy tắc nhân ta có : CC? = 2B cách

79 Có 12 học sinh ưu tú của một trường trung học Muốn chọn ra một đoàn

đại biểu gồm 5 người (gồm một trưởng đoàn, một thư kí và ba thành

viên) đi dự trại hè quốc tế Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Có giải thích

Đề thị tuyển sinh uào ĐHQG TP.HCM - 1997 Giải

- Số cách chọn 1 trưởng đoàn : 12 cách

— Số cách chọn 1 thư kí : 11 cách

— Số cách chọn 3 thành viên : Cỷ, = 120 cách

-Vậy số cách chọn đoàn đại biểu : 12 x 11 x 120 = 15840 cách

80 Một tập thể có 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình

38

Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người Tìm số cách chọn

trong mỗi trường hợp sau :

a) Trong tô phải có mặt tất ca nam lẫn nữ ?

b) Trong tổ phải có 1 tổ trưởng, 5 tô viên, hơn nữa An và Bình khôn;

b) Chọn tùy ý 6 người trong 14 người, ta có Cf, = 3003 cach

Chọn An và Bình rồi chọn thêm 4 học sinh trong 12 học sinh còn lại

ta có Cƒ, cách

Vậy số cách chọn 6 học sinh trong đó An và Bình không đồng thời cc

mat la Cÿ, - Cí,

Với 6 học sinh đã chọn xong, ta có 6 cách chọn ra 1 tô trưởng

Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là :

6(Cÿ, - Cj,) = 15048 cách

81 Cho tập A có n phần tu, n > 7 Tim n biết rằng số tập con gồm 7 phầi

tử cua A bang hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tap A

Đề dự bị khối A 200«

Giái Với điều kiện n e Nvàn >7 Ta có :