Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương... Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương..[r]
Trang 1NHÓM 5
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình trên R và trên C:
a/ 4x 3 – 36x 2 + 84x – 20 = 0 ( 1 )
* Trên R
( 1 ) x3 – 9x2 + 21x – 5 = 0
(x – 5)( x2 – 4x + 1) = 0
x = 5
x2 – 4x + 1 = 0
x = 5
x = 2 - 3
x = 2 + 3
* Trên C
Đặt y = x – 3 x = y + 3 Khi đó ta được :
( y + 3)3 – 9( y + 3)2 + 21( y + 3) – 5 = 0
y3 – 6y+ 4 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v Khi đó :
( 2 ) ( u + v)3 – 6(u + v) + 4 = 0
u3 + v3 – 3uv( u + v) – 6( u + v) + 4 = 0 u3 + v3 + 4 + ( u + v)( -3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ: u3 + v3 = -4
-3uv – 6 = 0
u3 + v3 = -4
u3v3 = -8
u3, v3 là nghiệm của phương trình: t2 + 4t – 8 = 0
t = -2 + 2 3 u3 = -2 + 2 3
t = -2 - 2 3 v3 = -2 - 2 3
Chọn u1 = 3 2 2 3 u2 = u1 ; u3 = 2u1
v1 = 3 2 2 3 v2 = 2v1; v3 = v1 Nghiệm của (2) là:
Lop10.com
Trang 2y1 = u1 + v1 = 3 2 2 3+ 3 2 2 3
y2 = u2 + v2 = 3 2 2 3 ( - + i12 3) + ( - - i )
2
3 2 2 3 12 3
2
y3 = u3 + v3 = 3 2 2 3 (- - i12 3) + (- + i )
2
3 2 2 3 12 3
2
Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x 1 = y 1 + 3 = 3 2 2 3 + 3 2 2 3 + 3
x 2 = y 2 + 3 = 3 2 2 3 ( - + i1 ) + ( - - i ) + 3
2
3 2
3 2 2 3 1
2
3 2
x 3 = y 3 + 3 = 3 2 2 3 (- - i1 ) + (- + i ) + 3
2
3 2
3 2 2 3 1
2
3 2
b) x3 x 6 0 (1)
Đặt xuv ta được (uv) 3 (uv) 6 0
u3 v3 6 (uv)( 3uv 1 ) 0
Ta tìm u,v thoả
3
1 6
3 3
uv
v u
27
16
3 3
3 3
v u
v u
Vậy u,v là nghiệm của phương trình 0 có nên
27
1 6
t
27
242
'
27
242 3
27
242 3
t t
27
242 3
27
242 3
3
3
v
u
3 1
27
242
3
2
27
242
3
u
1
u 2 1
u 2 1
v v3 v1
2
3 2
1
i
2
3 2
1
2 i
nghiệm của phương trình (1) là:
3 3
3 3
3
3
3
3 3
3 3
2
2
2
3 3
1 1 1
27
242 3
27
242 3
2
3 27
242 3
27
242 3
2 1
27
242 3
27
242 3
2
3 27
242 3
27
242 3
2 1
27
242 3
27
242 3
i v
u
x
i v
u
x
v u x
Lop10.com
Trang 3d) x 3 + 3x 2 - 6x + 4 = 0 (1)
Đặt y = x + 1 x = y – 1 Ta được
(y – 1)3 + 3(y – 1)2 – 6(y – 1) + 4 = 0 y3 – 9y + 12 = 0 (2)
Đặt y = u + v, ta được (u + v)3 – 9(u + v) + 12 = 0
u3 + v3 + 12 + (u + v)(3uv – 9) = 0
u3 + v3 + 12 = 0
Ta tìm u, v thỏa
3uv – 9 = 0
u3 + v3 = -12
u3v3 = 27
u3 ,v3 là nghiệm của t2 + 12t + 27 = 0
t = -9 u3 = -9
Có ∆’ = 9
t = -3 v3 = -3
ta chọn u1 = - 3 9, v1 = - 3 3
u2 = .u1 , u3 = 2.u1, v2 = 2.v1, v3 = .v1 trong đó,
= - + i.12 3, 2 = - - i
2
1 2
3 2
Khi đó, nghiệm của (2) là y1 = u1 + v1 , y2 = u2 + v2 , y3 = u3 + v3
và nghiệm của (1) là
x1 = y1 – 1 = -3 9 - 3 3 - 1
Lop10.com
Trang 4x2 = y2 – 1 = -3 9 (- + i1 ) - (- - i ) – 1
2
3 2
3 3 1
2
3 2
x3= y3 – 1 = -3 9 (- - i1 ) - (- + i ) – 1
2
3 2
3 3 1
2
3 2
e) x3 6 x 9 0
Phương trình có nghiệm trong R là: x = -3
Phương trình có nghiệm trong C là :
3
2
2
x
i x
i x
f) x3 9 x2 18 x 28 0
Giải
3
2
2
3
2
2
x
x
i x
i x
2
2
9 18 28 0
( 7)( 2 4) 0
7 0
2 4 0 7
1 3
1 3
x x x
x x x
x
x x
x
x i
x i
Lop10.com
Trang 5Phương trình có nghiệm trong R là: x=-7
Phương trình có nghiệm trong C là:
7
x
g/ x 3 – 3x 2 – 3x + 11 = 0 ( 1 )
* Trên R : Tự giải
* Trên C :
Đặt y = x - 1 x = y + 1 Thay vào ( 1 ) ta được :
( y + 1)3 – 3( y + 1)2 – 3( y + 1) + 11 = 0
y3 – 6y + 6 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v , ta được :
( u + v)3 – 6( u + v) + 6 = 0
u3 + v3 + 6 + ( u + v)( 3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ:
u3 + v3 + 6 = 0 u3 + v3 = -6
3uv – 6 = 0 u3v3 = 8
u3, v3 là nghiệm của phương trình: t2 + 6t + 8 = 0
t = -2 u3 = -2
t = - 4 v3 = -4
u1 = -3 2 ; u2 = u1 ; u3 = 2u1
Chọn
v1 = -3 4 ; v2 = 2v1; v3 = v1
Nghiệm của ( 2 ) là:
y1 = u1 + v1 = -3 2 - 3 4
y2 = u2 + v2 = -3 2 ( - + i1 ) - ( - - i )
2
3 2
3 4 1
2
3 2
Lop10.com
Trang 6y3 = u3 + v3 = -3 2( - - i1 ) - ( - + i )
2
3 2
3 4 1
2
3 2
Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x1 = y1 + 1 = -3 2 - 3 4 + 1
x2 = y2 + 1 = -3 2 ( - + i1 ) - ( - - i ) + 1
2
3 2
3 4 1
2
3 2
x3 = y3 + 1 = -3 2( - - i1 ) - ( - + i ) + 1
2
3 2
3 4 1
2
3 2
Bài 2 : Giải các phương trình trên R và trên C:
b x4 4 x3 3 x2 2 x 1 0 (1)
Đặt y x 1 x y 1 Ta được
4 3 2
y y y y
Đặt t y2 từ phương trình (2) ta được
có nên
t t 5
2 2
Vậy (2) có 4 nghiệm là
1
2
2
2
y
3
2
4
2
y
Vậy (1) có 4 nghiệm
1
1
2
2
1
2
3
3 5 1
2
4
3 5 1
2
Lop10.com
Trang 7c) x4 2 x3 8 x2 2 x 7 0 (1) trên C
y x x y
Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là 0
Giải phương trình chọn 1 ta được:
2
2
5
0
0
Giải ra có 4 nghiệm y là:
Ta lại có 1 nên suy ra các nghiệm x là:
2
x y
Lop10.com
Trang 81 1
2 2
3 3
4 4
i
i
i
i
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 2 3 4
x i
d) x4 2 x3 8 x2 2 x 7 0 (1) trên C
y x x y
Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là 0
Giải phương trình chọn 1 ta được:
2
Lop10.com
Trang 99
0
0
Giải ra có 4 nghiệm y là:
Ta lại có 3 nên suy ra các nghiệm x là:
2
x y
1 1
2 2
3 3
4 4
1
1
2 2 2
2 2 2
i
i
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 2 3 4
1 1
2 2 2
2 2 2
x i
x x
e) x4 2x32x2 4x 8 0
Giải
Lop10.com
Trang 10Đặt 1 suy ra:
2
x y
Chọn sao cho vế phải là một dạng bình phương, tức là chọn sao cho y = 0
2
Chọn 1 , vậy ta được:
4
2
2
4 0
1 0
y y
y y
Trong R phương trình có nghiệm là :
5 2 5 2
x x
Lop10.com
Trang 11Trong C phương trình có nghiệm là:
2
2 5 2 5 2
i x
i x
x x
f) x4 x3 x2 2x 2=0 (1)
Đặt y x41 suy ra Thế vào (1) ta được:
4
1
y x
0 2 ) 4
1 ( 2 ) 4
1 ( ) 4
1 ( ) 4
1 (y 4 y 3 y 3 y
64
131 8
11 8
11 2
) 16
11 ( 2 2 2 2
Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là
0 ) 64
131 8
11 (
2 ) 16
11
(
0 256
121 32
131 4
11
2 3 2
Giải phương trình trên chọn 81 ta được
64
131 8
1 8
11 ) 8
1 ( 8
11 8
1 2 )
8
1
16
11
(y2 2 y2 y 2
2 2
8
11 2
1 ( )
16
9
8
11 2
1 16
9
8
11 2
1 16
9
2
2
y y
y y
0 16
31 2
1
0 16
13 2
1
2
2
y
y
y
y
0 31 8 16
0 13 8 16 2
2
y y
y y
Giải ra ta được 4 nghiệm y đó là :
0
Lop10.com
Trang 12;
16
3 8 4
2
i
16
3
8
4
1
i
y
; 16
2 16
4
3
y
16
2 16 4
3
y
Ta lại có x y14 nên suy ra các nghiệm x là :
4
1 16
3 8 4 4
1
1
x
4
1 16
3 8 4 4
1
2
x
4
1 16
2 16 4 4
1
3
x
4
1 16
2 16 4 4
1
4
x
g) x4 6x3 6x2 27x 56 0 (1)
Đặt y x23 x y 23 Thế vào phương trình (1) ta được:
0 56 ) 2
3 ( 27 ) 2
3 ( 6 ) 2
3 (
6
)
2
3
(y 4 y 3 y 2 y
0 16
275 18
2
15 2
4
125 2
15 18
2 ) 2
15
( 2 2 2 2
Ta chọn sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là
) 4
125 2
15 ( 2 9
0 81 2
125 15
2 3 2
Giải phương trình trên chọn 2 Ta được
4
81 18 4
)
2
4
15
(y2 2 y2 y
2 2
2
9 2 ( )
4
7
2
9 2
4
7
2
9 2
4
7
2
2
y y
y
y
0 25 8 4
0 11 8 4 2
2
y y
y y
Giải ra ta được 4 nghiệm y là :
; 4
7
2
4
1
i
y
4
7 2 4
2
i
y
; 4
116
4
3
y
4
116 4
3
y
Lop10.com
Trang 13Ta lại có x y 23 Ta suy ra các nghiệm x là:
2
3 4
7 2 4 2
3
1
x
2
3 4
7 2 4 2
3
2
x
2
3 4
116 4
2
3
3
x
2
3 4
116 4
2
3
4
x
h/ x 4 + 2x 3 – 2x 2 + 6x – 15 = 0 ( 1 )
* Trên C :
( 1 ) x4 + 2x3 + x2 – 3x2 + 6x – 15 = 0
( x2 + x)2 = 3x – 6x + 15
( x2 + x)2 + 2( x2 + x)y + y2 = 3x2 – 6x + 15 + 2( x2 + x)y + y2
( x2 + x + y)2 = ( 2y + 3)x2 + ( y – 3)2x +( y2 + 15) ( 2 )
Tìm giá trị của y sao cho vế phải của phương trình là một phương trình bậc 2: ( 2): ( y – 3)2 – ( 2y + 3)( y2 + 15) = 0
y2 – 6y + 9 – ( 2y3 + 3y2 + 30y + 45) = 0
y3 + y2 + 18y + 18 = 0 ( 3 )
Ta có nghiệm của ( 3 ) là y = -1.Thay vào ( 2 ) ta được :
( x2 + x – 1)2 = x2 – 8x + 16
( x2 + x – 1)2 = ( x – 4 )2
x2 + x – 1 = x - 4 x2 = -3 = 3i2
x2 + x – 1 = - x + 4 x2 + 2x – 5 = 0
x1 = i 3
x2 = - i 3
x3 = -1 + 6
x4 = -1 - 6
Lop10.com
Trang 14i) x4 2 x3 4 x4 2 x 3 0
Đặt 1 ta được:
2
x y
4 2
0
Chọn sao cho vế phải có dạng bình phương, tức là chọn sao cho y =0
Chọn 1 , vậy ta được
2
2
2
4
4
4
4
2 4
4
2 4
4
y y
y y
i
x i
x i
y
Trong R phương trình vô nghiệm
Lop10.com
Trang 15Trong C phương trình có bốn nghiệm là:
4
4
i x
i x
x i
x i
Lop10.com