ĐỀ THI THỬ ĐH LÂN 1 TRƯỜNG LIỄN SƠN VP KA

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y= − +x m cắt đồ thị C của hàm số 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị C tại A và B song song với nhau.. 2 điểm Trong

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

-KỲ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 1

ĐỀ THI MÔN : TOÁN – KHỐI A Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

-I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 ĐIỂM)

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

2 1 2

x y x

+

=

−

(1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

2 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y= − +x m

cắt đồ thị (C) của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A và B song song với

nhau

Câu II (2 điểm)

1 Cho phương trình : 9x+1 − 24.6x+(m+ 1 4) x+1 = 0

(m là tham số) Tìm tất cả các giá trị

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2

,

x x

thỏa mãn 1 2

0

x + =x

2 Giải phương trình : sin 2010x c+ os 2010x= 2 sin( 2012x c+ os 2012x)

Câu III (1 điểm) Tìm giới hạn sau :

( )

1

3 7 4 lim

1

x x

x

+

→−

+

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A,

2

AB a=

Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu H của đỉnh S trên mặt đáy (ABC)

thỏa mãn IA= −2IH

uur uuur

, góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB đến mặt phẳng (SAH)

Câu V (1 điểm) Cho

, ,

x y z

là các số thực dương thỏa mãn

x +y +z =

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : K = 3x2 + 7y+ 5(y z+ +) 7z+ 3x2

II PHẦN TỰ CHỌN (3 ĐIỂM) Thí sinh chọn một trong hai phần (A hoặc B)

A Theo chương trình chuẩn

Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

1 Cho hai đường thẳng: d1: 2x-y-2=0 ; d2: x+y+3=0 và điểm M=(3;0) Viết phương

trình đường thẳng d đi qua M và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho

MA=MB

2 Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng 2x-y-4=0 và tiếp xúc

với các trục tọa độ

Câu VIIa (1 điểm) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và 3 đường thẳng song

song với AB, 4 đường thẳng song song với BC, 5 đường thẳng song song với CA Có

bao nhiêu hình bình hành tạo ra từ các đường thẳng đó

ĐỀ CHÍNH THỨC

B Theo chương trình nâng cao

Câu VIb (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M=(2;1) và tạo với các trục tọa độ một

tam giác có diện tích bằng 4

2 Cho elip (E):

2

2 1 9

x y

, parabol (P):

2 2

y x= − x

Chứng minh rằng (E) và (P) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn, viết phương trình đường

tròn đó

Câu VIIb (1 điểm) Xác định hệ số của số hạng chứa

3 4 5 6

x y z t

trong khai triển

x y z t+ + +

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL THI ĐẠI HỌC LẦN THỨ 1

MÔN TOÁN – KHỐI A

-(Hướng dẫn chấm có 06 trang)

Câu

I

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 1 2

x y x

+

=

−

(1 điểm)

a TXĐ : D R= \ 2{ }

b Sự biến thiên

* Chiều biến thiên

, ( )2

5

2

x

−

= < ∀ ≠

−

, suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞ ;2)

và (2; +∞)

* Cực trị : Hàm số không có cực trị

0.25

* Các giới hạn :

2 1

2

x y

x

+

−

, suy ra y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị

2 1 lim lim

2

x y

x

+

−

, suy ra x=2

là tiệm cận ngang của đồ thị

0.25

* Bảng biến thiên

x −∞ 2 + ∞

y 2

−∞

+∞

2

0.25

c Đồ thị

Giao Ox tại

1

;0 2

− 

; giao Oy tại

1 0;

2

 − 

Tâm đối xứng I =( )2; 2

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

2 4 6 8 10 12 14

x

y

0.25

2 Tìm tất cả các giá trị m để đường thẳng

y= − +x m

cắt đồ thị (C) tại hai điểm

phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau (1 điểm)

Xét phương trình :

2 1

x

x m

 + = − + ⇔  

2

x mx m x



0.25

Đường thẳng

y= − +x m

cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2

2

m





0.25

Giả sử A, B có hành độ là 1 2

,

x x

thì 1 2

,

x x

là hai nghiệm phân biệt của (*) Tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A và B song song với nhau

, do 1 2

x ≠ x

0.25

Theo viet thì

2

m

x + =x

, khi đó ta được :

2

m

m

− = ⇔ =

(loại) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

0.25

Câu

II 1 Tìm m để phương trình 9x+1 − 24.6x+(m+ 1 4) x+1 = 0

(1) có 2 nghiệm 1 2

,

x x

thỏa mãn

x + =x

(1 điểm)

(1)

Đặt

1

3 2

x

t

+

 

=  ÷ 

, do x R∈

nên t>0

, (1) trở thành

t − + + =t m

(2)

0.25

Nhận xét :

1 2

9 4

t t

, trong đó 1 2

,

t t

là 2 nghiệm của phương trình (2)

0.25

Do đó phương trình (1) có nghiệm 1 2

,

x x

thỏa mãn 1 2

0

x + =x

khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương 1 2

,

t t

thỏa mãn

1 2

9 4

t t =

5

4 0

4

1

Kết luận :

5 4

m=

là giá trị cần tìm

0.5

2 Giải phương trình : sin 2010x c+ os 2010x= 2 sin( 2012x c+ os 2012x)

(*) (1 điểm)

Phương trình (*)

sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x 0 sin x c os2x cos x c os2x 0

( 2010 2010 )

0.5

,

4 2

x π kπ k Z

0.25

Kết luận : Phương trình đã cho có nghiệm là

,

4 2

x= +π kπ k Z∈

Câu

III

Tìm giới hạn :

( )

1

3 7 4 lim

1

x x

I

x

+

→−

=

+

(1 điểm)

Ta có

( )

x

I

+

0.25

( )

3 1

2

1

x

e

x

+

−

+

0.5

Câu

IV

Hình chóp S.ABC… (1 điểm)

Ta có IAuur= −2uuurIH⇒

H thuộc tia đối của tia IA , IA = 2IH

BC = AB 2 = a

; AI= a; IH= 2

IA

= 2

a

AH = AI + IH = 2

3a

0.25

5 45

cos

2 2

HC AH

AC AH

AC

Vì SH ⊥( ABC)⇒

0

60 ))

(

;

2

15 60

tan 0 a HC

0.25

6

15 2

15 )

2 ( 2

1 3

1

3

2

a a

a SH

S

)

(SAH

BI SH

BI

AH BI

⊥

⇒







⊥

⊥

1 ) (

; ( 2

1 )) (

; ( 2

1 ))

(

; (

)) (

;

BI SAH

B d SAH

K d SB

SK SAH

B d

SAH K

0,25

B A

S

K

I

C

H

V Tìm GTLN của biểu thức K = 3x2 + 7y+ 5(y z+ +) 7z+ 3x2

với

, ,

x y z

là các số thực dương thỏa mãn

x +y +z =

(1 điểm)

Ta có :

K ≤  x + y z+ = x + y z+ 

0.25

Xét hàm số :

f x =x + −x x∈ − 

Có :

( )

( )

'

2

4 2

2 3

x

f x x

x

−

( )

1 3; 3

x x



f ( )± 3 = 3;f ( )0 = 2 6; f ( )± = 1 5

Suy ra

3; 3

∈ −  = ± = ⇒ f x( ) ≤ ∀ ∈ −5 x  3; 3 

0.5

Khi đó ta được

, dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 Vậy maxK =3 10 đạt được khi x=y=z=1

0.25

Câu

VIa

1 Viết phương trình đường thẳng … (1 điểm)

Giả sử A=(m;n) thì B=(6-m;-n), do A nằm trên d1 và B nằm trên d2 nên :

11

3

m

n

 =





Suy ra

11 16 7 16

A=  B= − 

0.5

Ta có

( )

4 32 4

AB= − − = −

uuur

và phương trình đường thẳng cần tìm là

8(x− − 3 1) (y− = ⇔ 0) 0 8x y− − 24 0 =

0.5

2 Viết phương trình đường tròn (1 điểm)

Gọi I và R là tâm và bán kính đường tròn (C) cần tìm

Do I nằm trên đường thẳng 2x y− − =4 0 nên I có tọa độ dạng I=(a a;2 − 4)

Do đường tròn (C) tiếp xúc với các trục tọa độ nên d(I;Ox)=d(I;Oy)=R

4

2 4

2 4

3

a

=



0.5

Với a=4

thì I=(4;4), R=4 và phương trình đường tròn (C) là ( ) (2 )2

x− + y− =

Với

4 3

a=

thì I=

; ,

3 3 R 3

và phương trình đường tròn (C) là

 −  + +  =

0.5

Câu

VIIa

Tìm số hình bình hành … (1 điểm)

Có 3 trường hợp sau

*Hình bình hành có 2 cạnh đối song song với AB, 2 cạnh đối còn lại song song

với BC Trường hợp này có

2 2

3 4 3.6 18

hình bình hành

0.25

*Hình bình hành có 2 cạnh đối song song với BC, 2 cạnh đối còn lại song song

với CA Trường hợp này có

2 2

4 5 6.10 60

hình bình hành

0.25

*Hình bình hành có 2 cạnh đối song song với CA, 2 cạnh đối còn lại song song

với AB Trường hợp này có

2 2

5 3 10.3 30

hình bình hành

0,25

Câu

VIb

1 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M=(2;1) và tạo với các trục tọa độ

một tam giác có diện tích bẳng 4 (1 điểm)

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d cần tìm (k≠

0), suy ra phương trình d có dạng : y=k(x-2)+1 hay y=kx+1-2k

Đường thẳng d cắt Ox tại

2 1

;0

k A

k

−

=  ÷

, cắt Oy tại B=(0;1 2 − k)

0.5

Diện tích tam giác OAB bằng 4

2 1 8 k 1 2 8

k

−

2k 1 8k 4k 4k 1 8k 4k 4k 1 8k 0

0.5

( 2 ) ( 2 )

3 2 2 2

1 2

k

k

=





 =



Vậy có 3 đường thẳng thỏa mãn đó là :

3 2 2

2 1 2

;

1

2 1 2

y= − x− +

2

9

x

P y x= − x E +y =

(1 điểm)

Xét hệ phương trình

2

2 2

2

1 9

y x x

x y

 = −





Đặt f x( ) = 9x4 − 36x3 + 37x2 − 9

có

f − = f = − f = f = − f =

( ) ( )1 0 0; ( ) ( )0 1 0; ( ) ( )1 2 0; ( ) ( )2 3 0

, suy ra f(x)=0 có 4 nghiệm phân biệt, tức (*) có 4 nghiệm phân biệt, suy ra (P) và (E) cắt nhau tại

4 điểm phân biệt

0.5

Tọa độ các giao điểm của (P) và (E) thỏa mãn hệ (I)

9 9 16 8 9 0

9 9 0



Chứng tỏ các giao điểm đó cùng nằm trên một đường tròn có phương trình như

trên

0.5

Câu

VIIb Tìm hệ số của số hạng chứa

3 4 5 6

x y z t

của khai triển ( )18

x y z t+ + +

(1 điểm)

Xét khai triển ( )18 ( ( ) )18

x y z t+ + + = + + +x y z t

Số hang chứa

3

x

là 15 3 ( )15

18

C x y z t+ +

0.25

Xét khai triển ( )15 ( ( ) )15

y z t+ + = y+ +z t

Số hạng chứa

4

y

là 11 4 ( )11

15

C y z t+

0.25

Xét khai triển ( )11

z t+

Số hạng chứa

5 6

z t

là

6 5 6

11

C z t

0.25

Vậy hệ số của số hạng chứa

3 4 5 6

x y z t

của khai triển ( )18

x y z t+ + +

là

15 11 6

18 15 11 514594080

C C C =

0.25

Lưu ý : Trên đây chỉ là một cách giải, nếu thí sinh trình bày theo cách khác mà đúng

thì cho điểm tương ứng với điểm của đáp án trên