- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được tính điểm..[r]
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 01 trang
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức: A
2 2
: 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Cho biết: x22016y2 2017xy Hãy tính giá trị của biểu thức A
Câu 2 (5,0 điểm)
a) Thực hiện phép tính: B =
23 3 5
-b) Giải phương trình: 3
x2+5 x+4+
2
x2+10 x +24=
4
3+
9
x2+3 x −18
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 16x28x 1 16x2 24x9
Câu 3 ( 4,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 3x25y2 255
b) Cho a, b và c là ba số dương thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:
a b b c c a
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF
a) Chứng minh rằng: AE BC
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC Chứng minh rằng: 2 2 2
c) Gọi I là giao điểm của AC và DF, kẻ IK vuông góc với AB Biết MD = 6 2 cm,
MF = 3 2cm Tính độ dài đoạn thẳng IK
Câu 5 ( 1,0 điểm)
Trên cùng một mặt phẳng cho 4037 điểm, biết rằng 3 điểm bất kì trong 4037 điểm trên luôn chọn được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong các điểm nói trên có ít nhất 2019 điểm nằm trong đường tròn bán kính bằng 1
-HẾT -ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh SBD: phòng thi
NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN
Hướng dẫn chấm gồm 04 trang
1
a
A
2 2
: 1
: 2
2 2
x y x y x y
2 2
x y x y x y
x y
x y
b
Ta có: x22016y2 2017xy x y x 2016y 0 0,5 2016
x y
Từ điều kiện, ta có khẳng định 2016
x y
Khi đó:
A =
y
Vậy:
2017
A =
Ta có:
B
2 23 3 5
=
4 2 3 8 2 15 2 5 B
46 6 5
=
2
B
3 5 1
=
-0,5
HDC – T9
Trang 3
B
3 5 1
=
3 5 1
3 5 1
b
Ta có: 3
x2+5 x+4+
2
x2 +10 x +24=
4
3+
9
x2+3 x −18
0,25
4x2 8x 0 4x x 20 x = 0 hoặc x = 2 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
c
Ta có: C = 16x28x 1 16x2 24x9
C = 4x 1 3 4x 4x 1 3 4x 4 0,5
C = 4
(4 1)(3 4 ) 0
Vậy GTNN của C là 4 khi
4 x 4
3 a
Ta có: 3x2 5y2 2553x2 255 -5y2 0,25
85 x 85;do x -9 x 9 (1)
Mặt khác: vì 5y25; 255 5 3x25 x25 x5 (2) 0,25
Với x 5 y6
Với x 0 y2 51 (loại)
Với x 5 y6
0,5
3 b Ta có: a22b2 3 (a2b2) ( b21) 2 2 ab2b2 0,25
Tương tự:b22c2 3 2bc2c2, c22a2 3 2ac2a2 0,25
Trang 4Suy ra:
Ta có :
1 1 1
ab b
ab b
Vậy:
.1
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1
0,25
4
Ta có hình vẽ:
K
I O
D
C
B
F E
H
a
Chứng minh được: ∆AME = ∆CMB (c-g-c) EAM· =BCM· 1,0
Mà ·BCM + ·MBC = 900 ·EAM + ·MBC = 900 ·AHB = 900 0,75
b
Gọi O là giao điểm của AC và DM
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
∆DHM vuông tại H ·DHM = 900
0,25
Suy ra: ·DHM + ·MHF = 1800 ba điểm D, H, F thẳng hàng 0,5
Trang 5Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao vào ∆DMF, ta có: 2 2 2
c
Ta có: ·DMF = 900 MF DM mà IO DM IO // MF 0,25
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF
0,25
Vì IK AB (KAB) nên IK // AD // BF IK là đường trung bình của hình thang
Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông cân AMD và BMF, tính được:
Vậy
6 3
4,5
AM BM
5
Gọi A là 1 trong 4037 điểm đã cho Vẽ đường tròn tâm A bán kính là 1.
Kí hiệu ( )A,1
+) Nếu tất cả 4036 điểm còn lại đều nằm trong đường tròn này thì bài toán được
giải quyết
0,25
+) Giả sử B nằm ngoài đường tròn ( )A,1
Khi đó, AB >1, vẽ đường tròn tâm B bán kính bằng 1, kí hiệu là ( )B,1
Gọi C là điểm điểm bất kì trong 4035 điểm còn lại
0,25
Do A B C, , là ba điểm bất kì và AB >1 nên theo giả thiết hoặc AC <1 hoặc
1
BC < Nên C nằm trong ( )A,1
hoặc ( )B,1
Do đó, 4035 điểm còn lại nằm trong ( )A,1
và ( )B,1
0,25
Theo nguyên lí Dirichlet một trong hai đường tròn này chứa ít nhất
4035 1 2018
2
ë û điểm còn lại nhưng tính cả điểm A hoặc B ta có 1 đường tròn
trên ít nhất 2019 điểm
0,25
Lưu ý:
- Nếu học sinh làm bài theo cách khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn cho điểm tối
đa của bài đó
- Đối với bài hình học, nếu học sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không được tính điểm.