Phương trình vi phân (lý thuyết)

Khi giải quyết các bài toán thực tế, ngƣời ta không quan tâm việc có tìm hết các nghiệm của phƣơng trình hay không mà chỉ cần xác định đƣợc một nghiệm thỏa mãn giá trị ban đầu của quá [r]

Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN (DIFFERENTIAL EQUATIONS)

6.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TỔNG QUÁT (GENERAL DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Khi nghiên cứu Vật lí, Sinh học, Hóa học, Kinh tế, Kỹ thuật, Xã hội học… ta gặp các bài toán biến đổi các quá trình mà hầu hết các quá trình tự nhiên này đều tuân thủ theo một quy luật nào đó được

mô tả bởi các phương trình có chứa cả hàm số và đạo hàm của nó Chẳng hạn, xét một quần thể mà giả sử tốc độ sinh trưởng của nó tỉ lệ với kích cỡ của quần thể (ví dụ quần thể vi khuẩn trong điều

kiện sống lí tưởng) Gọi P(t) là số cá thể trong quần thể đang xét ở thời điểm t, khi đó tốc độ sinh

trưởng của quần thể là

dt

dP

Theo giả thiết ta có:

dP  

kP k const

* Phương trình vi phân là phương trình hàm có chứa một hàm số chưa biết và một hay nhiều đạo hàm của hàm số đó

* Cấp (order) của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm có trong phương trình

* Nghiệm (solution) của phương trình vi phân là hàm số y f x  thỏa mãn phương trình

* Nghiệm tổng quát (general solution) của phương trình vi phân là hàm số có tham số y f x C , 

sao cho với mỗi giá trị cụ thể C0 của tham số C thì hàm số y f x C , 0 là một nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Hàm số

4

4

x

y là một nghiệm của phương trình vi

phân: y  x3 vì 4 3

4

x

x



 



 

 

Dễ thấy

4

4

x

y Clà nghiệm tổng quát của phương trình

Ví dụ 2: Chứng minh mỗi hàm số trong họ 1

1

t t

ce y

ce





 đều là

1 2

y  y 

Giải: Lấy đạo hàm của 1

1

t t

ce y

ce





2 1

t

t

ce y

ce

 



2 2

2

t t

t

ce y

     



y



Vậy với mỗi giá trị của c, hàm đã cho là nghiệm của phương trình vi phân

Khi giải quyết các bài toán thực tế, người ta không quan tâm việc có tìm hết các nghiệm của phương trình hay không mà chỉ cần xác định được một nghiệm thỏa mãn giá trị ban đầu của quá trình biến đổi, tức thỏa một biểu thức có dạng y x0  y0 Đây được gọi là điều kiện ban đầu(initial condition) và bài toán tìm nghiệm của một phương trình vi phân thỏa điều kiện ban đầu gọi là bài toán giá trị ban đầu (initial – value problem)

Ví dụ 3: Giải phương trình 1 2 

1 2

y  y  với y 0 2

Giải: Thay t0 vào nghiệm tổng quát 1

1

t t

ce y

ce





 của phương trình đã cho (xem Ví dụ 2) ta được: 0

0

1

c ce





Vậy nghiệm của bài toán là:

1 1

3 3

1 3

t

t t t

e

e y

e e





6.2 PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BIẾN (SEPARABLE EQUATIONS)

Phương trình tách biến (separable equations) là phương trình vi phân cấp 1 có dạng

   

dy

g x f y

dx 

Nếu f y 0, để giải phương trình trên, ta viết phương trình dưới dạng

( )

dy

g x dx

Lấy tích phân hai vế của phương trình ta được:

( )dy g x dx

Ngược lại, nếu f và g thỏa mãn (2), khi đó:

 

Vậy (1) thỏa mãn

Ví dụ 1:

(a) Giải phương trình vi phân

2

2

dx  y (b) Tìm nghiệm của phương trình trên thỏa điều kiện y 0 2

Giải:

(a)

2

2

,

3 3

3

trong trường hợp này là: 3 3

8

y x 

Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân

2

6



Giải: Phương trình đã cho tương đương với:

2ycosy dy6x dx   2ycosy dy6x dx  y siny2x C, CR

Nghiệm của phương trình trong trường hợp này ở dạng ẩn(implicitly), ta không thể biểu diễn y như một hàm đối với x

Ví dụ 3: Giải phương trình y  x y2

Giải: Trước tiên ta viết lại phương trình sử dụng kí hiệu của Leibniz dy 2

x y

dx 

+Nếuy0 :

3

/ 3

ln

3



+ y0 cũng là một nghiệm của phương trình vi phân đã cho Vậy nghiệm tổng quát là:

3

/ 3

,

x

yAe AR

Ví dụ 4: Một quốc gia nhỏ nọ có 10 tỉ dollar tiền giấy đang lưu thông và mỗi ngày có 50 triệu dollar được đưa vào ngân hàng nhà nước Chính phủ muốn đưa mẫu tiền mới vào vận hành bằng cách thay loại tiền cũ bằng loại tiền mới bất cứ khi nào loại tiền cũ được đưa vào ngân hàng Hỏi phải mất bao lâu thì lượng tiền tệ mới chiếm 90% trong lưu thông?

Giải: Đặt xx t( ) (đơn vị: tỉ dollar, 0 x 10) là lượng tiền tệ mới đang lưu thông ở thời điểm t

(đơn vị: ngày) Ta có: (0) 0x 

Theo giả thiết, với 10 tỉ dollar tiền cũ thì mỗi ngày có 50 triệu dollar tiền mới, tức là tốc độ gia tăng

tiền mới là 0.05 tỉ dollar/ngày Vì tại thời điểm t, lượng tiền cũ đang lưu thông là 10 – x(t) (tỉ dollar)

nên tương ứng ta có tốc độ gia tăng tiền mới là

10

x t

x t



Vì tốc độ gia tăng tiền mới là ( )x t nên ta có phương trình vi phân sau:

 

0.005 10

dx

x

Đây là phương trình tách biến, khi x10 ta có:

0.005



Vì x10 cũng là một nghiệm của phương trình nên phương trình có nghiệm tổng quát là:

0.005

Thay điều kiện đầu (0) 0x  vào nghiệm, ta được A 10, vậy 0.005

x  e

Ta cần tìm thời điểm t để lượng tiền tệ mới chiếm 90% trong lưu thông, tức x(t) = 9 tỉ dollar Ta có

6.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT (FIRST-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng

dy    

Phương pháp giải:

- Tìm một nhân tử tích phân (integrating factor)I x thỏa mãn:   I x  y P x y  I x y  

Khai triển hai vế ta được: I x P x    I x  dI P x dx  I Ae P x dx  , A e C

I





Chọn A1, ta được   P x dx 

I x e

- Phương trình vi phân tuyến tính đã cho tương đương với:

 

I x

Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân dy 3x y2 6x2

Giải:

- Nhân tử tích phân

3

I x e e

- Nhân 2 vế của phương trình vi phân đã cho cho e : x3

e y x e dx e d x  e C   y Ce

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

2  

x y xy y 

Giải: Ta thấy x = 0 không thỏa mãn phương trình Với x  0, chia hai vế của phương trình cho x2:

2

  

dx

x x

I x e e  x

- Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

ln

Với điều kiện đầu y 1 2, ta có: C2

Vậy nghiệm cần tìm của phương trình đã cho là: y ln x 2, x 0

x



6.4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI (SECOND-ORDER LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:

 d y22  dy    

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI THUẦN NHẤT (SECOND-ORDER HOMOGENEOUS LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất có dạng:

 d y22  dy   0 1 

P x Q x R x y

dx  dx 

Lưu ý: 2 nghiệm y x1  và y2 x phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại số k sao cho y x1 ky2 x , ngược lại ta nói 2 nghiệm này là độc lập tuyến tính

Nếu P, Q, R là các hằng số, khi đó phương trình (1) có dạng:

 

0, 0, , , 2

aybycy a a b c

ye r  yre yr e , thay vào phương trình (2):

ĐỊNH LÍ: Nếu y x1  và y2 x là hai nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1) thì y x c y x1 1 c y2 2 x , ,c1 c2  cũng là nghiệm của phương trình (1)

ĐỊNH LÍ: Nếu y x1  và y2 x là hai nghiệm độc lập tuyến tính của ptvp tuyến tính thuần nhất (1) và P x 0, x thì nghiệm tổng quát của phương trình đó là:

  1 1  2 2 , ,1 2

2  2 

ar e bre ce   ar brc e 

ye là một nghiệm của phương trình (2) nếu r là nghiệm của phương trình đặc trưng

(characteristic equation):

Trường hợp 1:

Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm thực phân biệt r và r thì 1 2 1 2

y e và y e là hai

nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (2)

Trường hợp 2:

2

b

a

nghiệm của phương trình (2) Ta chứng minh 2 rx

y  xe cũng là một nghiệm của (2):

aybycya re r xe b e rxe cxe

Trường hợp 3:

Nếu phương trình đặc trưng (3) có hai nghiệm phức dạng r1  i, r2   i

Nghiệm của phương trình đặc trưng là:

yC e C e C e  C e  C e xi x C e x i x

 1 2cos  1 2sin  1cos 2sin 

Ví dụ 1: Giải phương trình y y 6y0

Giải: Phương trình đặc trưng r2  r 6 0 có hai nghiệm phân biệt r1 2, r2  3

 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là yc e1 2x c e2 3x

Ví dụ 2: Giải phương trình 4y12y9y0

Giải: Phương trình đặc trưng: 2

4r 12r 9 0 có nghiệm kép 1 2 3

2

r   r

Nếu phương trình đặc trưng 2

0

ar br c có hai nghiệm thực phân biệt r r1, 2 thì nghiệm tổng quát của phương trình aybycy0là 1 2

1 2

yc e c e

Nếu phương trình đặc trưng 2

0

ar br c chỉ có một nghiệm thực r thì nghiệm tổng quát của phương trình aybycy0là yc e1 rxc xe2 rx

Nếu nghiệm của phương trình đặc trưng 2

0

ar br c là các số phức r1   i, r2   i thì nghiệm tổng quát của phương trình aybycy0là yexc1cosx c 2sinx

 

2

0 3

ar br c

 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là yc e1 3 / 2x c xe2 3 / 2x

Ví dụ 3: Giải phương trình y6y13y0

Giải: Phương trình đặc trưng: r26r130 có hai nghiệm phức r1 3 2 , i r2  3 2i

1cos 2 2sin 2

x

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU VÀ BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BIÊN (INITIAL-VALUE AND BOUNDARY-VALUE PROBLEMS)

Bài toán giá trị ban đầu của phương trình vi phân cấp hai là tìm nghiệm y của phương trình thỏa

mãn điều kiện ban đầu dạng: y x 0  y0, y x 0  y1, với y0, y1 là các hằng số cho trước

Ví dụ 4: Giải bài toán giá trị ban đầu y y 6y0, y 0 1, y 0 0

Giải: Từ ví dụ 1 ta có nghiệm tổng quát của phương trình này là

yc e c e  y c e  c e

Để nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu:

 

,





y e  e

Bài toán giá trị biên của phương trình vi phân cấp hai là tìm nghiệm y của phương trình thỏa mãn

điều kiện biên : y x 0  y0, y x 1  y1, với y0 , y1 là các hằng số cho trước

Ví dụ 5: Giải bài toán giá trị biên y2y y 0, y 0 1, 1y 3

Giải: Phương trình đặc trưng: r22r 1 0 có nghiệm kép r1  r2 1

 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là yc e1 x c xe2 x

Để nghiệm thỏa mãn điều kiện biên:

 





Vậy nghiệm của bài toán giá trị biên là: yex 3e1xex

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI KHÔNG THUẦN NHẤT (SECOND-ORDER NONHOMOGENEOUS LINEAR DIFERENTIAL EQUATIONS)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất hệ số hằng (A second-order

 

aybycyG x , với a, b, c là các hằng số và G là hàm liên tục

ĐỊNH LÍ: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân không thuần nhất là

y x  y x y x , với y c là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

0

aybycy và y p là một nghiệm riêng của phương trình aybycyG x 

Để tìm nghiệm riêng y p của phương trình aybycyG x  ta sử dụng phương pháp sau đây:

Phương pháp hệ số bất định (The method of undetermined coefficients)

Trường hợp 1: Nếu G(x) là một đa thức thì một nghiệm riêng của phương trình vi phân không

thuần nhất là đa thức cùng bậc với G(x) Thay đa thức này vào phương trình vi phân để tìm các hệ

số của đa thức

Ví dụ 6: Giải phương trình 2

2

y y y x

Giải:

- Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y y 2y0

Phương trình đặc trưng: 2

2 0

r   r có 2 nghiệm phân biệt r1  1, r2   2

c

y c e c e

- Tìm một nghiệm riêng: Vì G(x) = x 2 nên nghiệm riêng có dạng:   2

p

Ta có: yp 2AxB y, p 2A Thay vào phương trình vi phân đã cho:

2A  2AxB  2 Ax Bx C x   2Ax  2A 2B x 2A B  2C x

p

y x   x  x

c p

yy y c e c e  x  x

G x Ce , với C và k là các hằng số thì ta thử tìm nghiệm riêng của

phương trình vi phân không thuần nhất dạng   kx

p

Ví dụ 7: Giải phương trình 3

y  ye

Giải:

- Giải phương trình thuần nhất tương ứng: y 4y0

Phương trình đặc trưng: 2

4 0

r   có 2 nghiệm r1 2 , i r2   2i

 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y c c1cos 2x c 2sin 2x

- Tìm một nghiệm riêng: Vì G(x) = e 3x nên ta thử tìm nghiệm riêng có dạng:   3x

p

3 x, 9 x

y  Ae y  Ae Thay vào phương trình vi phân đã cho:

 

13

13

x p

y x  e

1 cos 2 sin 2

13

x

c p

yy y c xc x e

Trường hợp 3: Nếu G x Ccoskx hoặc G x Csinkx , với C và k là các hằng số thì ta thử tìm

nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất dạng y p x AcoskxBsinkx

Ví dụ 8: Giải phương trình y y 2ysinx

- Giải phương trình thuần nhất: y y 2y 0

Phương trình đặc trưng: 2

2 0

r   r có 2 nghiệm r1  1, r2   2

c

y c e c e

- Tìm một nghiệm riêng: Vì G(x) = sinx nên ta thử nghiệm riêng dạng: y p x  AcosxBsinx

Ta có: yp  AsinxBcos , x yp  AcosxBsinx Thay vào phương trình vi phân đã cho:

AcosxBsinx  AsinxBcosx 2 AcosxBsinxsinx

p

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

2

1 cos 3sin 10

c p

y y  y c e c e  x x

Trường hợp 4:

- Nếu G(x) là tích của các hàm trong các trường hợp trên thì ta thử tìm nghiệm riêng là tích của

các hàm có cùng kiểu, ví dụ nghiệm riêng của phương trình y2y4yxcos3xcó dạng

   cos 3  sin 3

p

- Nếu G(x) là tổng của các hàm trong các trường hợp trên:Nếu y p1 x , y p2 x là các nghiệm riêng của các phương trình ay by cyG x1  và aybycyG2 x thì

1 2

p p

y y là nghiệm riêng của phương trình ay by cyG x1 G2 x

Ví dụ 9: Giải phương trình y  4yxe x cos 2x

Giải:

- Giải phương trình thuần nhất: y 4y0

Phương trình đặc trưng: 2

4 0

r   có 2 nghiệm r1  2, r2   2

c

y c e c e

- Tìm một nghiệm riêng:

Với phương trình y  4y xe x, ta thử tìm nghiệm riêng dạng: 1    x

p

Với phương trìnhy  4y  cos 2x, ta thử tìm nghiệm riêng dạng: y p2 x Ccos 2xDsin 2x

Do đó ta thử tìm nghiệm riêng của phương trình y  4yxe x cos 2x dạng

    x cos 2 sin 2

p

    x 2 sin 2 2 cos 2 ,    2  x 4 cos 2 4 sin 2

Thay vào phương trình (*):

Ax2AB e x4 cos 2C x4 sin 2D x4AxB e x 4 cos 2C x4 sin 2D xxe x cos 2x

 3Ax 2A 3B e x 8 sin 2D x 8 cos 2C x xe x cos 2x

A

D

C









 



cos 2

x p

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho:

Ví dụ 10: Giải phương trình 2

4 13 xcos 3

y  y  ye x

Giải:

- Giải phương trình thuần nhất: y  4y  13y  0

Phương trình đặc trưng: r2 4r130 có 2 nghiệm r1   2 3 , i r2   2 3i

1cos 3 2sin 3

x c

- Tìm nghiệm riêng: Vì   2

cos 3

x

cos 3 sin 3

x

p

y x e A xB x , tuy nhiên đây lại là một nghiệm trong họ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nên ta sẽ tìm nghiệm riêng dạng

cos 3 sin 3

x p

p

2

x

p

4 13 xcos 3

y  y  ye x và rút gọn ta được:

1

6 cos 3 6 sin 3 cos 3 0,

6

2

1

sin 3 6

x p

1

6

TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:

1 Nếu   kx  

G x e P x với P là đa thức bậc n thì nghiệm riêng   kx  

p

y x e Q x với Q(x)

là đa thức bậc n

2 Nếu G x e P x kx  cosmx hoặc G x e P x kx  sinmxvới P là đa thức bậc n thì

nghiệm riêng y p x e Q x kx  cosmxe R x kx  sinmx với Q, R là các đa thức bậc n

Lưu ý: Nếu nghiệm riêng y p là một nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, ta cần nhân y p với x hoặc x2

cos 2

c p

y y  y c e c e  x e  x