Ứng dụng của lý thuyết nevanlinna cho phương trình vi phân và điểm bất động của hàm nguyên siêu việt

Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát.. Trong giải tích phức, một trong những ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

Lê Văn Vĩnh

ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT NEYANLINNA

CHO PHUONG TRINH VI PHAN VA DIEM BAT BONG

CUA HAM NGUYEN SIEU VIET

Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số

Mã số : 60 46 05

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC: PGS TS MY VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

BANG Ki HIEU

Trường số p-adic

Bao đóng đại số của

Trường đầy đủ hóa của ~ ”

Giá trị tuyệt đối p-adic

Chỉ số mũ của z

Bán kính hội tụ

Quả cầu mở tâm 0 bán kính Ø-

Quả cầu đóng tâm 0 bán kính ø

Số hạng cực đại

Chỉ số tâm

Số không điểm của ƒ (kể cả bội) với trị tuyệt đối < r

Hàm trị của ƒ đối với 0

Số không điểm của ƒ (không kể bội) với trị tuyệt đối < r

Hàm trị của ƒ tương ứng với alr] đối với 0

: Ham bi cua f

Hàm đặc trưng của f

: Trường các hàm hữu tỉ trên

: Đại lượng bị chặn

: Dai luong bi chan so voi f

Đại luong v6 cing bé déi voi f

MO DAU

Gần đây, lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lĩnh vực toán học

năng động Chẳng hạn, Khoái [3], Khoái-Quang [6] đã chứng minh tương tự p-

adic của hai “định lí chính” và mối quan hệ về số khuyết của lý thuyết

Nevanlinna cô điển Khoái [4] đã nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, và

đã chứng minh mối liên hệ về số khuyết của các siêu phẳng trong vị trí tổng quát

Cherry-Yang [13] đã mô tả một số tập xác định duy nhất với số phần tử hữu hạn của các hàm nguyên p-adic Có hai “định lí chính” và các mối quan hệ về số

khuyết, chúng đóng vai trò trọng tâm trong lý thuyết Nevanlinna Những kết quả này đóng góp quan trọng trong việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna

Trong giải tích phức, một trong những ứng dụng nổi bật của lý thuyết

Nevanlinna là ứng dụng trong phương trình vi phân đại số Cụ thể, lý thuyết

Nevanlinna được sử dụng trong việc nghiên cứu tính chất nghiệm là hàm nguyên

hay hàm phân hình của phương trình vi phân Chẳng hạn, lý thuyết Nevanlinna

được sử dụng để chứng minh định li Malmquist’s và một ví du điển hình trong số

các kết quả của định lí kiểu Malmquist là: “Nếu P(X) và Q(X) là các phân tử

nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức một biến với hệ số trong trường các

P)

hàm hữu tỉ theo biến z với hệ số phúc và phương trình vi phân f'=——~ có

6(7) một nghiệm phân hình siêu việt ƒ khi đó Q là một đa thức bậc không theo biến X

và P có bậc tối đa bằng 2” Kết quả trên là nền tảng để xây dựng các định lí kiểu

Malmquist tổng quát hơn sau này trong giải tích phức Về sau, các kết quả trong giải tích phức thường được xây dựng tương tự trong giải tích p-adic; vì vậy, ý tưởng nghiên cứu tính chất nghiệm của các phương trình vi phân đại số, đặc biệt

là các kết quả kiểu Malmdquist tương tự p-adic là điều tất yếu.

Trong luận văn này, tôi đã trình bày các phương trình vi phân đại số p-adic dạng:

Q(z, Ww, Ww”) = R(z, w),

Trọng tâm của phần này là tập trung vào việc nghiên cứu các tính chất nghiệm

của phương trình vi phân đại số, cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng một số phương trình vi

phân đại số không có nghiệm phân hình siêu việt chấp nhận được Hơn nữa, các kết quả còn được mở rộng trong các trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn như

định lí Malmquist-type (1, dinh li Malmdquist-type (II) và nghiên cứu nghiệm

chấp nhận được của một số phương trình vi phân cụ thể Các kết quả này là nội

dung trọng tâm của chương 2

Trong chương 3, tôi đã trình bày tương tự p-adic của định lí Baker trong giải

tích phức, định lí nghiên cứu điểm bất động của hàm nguyên siêu việt, đó là:

“Nếu ƒ là hàm nguyên siêu việt trên „, khi đó ƒ sở hữu vô hạn điểm bắt động

cấp n, trừ nhiều nhất một giá trị của n”

Chương 1: LÝ THUYẾT NEVANLINNA

CUA HAM PHAN HINH p-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày các kết quả quan trong và cần thiết của lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic, các kiến thức này sẽ bổ trợ cho phần trọng

tâm của luận văn này là chương 2 và 3

1.1 Lý thuyết Nevanlinna của hàm phân hình p-adic:

Cho p là một số nguyên tố, gọi _ „ là trường các số p-adic, và _ „ là đầy đủ hóa p-

adic của bao đóng đại số _ „ của „: Giá trị tuyệt đối I, trong „ được chuẩn

được gọi là hàm giai tich p-adic trén B(p), 6 đó

B(2)=[ze > ld, <e}

Nếu ø=œ, hàm ƒ (z) được gọi là hàm nguyên p-adic trên „

Cho / là hàm giải tích p-adic khác hang trên Ø8(ø) (0< ø< œ) Ta định nghĩa số

Bỗ đề 1.1.1: Nếu ƒ và h là hai hàm giải tích p-adic trên B(p), khi do:

A(r,Jh)= aữ,/) ah):

Bồ đề 1.1.2: Chi sé tam v(r,f) tăng khi r > p, va thoa mãn công thức:

Hệ quả 1.1.3: /((z, ƒ) là hàm số liên tục trên (0.0)

Bé dé 1.1.4: (Weierstrass Preparation Theorem): Tén tai duy nhất đa thức P bậc

u(r, f) và một hàm giải tích p-adic g trên B[r] sao cho f = gP, ở đó

B[r] = {z e , ld, < rÌ

Hơn nữa, g không có bất kì không điểm nào trong B[r], và P có đúng 0(r, ƒ) không điểm, kể cả bội trong Bir]

Gọi nr] là số không điểm ( tính cả bội ) của hàm ƒ với trị tuyệt đối <z và

định nghĩa hàm trị của f đối với 0 bởi:

Với mỗi ø ta vẽ đồ thị z„(t)= ord,(a„z")= ord(a,)+ mí như là hàm của

t =ord, (z) Khi đó y,(t) là một đường thẳng với hệ số góc ø Gọi y(t, /) là bờ

giao nhau của tất cả các nửa mặt phẳng nằm dưới đường 7„() Đường thẳng này được gọi là đa giác Newton của hàm ƒ (z) Điểm ¿ tại đỉnh của 7(z, ƒ) được gọi là đỉnh tới hạn của ƒ (z) Một đoạn hữu hạn [z 8 ] chỉ chứa một số hữu hạn các điểm

tới hạn Rõ ràng nếu ¿ là một điểm tới hạn, thì khi đó hàm ƒ(z) có ít nhất hai số

hạng cực đại Hiển nhiên, ta có:

u(r./)=p 70

trong đó r=ø”

Tính chất 1.1.5: Nếu ?= ord,(z) không là điểm tới hạn, khi đó

|#Œ)|,=p”*2 =7): P

Định nghĩa 1.1.6: Ham biéu dién dưới dạng thương ƒ == của hai hàm giải tích

p-adic g vah sao cho g và h không có nhân tử chung trong vành các hàm giải tích

p-adic trén B(p) được gọi là hàm phân hình ƒ trên B(p)

Ta có thể mở rộng ¿/¿ cho hàm phân hình ƒ == bang cach dinh nghia

Khi đó {p'|we }c| „| và| ,| trù mật trong [0,+=)

Nếu 4: [0,+=)-> và b: „-> - là các hàm giá trị thực, khi đó

| z)<50)

nghĩa là với bất kì số dương hữu hạn nào 0< 8 < ø, có một tập hữu hạn E trong

| [O08] sao cho

a(r)<b(r), r=|2|, e| ;|[0.R]—E

Bằng cách sử dụng kí hiệu trên, ta có

| zứ.Z)=|Z(z),

đối với hàm phân hình p-adic ƒ trén B(p)

Định nghĩa hàm đếm n{r, ƒ) và hàm trị N(r., ƒ) của ƒ đối với cực điểm

{rot }-m(n)= log u(r, f)-C,

ở đó C, là hằng số chỉ phụ thuộc vào f Dinh nghia

m(r, f) =log* u(r, f) = max {0,log u(r, f)}

Cuối cùng, ta định nghĩa hàm đặc trưng:

Tính chất 1.1.10: Cho we M( > ) Khi đó với œ là số nguyên dương tùy ý, ta có

Dinh li 1.1.11: ( Định lí chính thứ nhất) Cho ƒ là một hàm phân hình khác

hằng trong B(p) Khi đó với mỗi ae „ ta có:

n(z2)*M»zS:) =7(z,/)+0()_ (rp)

-a

Định lí 1.1.12: ( Tính chất đạo hàm logarit) Cho f là một hàm phân hình khác

hang trong B(p) Với mỗi số nguyên đương n bắt kì, ta có

1.2 Cấp tăng của hàm phân hình p-adic:

Gọi 8⁄(_ „) là không gian các hàm phân hình p-adic trên _ „ Định nghĩa

trong đó a,eM( ») voi a, #0

Dinh nghia 1.2.1: Choae ,U{o}, goi ui (z,) la bội số của ƒ giá trị a tại

zụ, tức là „+ (zạ) =m néu va chi néu

at+(z—z,)" A(z): a#o

với h(z,)# 0,0

Bé dé 1.2.2: Voi z,€ ,, w(z)=%, tacd:

Bé dé 1.2.6: Cho z,€ „, Nếu u3(z,)>0 thi dạ (Zạ)< HỆ (Z¿)— dạ (Zzạ) Trong

Hệ quả 1.2.9: Mộ hàm phân hình p-adic ƒ trên _„ là một hàm hữu tỉ bậc d nếu

và chỉ nếu, với mọi hàm nguyên p-adic khác hằng w trên p (ACO

roe logr

Hàm phân hình p-adic trong (_ „}— „(z) được gọi là hàm siêu việt Hiển

nhiên, một hàm phân hình p-adic trên _„ là siêu việt nếu và chỉ nếu

Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SÓ p-ADIC

Trong chương này, tôi sẽ trình bày tương tự phi archimedean định lí Malmquist- type trong phương trình vi phân

2.1 Phương trình vi phân đại số p-adic:

Định nghĩa 2.1.1: | Phuong trinh vi phan dai s6 p-adic la phương trình có dạng

trong do

(2) Q(z,w,w, w") => ew" (w} (wo)

iel

va i= (i,5i,5 -54, ) là các chỉ số nguyên không âm, I Ia tap hitu han, c, <M( „)›

và R(z,w) là một hàm phân hình p-adic trên

Ta định nghĩa

&s(9)=me|Š3, r(A)=mạx|Š(z+1),} z(A)=mạ| 3z,

Bồ đề 2.1.2: Với toán tử Q(z, w, Wn wi) = Yew (wy -(m9Ÿ ta có:

Theo định nghĩa của I'(O) = may |

`"

Cũng theo tính chất 1.1.8 ta suy ra:

m(r,Q) < deg(Q)m(r, wm mine) Sim S]

với {aạ, a,,bụ, b,} e MÍ(_ ,), a, # 0, b, # 0 Ta có kết quả sau:

Bỗ đề2.1.4: Cho weMÍ((_ „) là một nghiệm của (1), trong đó Nếu q > k, khi đó

)< m(ne )+Šm(nn, ):o|z [sz}*Š»ts)|

j-0

l¿ứ.O)< má, TneAna) s3) “Ảnh max bal | ›

(do | z(r./)=|/(z)|, đối với mọi hàm phân hình p-adic / )

P

Bắt đẳng thức này đúng trong trường hợp lzl, =r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm ; nên bất đẳng thức trên cũng đúng

cho mọi z >0 Suy ra

log u(r,a,) + loer| rg own toen(r™| t

w

( ) O<j<k,iel we) hn 1 deg(Q)

+logu| r, + max logl log u(r,b,)+log u Tự -

Định nghĩa 2.1.5: Mét nghiém w của (1) với R(z, w) được xác định bởi (6) được

gọi là chấp nhận được nếu w M( ») thỏa mãn (1) với

Hé qua 2.1.7: Cho Q(z,w,w,, w") là một da thức vi phân với hệ số trong

;(z) và R(zw)e „(zw) Nếu (1) có một nghiệm phân hình p-adic

w=w(z)¢ „(z), khi đó R(z,w) là một ẩa thức theo w có bậc <T(Q)

Chứng minh: Theo hệ quả 1.2.10, vì w= w(z)#£ „(z) nên ta có:

tim 2") roe logr = +00 suy ra

log(r) =0(T(r,w))

Vice , (z) nên theo hệ quả 1.2.10 ta có:

nên w là một nghiệm chấp nhận được

Theo định lí 2.1.6 ta suy ra R(z,w) là một đa thức theo w có bậc:

Chứng minh: Dat Q(z, WW yeeey () ) = (=)

dz

Q(z, w, Wow”), R(z,w) va w(z) thoa man các tính chat trong hé qua 2.1.7 nén

®(z,w) là một đa thức theo w có bậc <T(O)

Trong đó, T(O)= mạ [Š +1)i, | =2n

a=0

Định lí được chứng minh

2.2 Dinh li Malmquist-type (1):

Trong phần này, ta tiếp tục nghiên cứu phương trình vi phan (1) cho trường hợp

tổng quát hơn của #(z,w)

Dinh li 2.2.1: Cho ReM ( > )- Nếu phương trình vi phân sau đây:

nên w là nghiệm chấp nhận được

Theo định lí 2.1.6, suy ra ® là một đa thức với

Ta có kết quả quan trọng sau đây:

Bỗ đề 2.3.1: Cho R(z,w) được xác định như (6) và w là một nghiệm của (10)

Kết hợp hai trường hợp ta được:

oe, 8 red ea, er mano el |

Bắt đẳng thức này đúng trong trường hợp lzl, =r với z thỏa mãn điều kiện chọn ban

đầu, nhưng do tính chất liên tục của hàm ¿; nên bất đẳng thức trên cũng đúng cho

Suy ra

HS (Zo) $ HF (2) +=—

Kết hợp cả hai trường hợp ta được:

Ho (z) <ư? (z)+ 3⁄2 ()+max{ ONS 4g (20) + He (20)

Vi (n) \ trong đó s45] % có m(r,e,)= m(r,d,)+O(1)

Định lí 2.3.3: Cho Re MỊ > ) Nếu phương trình vi phân sau đây

deg(B) < min deg( A) < min Chứng minh:

Theo tinh chat 1.1.9 ta cd:

Dinh li duge chimg minh

2.4 Nghiệm chấp nhận được của một số phương trình vi phân

Trong phần này, ta sẽ bàn đến phương trình vi phân sau đây

k

j=0

đối với một số dạng đặc biệt của Q Voi we M(_,), ta goi ©(z,w,w, là

đa thức vi phân của w nếu

T(r,«)=ø(T(r,w)) (ie)

Bỗ đề2.4.1: Nóu wụ,wị eM( „) là độc lập tuyến tính, khi đó

T{r,wy)< m(r,wụ + wị)+ N(r,wy)+ N(r, wạ)

—( 1) — —( 1 NW|r,— |+Nữ N| r,— |+O({I)

Chứng minh:

Vì wụ,w, e ⁄/(_ „) là độc lập tuyến tính nên định thức

mW W_ W 40

trong đó P là đơn thức vi phân của w và Q là ấa thức vi phân của w với

deg(P)> deg(Q), y(P)>7(Q)

Néu k <1, va néu (12) có một nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được, khi đó

(12) có dạng sau đây

(4) 9(swa )=a(2(5+8(2)', s(2)= 5°}

Chứng minh:

Trường hợp & =I là hiển nhiên

Giả sử ngược lại với & nào đó, 1< k <Ï

Yaw a,(w+b)" = Lo Ayw! £0, bats,

trong do O<m<k-2, A,40,va A, là các hàm hữu tỉ của {a,} Khi đó

Wụ =—4,(W+ b va w, =Q=(P+Q) là độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử rằng

Goi M,,( ,) la tap tất cả các hàm phân hình p-adic / thỏa mãn

T(r./)=ø(T(r.w)) Khi đó, M⁄„(_ „) là một trường và I,w,w°, w" là hệ độc lập tuyến tính trên trường 4⁄„(_ „), thật vậy:

Khi đó ø =/ =0, hay wạ và w, độc lập tuyến tính

Mặt khác: vì deg(P) > deg(@) và z(P) >z(Ø) nên

điều này là không thê xảy ra do k>m+2>m+1+7 [ao <1},

thỏa mãn điều kiện của định lí 2.4.2 nên hệ quả được chứng minh

Hé qua 2.4.4: Néu n>k va néu n—k không là ước số của n, khi đó (15) với hệ

số hằng a |, không có nghiệm phân hình khác hằng chấp nhận được

Diéu nay mau thuan véi gia thiét

Hệ quả được chứng minh

Gia thuyét 2.4.5: Phương trình (15) không có nghiệm phân hình siêu việt chấp

nhận được

Trong trường hợp các hệ số hằng, giả thuyết 2.4.5 được chứng minh như sau:

Định lí 2.4.6: Nếu phương trình (15) với hệ số hằng a, có một nghiệm phân hình

khác hằng w, khi đó n—k là ước của n, và w viết được dưới dạng sau đây

trong đó n—k laude cua n

Gia sir z, 1a cực điểm của w và ø là bội số của nó suy ra w' cũng nhận z, 1a cyc

điểm và có bội số là œ +1 So sánh bội số cực điểm Zạ của hai về trong đẳng thức

(*) suy ra

n(a+l)=ka