Lý thuyết sóng nhỏ và một số ứng dụng trong giải phương trình vi phân

N Tập số tự nhiênS3 Không gian các hàm Spline bậc 3 C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b] L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]... Cần được ng

Trước hết tác giả xin bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc tớithầy giáo, TS Nguyễn Văn Tuấn người đã tận tình hướng dẫn tácgiả trong học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tại trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể cácthầy cô giáo trong Phòng sau đại học, Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã chỉdạy tận tình cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường

Nhân dịp này tác giả cũng cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thànhtới gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốtquá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Ngọc Quang

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêngtôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS NguyễnVăn Tuấn.

Trong khi nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng biết ơn

Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Ngọc Quang

Lời cảm ơn i

1.1 Lý thuyết độ đo 4

1.2 Tích phân Lebesgue 7

1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản 7

1.2.2 Tích phân của các hàm đo được 8

1.3 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian L2 9

1.3.1 Không gian vectơ 9

1.3.2 Không gian định chuẩn 10

1.3.3 Không gian Hilbert 12

1.3.4 Không gian L2 13

1.4 Khai triển Fourier 13

iii

1.5.1 Spline đa thức bậc 3 với mốc cách đều 14

1.5.2 Spline đa thức tổng quát 16

1.6 Xấp xỉ và tốc độ hội tụ 18

2 LÝ THUYẾT SÓNG NHỎ 20 2.1 Cơ sở sóng nhỏ Haar 20

2.1.1 Xấp xỉ bằng hàm bậc thang 20

2.1.2 Cơ sở sóng nhỏ Haar 21

2.2 Phân tích đa phân giải 23

2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải 23

2.2.2 Tính ổn định của các hàm Scaling 24

2.2.3 Tính đầy đủ của hàm bậc thang 26

2.3 Cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn từ phân tích đa phân giải 27

2.3.1 Sóng nhỏ trực chuẩn 31

2.4 Sóng nhỏ spline trực chuẩn 32

2.4.1 B-spline cơ bản 32

2.4.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn 34

2.5 Sóng nhỏ có giá compact 36

2.5.1 Tính đối xứng của hàm Scaling và mặt nạ của nó 36 2.6 Biến đổi sóng nhỏ nhanh 37

2.6.1 Xấp xỉ khởi đầu 37

2.6.2 Phân dã đa bậc thang 39

2.6.3 Biến đổi sóng nhỏ nhanh 40

2.6.4 Thuật toán kim tự tháp 43

iv

3.1 Xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ 45

3.2 Nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân 46

3.2.1 Kỹ thuật sóng nhỏ Galerkin 48

3.2.2 Các hệ số kết nối 50

3.2.3 Phương pháp sóng nhỏ cho ODE 51

3.2.4 Áp dụng 53

3.3 Một ứng dụng sóng nhỏ Haar trong giải phương trình vi phân 54

3.3.1 Hàm xấp xỉ 54

3.3.2 Giải xấp xỉ phương trình vi phân 55

3.3.3 Ứng dụng vấn đề giá trị biên 56

3.3.4 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 1 57

3.3.5 Áp dụng với điều kiện biên hỗn hợp loại 2 57

3.3.6 Một số ví dụ 59

v

N Tập số tự nhiên

S3 Không gian các hàm Spline bậc 3

C[a;b] Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]

L2[a;b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]

1 Lý do chọn đề tài

Trong thời gian gần đây lý thuyết sóng nhỏ và các ứng dụng nhậnđược sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học trong và ngoàinước Lý thuyết sóng nhỏ với các ứng dụng của nó đã xâm nhập vào rấtnhiều lĩnh vực trong cuộc sống hiện đại như sử lý tín hiệu, sử lý ảnh, đồhọa máy tính

Khi nghiên cứu về lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng có xuất hiệnmột số vấn đề sau

1 Có thể xấp xỉ một hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ hay không?

2 Trong các sóng nhỏ đã được giới thiệu sóng nhỏ Haar có ứng dụngrất tốt vào giải phương trình vi phân Sóng nhỏ Haar có thể đơngiản phương trình vi phân về thành một hệ phương trình đại số.Tuy nhiên ứng dụng cụ thể trong việc sử dụng sóng nhỏ Haar đểgiải gần đúng nghiệm của phương trình

y00 + α1(t)y0 + α2(t)y = f (t)

Với các điều kiện biên khác nhau :

y(0) = y0, y0(0) = y1,

y(0) = β0, y(1) = β1,y(0) = A, y0(1) = B,và

y0(0) = A, y(1) = B

Còn nhiều vấn đề cần được làm rõ

3 Trong phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân, sử dụng kỹthuật Galerkin cũng thường xuyên được sử dụng Tuy nhiên có khókhăn trong việc đối phó với điều kiện biên Phương pháp tiếp cậnbiên ảo với các hệ số kết nối có thể khắc phục được các khó khăntrên Cần được nghiên cứu nhiều hơn.

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết sóng nhỏ và các ứngdụng của nó, được sự đồng ý hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn,tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu "Lý thuyết sóng nhỏ và một sốứng dụng trong giải phương trình vi phân" để thực hiện luận văntốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết cơ bản của sóng nhỏ Nghiên cứu xấp xỉ hàm

số bằng chuỗi sóng nhỏ, nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày về khái niệm sóng nhỏ

Trình bày về xấp xỉ hàm số bằng chuỗi sóng nhỏ

Trình bày nghiệm sóng nhỏ cho phương trình vi phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết sóng nhỏ và ứng dụng trong giảiphương trình vi phân

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập nghiên cứu phân tích tổng hợp tài liệu có liên quan, đặcbiệt là các bài báo mới trong nước và ngoài nước về vấn đề luận văn đềcập tới

Lấy ý kiến chuyên gia

Một hàm tập µ gọi là một độ đo nếu nó xác định trên một đại số C và

1 µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ C

4

1 µ∗(A) ≥ 0 với mọi A ⊂ X.

Định lý 1.1.3 (Caratheodory) Cho µ∗ là một độ đo ngoài trên X và L

là lớp tất cả các tập con A của X sao cho

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E\A) với mọi E ⊂ X (1.1)Khi ấy L là một σ-đại số và hàm µ = µ∗/L (thu hẹp của µ∗ trên L) làmột độ đo trên L

Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài µ∗.

Các tập A (thỏa mãn điều kiện (1.1)) gọi là µ∗-đo được

Định lý 1.1.4 Cho m là một độ đo trên đại số C những tập con của X.Nếu ta đặt với mỗi A ⊂ X:

1 µ(A) = m(A) với mọi A ∈ C (nghĩa là µ khuếch m)

2 µ là hữu hạn (σ-hữu hạn) nếu m là hữu hạn (σ-hữu hạn)

3 µ là độ đo đủ

4 Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng

A = B\N hoặc A = B ∪ N

trong đó B ∈F(C), N ⊂ E ∈ F(C), µ∗(E) = µ(E) = 0, và µ∗ là độ

đo ngoài xác định từ m theo công thức (1.2)

Định nghĩa 1.1.4 Trong không gian X, một σ-đại số F những tập concủa X, và một tập A ∈ F Một hàm f(x) : X → R gọi là đo được trêntập A đối với σ-đại số F nếu

∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) < a} ∈ F (1.4)

Điều kiện (1.4) có thể thay bằng một trong các điều kiện sau :

∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) > a} ∈ F,

∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) ≤ a} ∈ F,

∀a ∈ R, {x ∈ A : f(x) ≥ a} ∈ F

1.2 Tích phân Lebesgue

1.2.1 Tích phân các hàm đơn giản

Trong một không gian X, với một σ-đại số F và một độ đo µ trên

F, cho A là một tập đo được (tức là ∈ F), và một hàm đơn giản không

1.2.2 Tích phân của các hàm đo được

Ta lần lượt xét các trường hợp các hàm không âm, trường hợphàm có dấu thay đổi

1 f (x) ≥ 0 trên tập A

Khi đó có một dãy hàm đơn giản fn ≥ 0, đơn điệu tăng hội tụ đến

f Ta gọi tích phân của f (x) trên tập A đối với độ đo µ là số (hữuhạn hay vô cực)

Af+−R

Af− có nghĩa (tức là không có dạng ∞ − ∞) thì ta gọi nó

là tích phân của hàm f trên tập A với độ đo µ:

nếu tích phân trên hữu hạn ta nói f khả tích

Định lý 1.2.1 1 Nếu µ(A) = 0 và f đo được thì RAf = 0

2 Nếu µ(A) < ∞, f đo được và bị chặn trên A, thì f khả tích trên A

1.3 Không gian vectơ, không gian định chuẩn, không

gian Hilbert, không gian L2

1.3.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.3.1 Cho tập hợp E mà các phần tử được ký hiệu là:

−

→α ,−→β , −→γ, và trường số K mà các phần tử được kí hiệu là: x, y, z

Giả sử trên E có 2 phép toán:

2 Phép toán nhân, kí hiệu là : K × E → E, (x, −→α ) 7→ x.−→α

Thỏa mãn các tiên đề sau:

(f) x

−→α +−→β 

= x−→α + x−→β , ∀−→α ,−→β ∈ E, x ∈ K.

(g) x (y−→α ) = (xy) −→α , ∀−→α ∈ E, x, y ∈ K.

(h) 1.−→α = −→α , ∀−→α ∈ E với 1 là đơn vị của trường K.

Khi đó E cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường

K hay K không gian vectơ, hay không gian tuyến tính

Nếu K = R thì E gọi là không gian vectơ thực

Nếu K = C thì E gọi là không gian vectơ phức

Định nghĩa 1.3.2 Giả sử E là một không gian vectơ

Một hệ vectơ trong E gọi là hệ sinh của E nếu mọi vectơ của Eđều được biểu thị tuyến tính qua hệ đó

Khi E có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì ta nói E là không gianvectơ hữu hạn sinh.

Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ sinhđộc lập tuyến tính

Định nghĩa 1.3.3 Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạnphần tử Khi đó số phần tử của cơ sở được gọi là số chiều của khônggian vectơ Khi không gian vectơ có số chiều là n ta kí hiệu:

dim E = n hay dimK E = n

Định nghĩa 1.3.4 Tập con W 6= ∅ của một K không gian vectơ E đượcgọi là không gian vectơ con của E nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1 ∀−→α ,−→β ∈ W, −→α +−→β ∈ W.

2 ∀−→α ∈ W và ∀x ∈ K thì x−→α ∈ W.

1.3.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).Định nghĩa 1.3.5 Một chuẩn, kí hiệu k.k, trong X là một ánh xạ từ Xvào R thỏa mãn các điều kiện:

Định lý 1.3.1 Giả sử X là một không gian tuyến tính định chuẩn Vớimọi x, y ∈ X, đặt

d (x, y) = kx − yk

Khi đó d là một metric trên X

Định nghĩa 1.3.6 Dãy (xn) trong không gian tuyến tính định chuẩn Xđược gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu

lim

n→∞kxn − x0k = 0

Khi đó, ta kí hiệu: lim

n→∞xn = x0.Định nghĩa 1.3.7 Dãy xn trong không gian tuyến tính định chuẩn Xđược gọi là một dãy cơ bản nếu lim

m,n→∞kxm − xnk = 0

Định nghĩa 1.3.8 Giả sử không gian tuyến tính định chuẩn X là mộtkhông gian metric đầy đủ (với metric d (x, y) = kx − yk) Khi đó, Xđược gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là khônggian Banach

Định nghĩa 1.3.9 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P Ánh xạ A từ không gian X vào Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

A thỏa mãn:

1 A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ X

2 A (αx) = αAx, ∀x ∈ X, α ∈ P

Nếu A chỉ thỏa mãn 1 thì A được gọi là cộng tính

Nếu A thỏa mãn 2 thì ta nói A là toán tử thuần nhất

Khi Y = P thì A được gọi là phiếm hàm tuyến tính

1.3.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.3.10 Cho không gian tuyến tính X trên trường số P(P = R hoặc P = C) Ta gọi tích vô hướng trên không gian X là mộtánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P, kí hiệu (., ), thỏa mãncác tiên đề

Định nghĩa 1.3.11 Không gian tuyến tính X trên trường P cùng vớimột tích vô hướng ở trên X gọi là không gian tiền Hilbert

Định lý 1.3.2 Cho X là một không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ X,đặt

kxk = p(x, x)

Khi đó, ta có bất đẳng thức Schwarz

|(x, y)| ≤ kxk kyk , ∀x, y ∈ X

Định nghĩa 1.3.12 Ta gọi không gian tuyến tính H 6= ∅ trên trường P

là một không gian Hilbert nếu H thỏa mãn các điều kiện

1 H là không gian tiền Hilbert

2 H là không gian Banach với chuẩn kxk =p(x, x), ∀x ∈ X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là một không gian Hilbert con của không gian H

Z

[a;b]

|f |2 < ∞



với tích vô hướng hf, gi =Rabf.g

Định lý 1.3.3 Không gian L2[a;b] là không gian đầy đủ

1.4 Khai triển Fourier

Định nghĩa 1.4.1 Cho một hàm f ∈ L1, là một hàm nhận giá trị phức

được gọi là khai triển Fourier của hàm f

Khai triển Fourier có tính chất tuyến tính tức là

[

f + g = bf +bg và ccf = c bf

trong đó c ∈ C

Định nghĩa 1.4.2 Cho g ∈ L1 Tích phân 2π1 R

Rg (ω) eiωtdω được gọi

là khai triển Fourier ngược của g kí hiệu là g∨

Định nghĩa 1.4.3 Cho f, g ∈ L1 Tích chập của hàm f và g được xácđịnh bởi

f ∗ g(x) =

Z +∞

−∞

f (x − t)g(t)dt

f (u)bg (u) du.

1.5 Không gian các hàm Spline

1.5.1 Spline đa thức bậc 3 với mốc cách đều

Xét phân hoạch π trên đoạn [a, b] với các mốc nội suy

2 Hạn chế của s (t) trên mỗi khoảng ∆i = [ti; ti+1] là đa thức s (t) |∆i

với deg(s(t) |∆i) ≤ 3, ∀i = 0, 1, 2, , n

Không gian gồm tất cả các hàm s(t) thỏa mãn hai điều kiện trên kí hiệu

là S3(π)

Từ định nghĩa ta có không gian S3(π) chứa tất cả các đa thức cóbậc nhỏ hơn hoặc bằng 3 Ta có thể kiểm tra được S3(π) là một khônggian tuyến tính

Mệnh đề 1.5.1 Không gian S3(π) là không gian tuyến tính và khônggian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 3.

Bài toán 1 Tồn tại duy nhất hàm số s (t) ∈ S3(π) thỏa mãn hệ điềukiện

Xây dựng sự tồn tại của hàm s(t) với các mốc nội suy cách đều

ti = t0 + i(b−a)n , trong đó chúng ta bổ xung thêm 4 mốc nội suy tn−2 <

tn−1 < t0 và tn+2 > tn+1 > tn đồng thời xét hàm số Bi(t) được xác địnhbởi công thức

(t − ti−2)3, t ∈ [ti−2, ti−1] ,

h3 + 3h2(t − ti−1) + 3h(t − ti−1)2 − 3(t − ti−1)3, t ∈ [ti−1, ti] ,

h3 + 3h2(ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t)2 − 3(ti+1 − t)3, t ∈ [ti, ti+1] ,(ti+2− t)3, t ∈ [ti+1, ti+2] ,

0, t /∈ [ti−2, ti+2]

(1.7)Bằng cách thay vào (1.7) các hàm số Bi(t) liên tục, khả vi 2 lần trên Rmà

Đồng thời Bi(t) ≡ 0 với t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2

Các hàm B-Spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy

t−2 < t−1 < t0 < < tn < tn+1 < tn+2 và bất kỳ spline đa thức bậc bas(t) đồng nhất triệt tiêu bằng không ngoài khoảng (tj−2, tj+2)

Hơn nữa mỗi B1(t) là bậc 3 trên [tj, tj+1] nên Bi(t) ∈ S3(π)

Định lý 1.5.1 Có duy nhất một hàm s (t) ∈ B3(π) thỏa mãn bài toán1.

Định lý 1.5.2 Với các không gian S3(π) và B3(π) ta có

Hàm s(t) trên gọi là spline nội suy bậc 3 của f (t)

1.5.2 Spline đa thức tổng quát

Để nghiên cứu khái niệm B − spline tổng quát chúng ta đi từ kháiniệm sai phân của hàm số

Ta có:

∆f (x0) = f (x1) − f (x0)

∆k+1f (x0) = ∆f (x1) − ∆f (x0)

Nhận xét: Định lý không đúng khi các nút không cách đều, chẳnghạn p(x) = 0, x0 = 0, x1 = 1, x2 = 4 thì ∆2p(x0) = p(x2) − 2p(x1) + px0 =

2 Đạo hàm của hàm B − spline được tính theo công thức

Mệnh đề 1.5.2 K(t) ∈ S3(π).

Định nghĩa 1.5.2 Giả sử π là một phân hoạch t0 < t1 < t2 < <

tn, (n ≥ m + 1) của [a, b], không gian

Định nghĩa 1.6.1 Cho π là một phân hoạch đều của đoạn [a; b] với cácmốc là a = x0 < x1 < < xn = b, h = b−an = xi − xi−1, i = 1, , n.Giả sử xn là nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử Lx = f trong khônggian C[a;b] và x là nghiệm đúng của phương trình đó.

Nếu có đánh giá kxn− xk ≤ chk với c là hằng số dương không phụ thuộc

h, k ∈ N∗ thì ta nói nghiệm xn là hội tụ bậc k tới nghiệm chính xác x(hay độ chính xác bậc hk)

gn = X

k∈Zan,kχn,k, (an,k)

k∈Z ∈ l2o.Khi đó {Vn} là một dãy các không gian con của L2, trong đó xấp xỉtrong L2 có nghĩa là với mọi hàm f ∈ L2 luôn có các hàm fn ∈ Vn, saocho

lim

n→∞kfn − f k = 0

20

Ta gọi {Vn} là một xấp xỉ của L2 Và với n lớn hơn thì Vn có độ phângiải tốt hơn Chú ý rằng các không gian con {Vn} là lồng nhau

Để xây dựng cơ sở của không gian Vn, đầu tiên chúng ta xây dựng một

cơ sở trực chuẩn của V0 Cho B(x) là hàm hộp được xác định bởi côngthức

fn,k(x) = 2n/2f (2nx − k), k ∈ Z, n ∈ Zviết tắt là f0,k hoặc fk Hệ {Bn, k}k∈Z khi đó trở thành cơ sở trực chuẩncủa Vn

Ta tìm một cơ sở trực giao của W0 Ta định nghĩa hàm Haar như sau

Chứng minh

Ta cần chứng rằng các hàm Hk(x) = H (x − k) , k ∈ Z tạo thànhmột cơ sở trực chuẩn của W0 Ta có {Hk(x)}

k∈Z là một hệ trực chuẩntrong W0 Ta chứng minh nó cũng là một cơ sở của W0

Cho g là một hàm trong W0 Khi đó g ∈ V1 và có một dãy (ck) ∈ l2sao cho

n,m∈Z tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2 Cơ sở{ψn,m}

n,m∈Z sinh từ ψ được gọi là cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn của L2.Một cách tổng quát ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.2 Một hàm ψ ∈ L1 được gọi là một sóng nhỏ nếu

Z

R

ψ (x) dx = 0

2.2 Phân tích đa phân giải

2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải

Định nghĩa 2.2.1 Một phân tích đa phân giải (viết tắt là MRA) của

L2 là một nhóm các không gian con của L2

Khi {φm}m∈Z là một cơ sở chưa có điều kiện của V0 ta có {φn,m}

m∈Z

là một cơ sở không có điều kiện của Vn

Từ φ ∈ V0 suy ra nó cũng thuộc V1, ta có thể mở rộng φ thànhmột tổ hợp tuyến tính của các cơ sở của V1:

φ (x) = 2X

m∈Z

h(m)φ(2x − m), (h(m))m∈Z ∈ l2

trong đó dãy hệ số (h(m)) là trong l2 vì {φ1,m} là một cơ sở không cóđiều kiện của V1 Phương trình trên gọi là phương trình lọc (hay phươngtrình tinh chế).

Định nghĩa 2.2.2 Một hàm φ ∈ L2 thỏa mãn phương trình lọc được gọi

là một hàm scaling Dãy các hệ số (h(n))n∈Z được gọi là mặt nạ của φ,chuỗi H(z) := P

m∈Zh(m)zm được gọi là dấu của φ Nếu {φ(x − n)}n∈Z

là một hệ trực chuẩn, thì φ được gọi là một hàm scaling trực chuẩn

2

Từ φ ∈ L2, ta có

ˆφ

φ (ω + 2kπ)

2

∈ ˜L1

Hệ số Fourier thứ k của F (ω) là

ck = 12π

Z 2π 0

X

k∈Z

ˆ

φ (ω + 2kπ)

... class="page_container" data-page="29">

2.2 Phân tích đa phân giải< /h3>

2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải

Định nghĩa 2.2.1 Một phân tích đa phân giải (vi? ??t tắt MRA)

L2... data-page="30">

trong dãy hệ số (h(m)) l2 {φ1,m} sở khơng cóđiều kiện V1 Phương trình gọi phương trình lọc (hay phươngtrình tinh chế).

Định nghĩa 2.2.2 Một hàm...

n,m∈Z sinh từ ψ gọi sở sóng nhỏ trực chuẩn L2 .Một cách tổng quát ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1.2 Một hàm ψ ∈ L1 gọi sóng nhỏ

Z

R