Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a... 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a...
Trang 1SỞ GD&ĐTThanhhoá
Môn Thi : TOÁN 2
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số y x= −3 2(m−1)x2+9x+ −2 m (1)
1) Với m=4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2) Tìm m (m∈ ¡ ) để hàm số (1) đạt cực trị tại x x1, 2thoả mãn x1−x2 =2
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 cos 2 - sin( x x)+cosx(2sinx+ =1) 0
2) Giải phương trình 2 5
1
2
x= x − x∈ ¡
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
2
2 6
cos I
sin 3 cos
x dx
π
π
=
+
∫
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ và 3
2
a
AG= Mặt phẳng (BB’C’C) tạo với (A’B’C’) góc 60 0 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y−20 0,= d2: 4x−3y− =10 0
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) đi qua A(1; 3) − , tiếp xúc với d1 và có tâm nằm trên d2
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S), 2 đường thẳng d d1, 2 có phương trình (S):
2 2 2 4 4 2 16 0
x +y + −z x− y+ z− = 1 2
3
1 2
x t
= +
Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d d1, 2 và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3
Câu 7: ( 1,0 điểm).
Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z+ = 2 0
Tính 2010 2010
1 2
A z= +z
Câu 8: (1,0 điểm)
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 2 2 2 4
3
x +y +z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2(xy yz xz) 3
x y z
+ +
………….………Hết………
Chúc các em thành công !
Trang 2TRƯỜNG THPT Vĩnh Lộc ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn Thi : TOÁN ; 3
Câu 1: ( 2,0 điểm)
Cho hàm số 2 1
1
x y x
−
=
− có đồ thị (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Tìm m (m∈ ¡ ) để đường thẳng y x m= + cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB=4
Câu 2: (2,0 điểm)
1) Giải phương trình 3 cos 2x+2cosx(sinx− =1) 0
2) Giải phương trình 22 1 4 2
2
2
x
Câu 3: (1,0 điểm)
Tính tích phân
1 0
2 I
1
x dx x
= +
∫
Câu 4: (1,0 điểm)
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a, đáy ABC là tam giác đều, hình chiếu của
A trên (A’B’C’) trùng với trọng tâm G của ∆A’B’C’ Cạnh bên tạo với đáy góc 60 0 Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Câu 5: (1,0 điểm)
Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+4y−20 0,= d x y2: + + =1 0
Viết phương trình đường tròn (C) biết rằng (C) có bán kính R=5, tiếp xúc với d1và có tâm nằm trên d2
Câu 6: ( 1,0 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình
(S): 2 2 2
x +y + −z x− y+ z− = ( ) : 2P x y+ − 2z+ = 1 0
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (Q) bằng 3
Câu 7: ( 1,0 điểm).
Cho số phức z thoả mãn (1 +i 3) z= 4i Tính z2010
Câu 8: (1,0 điểm)
Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 2 2 2 4
3
x +y +z =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z 3 ( ) 4
x y z
= + + + + +
………….………Hết………
Trang 3Híng dÉn chÊm
Câu1
(2,0đ)
1)1,0 đ 1) m= ⇒ = −4 y x3 6x2+9x−2
2 Sự biến thiên của hàm số
* Giới hạn tại vô cựccủa hàm số.
2 3
lim
x
x
x x x y
→+∞
→−∞
= −∞
* Lập bảng biến thiên
' 3 12 9; ' 0
0,25
* Lập bảng biến thiên
bảng biến thiên
y
2 +∞
-∞ -2
0,25
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
0.25
3 Đồ thị
- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x=0=>y=-2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;0) làm tâm đối xứng
3 2 1
-2
2 x
y O
0,25
Trang 42)1,0đ 2)Ta có y' 3= x2−4(m−1)x+9
y’ là tam thức bậc hai nên hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 khi và chỉ khi y’có hai
nghiệm phân biệt
2
3 3 1 2
3 3 1 2
m m
m
> +
⇔ ∆ = − − > ⇔
< −
0,25
Theo viét 1 2 1 2
4( 1)
3
m
x + =x − x x =
Khi đó
2
16( 1)
12 4
9
m
−
0,25
4
m m
m
= −
Câu 2:
(2,0đ) 1)Giải phương trình 3 cos 2 - sin( x x)+cosx(2sinx+ =1) 0
sin 2 3 cos 2 3 sin cos
0,25
sin 2 cos cos 2 sin sin cos cos sin
sin(2 ) sin( )
0,25
k
+ = − +
+ = − − +
¢
0,25
2
k k x
= − +
= +
¢
KL
0,25
1)1,0đ
2)Giải phương trình 2 5
1
2
x= x − x∈ ¡ (1) ĐKXĐ:x>0
1 ⇔ log 2x= 5log x− 1
0,25
2
2
0,25
Trang 5Đặt t=log2x (1) trở thành
2
t
t t
t
=
− + = ⇔ =
0,25
t=1 ta có log2x=1⇔x=2
t=2 ta có log2x=2 ⇔x=4
kết hợp với ĐKXĐ⇒ phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=2 và x=4
0,25
Câu 3:
(1,0đ) Tính tích phân:
I
sin 2 x= − 1 cos 2x= − 4 t2
0,25
2
s inx cos
4
dx
t
− +
x= ⇒ =π t
3 2
x= ⇒ =π t
0,25
15
3 2
4 t
t
1 2
1 ( 4
15
3 + − −
15 3
2
2 ln 4
1
−
+
t
2 3
2 3 ln 4 15
4 15 (ln 4
1
−
+
−
−
+ = (ln( 15 4 ) ln( 3 2 ))
2
1
+
−
Câu 4:
(1,0đ)
H
G
M'
M
C'
B' A'
C
B A
a
gọi M,M’ lần lượt là trung điểm BC,B’C’⇒A’,G’,M’ thẳng hàng và AA’M’M là hình bình
hành A’M’⊥ B’C’, AG⊥B’C’ ⇒B’C’⊥(AA’M’M)⇒góc giữa (BCC’B’) và (A’B’C’) là
góc giữa A’M’ và MM’ bằng M MA· ' =600
0,25
Trang 6∆ABC đều cạnh x có AM là đường cao ⇒ 3 ' ', ' 2 3
AM = = A M A G= AM = Trong∆AA’G vuông có AG = A’Gtan600 = x; 3
2
a x
⇒ =
ABC
thể tích khối lăng trụ là ' ' ' . 3 3 2 3 9 3
ABC A B C ABC
Câu 5:
(1,0đ) d2 đi qua M(4;2) và có vectơ chỉ phương ur=( )3; 4 nên có phương trình tham số là
4 3
2 4
t
= +
= +
Giả sử I(4 3 ;2 4 )+ t + t ∈d2 là tâm và R là bán kính của đường tròn (C)
0,25
Vì (C) đi qua A(1;-3) và tiếp xúc với d1nên
1 ( , )
IA d I d= =R
3(4 3 ) 4(2 4 ) 20
IA d I d= ⇔ + t + + t = + + + − = t
+
0,25
29
t= − ⇒I − ⇒ =R IA= ta được phương trình đường tròn
( ): 65 2 10 2 7225
C x− + y+ =
0,25
Câu 6:
(1,0đ)
(S):x2+y2+ −z2 4x−4y+2z− =16 0 1 2
3
1 2
x t
= +
(S) có tâm I(2;2;-1) bán kính R=5
1
d đi qua điểm M1 (1;-1;1) có véc tơ chỉ phương là uuv1= −( 1;4;1)
2
d đi qua điểm M2(3;0; 1)− có véc tơ chỉ phương là uuuv2 =(1;2; 2)
( 4 1 1 1 1 4 )
1 2 2 2 2 1 1 2
[ , ]u uu uuv v = ; − ; − =(6;3; 6) 3(2;1; 2)− = −
0,25
Gọi (P) là mặt phẳng song song với d d1, 2 ⇒(P) nhận 1[ , ]=(2;1;-2)1 2
u uu v v
làm véc tơ phép tuyến
⇒phương trình của (P):2x y+ − 2z D+ = 0.
( ,( )) 3
d I P = | 2.2 1.2 2( 1)2 2 2 | 3
D
+ + −
0,25
1
| 8 | 9
17
D D
D
=
⇔ + = ⇔ = −
D=3⇒phương trình của (P1):2x y+ − 2z+ = 1 0
D=-15⇒phương trình của (P2):2x y+ − 2z− 17 0 =
0,25
Trang 7ta thấy M1,M2 không thuôc ( )P2 nên ( )P2 thoả mãn đề bài
1(1; 1;1)
M − nằm trên ( )P1 nên ( )P1 chứa d1 ⇒( )P1 :2x y+ − 2z+ = 1 0 loại.
Vậy phương trình của (P) thoả mãn đề bài là2x y+ − 2z− 17 0 =
0,25
Câu 7:
(1,0đ) Xét phương trình z2−2z+ =2 0 (1)
(1)có ∆=-1<0 nên (1) có 2 nghiệm phức là 1
2
1 1
z i
= −
= +
0,25
( )2 1005 ( )1005 ( )502
z = −i = − i = − i i= − i
Tương tự
2010 1005
2 2
0,25
2010 2010 1005 1005
Câu 8:
t= + + ⇒ = +x y z t xy yz zx+ + ⇒ xy yz zx+ + = −t
Ta có
2
3 4 3
A t
t
= + −
0,25
Xét hàm số 2 3 4
( )
3
f t t
t
= + − trên 2 3;2
3
3
2 2
3
t
−
= − = > ∀ ≥
Hàm số f(t) đồng biến trên 2 3; 2
3
do đó
25
6
f t ≤ f = Dấu đẳng thức xảy ra khi t=2
0,5
Do đó 25
6
A≤ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ( )2 2 2 2
2
3
2
x y z
x y z
+ + =
Vậy giá trị lớn nhất của A là 25
6
0,25