Ôn tập thi học kỳ 2 môn Toán khối 10

2 x 1 Vấn đề 3: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Giải từng bất phương trình sau đó tìm giao của hai tập nghiệm vừa tìm được.. VD: Giải các bất phương trình và hệ bất phương trìn[r]

GỢI Ý ÔN TẬP THI HKII KHỐI 10 NĂM HỌC : 2008-2009

-@ -A.PHẦN ĐẠI SỐ :

I Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn :

Vấn đề 1: Tìm điều kiện xác định của bất phương trình : là điều kiện để vế trái và vế phải của bất phương trình có nghĩa

( )

( )

f x

g x g x( ) 0 2k f x( ) f x( ) 0 ( )

( )

f x

g x g x( ) 0

VD: Tìm điều kiện của các bất phương trình sau :

2

x

x x x



( 4) 5

2 4

x

x



Vấn đề 2: Hai bất phương trình tương đương : là hai bất phương trình có cùng tập nghiệm

VD: Xét xem các cặp bất phương trình sau có tương đương với nhau không ?

a (x7)(2x 1) (x7)2 và 2x  1 x 7 b 32 5 7 và

1

x x

 



2

3x 5 7(x 1)

Vấn đề 3: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải từng bất phương trình sau đó tìm giao của hai tập nghiệm vừa tìm được

VD: Giải các bất phương trình và hệ bất phương trình sau :

x

x

 



  



  



   





















0 1

0 3 2

0 5 3

x x x

II Dấu của nhị thức bậc nhất :

Vấn đề 1: Xét dấu nhị thức bậc nhất

Cho nhị thức bậc nhất : f x( )ax b (a0).Nghiệm của nhị thức là : x b

a

 

x  b

a

( )

f x Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a VD: Xét dấu các nhị thức sau :

a f x( )  x 1 b f x( ) (1 x x)( 2) c ( ) ( 2)(3 ) d

2 4

f x

x





( )

f x

x x

Vấn đề 2: Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn

 Tìm điều kiện xác định,tìm nghiệm của các nhị thức

 Lập bảng xét dấu các nhị thức

 Kết luận tập nghiệm của bất phương trình dựa vào dấu của bất phương trình

VD: Giải các bất phương trình sau :

( 1)( 2)

x





2 (3x1)  9 0 2 2 3 1

4

x x x

 





1 x 2x 1

x  x  x

 

f x a

f x a







( ) ( )

( )

f x a

f x a

f x a

 



III Dấu của tam thức bậc hai :

Vấn đề 1: Xét dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai : f x( )ax2bx c (a0).Trong đó :  b24ac

0

 

x  

( )

0

 

x



2

b a

( )

f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

0

 

x  < x1 x2 

( )

f x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

VD: Xét dấu các biểu thức sau :

a f x( )x2 x 1 b.f x( )  x2 6x9 c f x( )x28x15 d

e

f x  x  x  x x ( ) 5 22 7 3 1

x x

f x

x x

 

 

Vấn đề 2: Giải bất phương trình một ẩn

 Tìm điều kiện xác định,tìm nghiệm của các nhị thức và các tam thức ( nếu có )

 Lập bảng xét dấu các nhị thức và các tam thức

 Kết luận tập nghiệm của bất phương trình dựa vào dấu của bất phương trình

VD: Giải các bất phương trình sau :

a.(2x8)(x24x 3) 0 b.2x2 2 (x1)2 c.x2 (x 1)2 (x2)2 d.(3 )(2 2 3 2) 0

2

x x

   



 

2

x

x  x

1 11 1

x

x  x x x

2 1 1

x   x  x2 3x 4 4

Vấn đề 3: Một số điều kiện tương đương

1.ax2bxc0 có nghiệm  b24ac0 2.ax2bxc0 vô nghiệm  b24ac0

3.ax2bxc0 có hai nghiệm trái dấua c 0 4.ax2bxc0 có hai nghiệm cùng dấu

0 0

c a

 





  



5.ax2bxc0 có hai nghiệm dương 6 có hai nghiệm âm

0 0 0

c a b a



  











0 c bx

ax2  

0 0 0

c a b a



  

































0

0 a x 0 c bx

ax2























0

0 a x 0 c bx

ax2

9 ax2 bxc0xa0 10 ax2 bxc0xa0

VD1: Cho phương trình :mx24x m  3 0.Tìm m để phương trình :

a Có nghiệm b Có hai nghiệm trái dấu c Có hai nghiệm dương

VD2: Cho biểu thức mx26x m  8 0.Tìm m để phương trình :

a Vô nghiệm b Có hai nghiệm cùng dấu c Có hai nghiệm âm

VD3: Cho biểu thức f x( )x22mx m 6.Tìm m để :

a f x( ) 0 có hai nghiệm phân biệt b f x( ) 0 có hai nghiệm thỏa 2 2

1 2 8

x x 

c f x( ) 0,  x R

VD4: Cho biểu thức f x( ) ( m1)x22(m1)x 3 m.Tìm m để :

a f x( ) 0 có hai nghiệm trái dấu b f x( ) 0 có hai nghiệm âm phân biệt

c f x( ) 0,  x R d f x( ) 0 vô nghiệm

IV Cung và góc lượng giác Công thức lượng giác

Vấn đề 1 : Cung và góc lượng giác

* Đổi đơn vị từ độ sang rađian và ngược lại ( dùng máy tính bỏ túi ).

* Độ dài cung tròn có số đo (rad) được tính bởi công thức :  l R 

* Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác :

+ Nếu số đo cung a0( a0 3600 hoặc a0  3600) thì ta chia a0cho 3600, sau đó biểu diễn phần dư

+ Nếu số đo cung (tử số lớn hơn mẫu số ) thì ta chia tử số cho mẫu số, sau đó bỏ đi lượng  k.2

rồi biểu diễn phần còn lại

VD1 : Đổi các số đo góc sau đây sang rađian :

a 180 b.750 c.1050 d.1500 e 57 30'0 f.125 45'30"0

VD2 : Đổi các số đo cung sau đây sang độ :

18

4



4

25 3



VD3 : Một đường tròn bán kínhR10cm.Tìm độ dài các cung trên đường tròn biết số đo cung là :

18

VD4 : Trên đường tròn lượng giác, biểu diễn các cung có số đo như sau :

4



3

6

630



Vấn đề 2 : Công thức lượng giác cơ bản

Lưu ý : Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt : Cos đối , sin bù , phụ chéo , tan và cot hơn kém 

VD1 : Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc biết :

5

 

2

5

2



  

2

  

2

sin cos





2   

f Tính giá trị biểu thức : 2 tan 3cot biết và .

tan cot







1 sin

2

2

 

  

VD2 : Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau ( dùng công thức lượng giác cơ bản ) :

Vấn đề 3 : Công thức lượng giác

1.Công thức cộng: 2 Công thức nhân đôi: 3 Công thức hạ bậc:

b tan a tan 1

b tan a tan

)

b

a

tan(

b tan a tan 1

b tan a tan

)

b

a

tan(

b sin a cos b cos a sin

)

b

a

sin(

b sin a cos b cos a sin

)

b

a

sin(

b sin a sin b cos a cos

)

b

a

cos(

b sin a sin b cos a cos

)

b

a

cos(









































4.Công thức biến đổi tích thành tổng: 5 Công thức biến đổi tổng thành tích:

sin(a b) sin(a b)

2

1 b

cos

a

sin

) b a cos(

) b a cos(

2

1

b

sin

a

sin

) b a cos(

) b a cos(

2

1 b

cos

a

cos

























u v u v

u v u v

u v u v

u v u v

VD1: Không dùng máy tính, tính các giá trị lượng giác sau :

4



 

25 tan 4



 

 

 

31 cot 6



 

 

 

0 cos(75 ) sin

12



 

 

  tan 15 0

VD2: Tính giá trị của các biểu thức sau :

5

b.Tính sin và cos biết sin 2 4 d

5

   

sin 20 sin 40 sin 80

B

VD3: Chứng minh các đẳng thức sau (dùng công thức nhân đôi ):

sin 2 sin

x



sin cos 1 sin 2

2

x x  x

c.cos4xsin4 xcos 2x d 4 4 1 3 e

sin cos cos 4

sin cos cos 4

x x x

VD4: Biến đổi tổng sau về dạng tích :

VD5: Biến đổi tích sau về dạng tổng :

a.2sina b  cos a b  b.4sin sin 2 sin 3x x x

2 2

2

sin 2 2sin cos cos 2 cos sin 2cos 1

1 2sin

2 tan tan 2

1 tan

a a a a

a



 





2

2

2

1 cos 2 cos

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2 tan

1 cos 2

a a

a a

a a

a















a.4sin sin 60a  0a .sin 600asin 3a b sin sin 3 sin 5 tan 3

cos cos 3 cos 5

a

VD7: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta cĩ :

.tan tan tan tan tan tan sin sin sin 4cos cos cos



B.PHẦN HÌNH HỌC :

I.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

1 Phương trình tham số của đường thẳng :

* Đường thẳng qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và vectơ chỉ phương u( ; )u u1 2 thì phương trình tham số là

0 1

0 2

x x u t

t R

y y u t





  



* Đường thẳng qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc k Khi đó vectơ chỉ phương u(1; )k

0 0

x x t

t R

y y kt





  



*Đường thẳng đi qua hai điểm A x y( ;A A) và B x y( ;B B).Khi đó u AB(x B x y A; By A)

* Đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và vectơ pháp tuyến n(a,b)(a2 b2)0 thì u  ( ; )b a hoặc u ( ;b a ).

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

* Đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và vectơ pháp tuyến n(a,b)(a2 b2)0 thì phương trình tổng quát có dạng : a x x(  0)b y y(  0) 0 hay ax + by +c = 0

* Đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc k có dạng : y = k(x-x 0 ) + y 0 , trong đó

k = tana = 2

1

u u



* Đường thẳng đi qua điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và vectơ pháp tuyến 2 2 thì

1 2 1 2

n u u u u 

2 1

n  u u n( ;u2 u1)

*Đường thẳng đi qua hai điểm A x y( ;A A) và B x y( ;B B).Khi đó u AB(x B x y A; By A)

* Đường thẳng cắt trục Ox, O y tại A(a;0) và B(0;b) với (a0&b0) có dạng :  1

b

y a x

3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

* Cho hai đường thẳng d 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 &d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Vị trí tương đối của hai đường thẳng d 1 , d 2 phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình 1 1 1  

2 2 2

0 1 0

a x b y c

a x b y c





@d 1 & d 2 cắt nhau  hệ (1) có một nghiệm

@d 1 & d 2 song song nhau  hệ (1) vô nghiệm 1 1 1

2 2 2

@d 1 & d 2 trùng nhau  hệ (1) vô số nghiệm 1 1 1

2 2 2

* Cho hai đường thẳng (d 1 ): a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và (d 2 ): t R

t u y y

t u x x

















2 0

1 0

Khi đó ta thay x và y của ptts vào pttq dể tìm t Vị trí tương đối của hai đường thẳng d 1 , d 2 phụ

thuộc vào số nghiệm của phương trình theo t

4 Gĩc giữa hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng (d 1) : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 và (d 2 ) : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Khi đó góc giữa hai

đường thẳng là : 1 2 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 1 2 2

cos

n n a b a b

 

 

5 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Cho điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và đường thẳng ( ): ax + by +c = 0 Khi đó khoảng cách từ điểm A

M 0 (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng ( ) là : d( M 0 ; ) = 

2 2 0 0

b a

c by ax







BÀI 1 : Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) biết rằng :

a/ (d) đi qua điểm A (2 ; 3) và có vectơ chỉ phương = (7 ; 2) u

b/ (d) đi qua điểm B(4 ; 5) và có vectơ pháp tuyến n(3;8)

c/ (d) đi qua điểm C(9 ; 5) và có hệ số góc k 2

d/ (d) đi qua hai điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 6)

e/ (d) đi qua điểm M (8 ; 2) và song song với :

1 2

x t





 f/ (d) đi qua điểm N (1 ; -3) và vuông góc với  : 3

1

 





BÀI 2 :Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết rằng :

a/ (d) đi qua điểm A(1 ; 2) và có vectơ pháp tuyến n (4 ;1)

b/ (d) đi qua điểm B (1 ; 0) và có vectơ chỉ phương u (-2 ; 5)

c/ (d) đi qua điểm C (2;1) và có hệ số góc k = 2

d/ (d) đi qua điểm M (-1 ; 2) và song song với     : x y 2009 0

e/ (d) đi qua điểm N (1 ; -3) và vuông góc với   : 2x y  5 0

f/ (d) đi qua P(1 ; 2) và tạo với đường thẳng ( ) : 3x -2y + 1 = 0 một góc 45  0

g/ (d) đi qua Q(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4)

h/ (d) đi qua R(2 ; 7) và cách điểm S(1 ; 2) một khoảng bằng 1

BÀI 3 : Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau :

2 4

d

  



  



1 5 ( ) :

2 4

d

  



  



1 4 ( ) :

2 2

d

 



  

 ( ') : 2d x4y10 0

c ( ) :d x y  2 0 và ( ') : 2d x3y 5 0

BÀI 4 : Cho hai đường thẳng: ( ) : 3 x4y10 0 và ( ) :d x7y 5 0.

a Xác định vị trí tương đối của ( ) và ( )d b Tính số đo gĩc giữa hai đường thẳng ( ) và ( )d

c Tính bán kính đường trịn tâm I( 2;1) tiếp xúc với đường thẳng ( )

BÀI 5 : Cho tam giác ABC biết A(0; 2); B(4;5)và C(3; 2) .

a Viết phương trình cạnh BC của ABC Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC 

b Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM Tính HAMA và diện tích ABC

c Tính bán kính đường tròn tâm M tiếp xúc với (d) ,biết (d) đi qua A và vuông góc AC

BÀI 6 : Cho tam giác ABC biết A( 3; 2) B(1;5)và C(0; 2) .

a Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC

b Viết phương trình đường cao AH và trung tuyến AM.Tính HAMA và diện tích ABC

c Tính bán kính đường tròn tâm M tiếp xúc với (d), biết (d) đi qua A và vuông góc AC

d Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng BC

BÀI 7 : Cho tam giác ABC biết B(3 ; 4) ,cạnh AC : 2x + y – 9 = 0 và đường cao AH : x – y – 3 = 0.

a Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC

b Tính góc A của tam giác ABC và diện tích ABC

c Tính bán kính đường tròn tâm C tiếp xúc với AB

d Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

BÀI 8: Cho tam giác ABC biết cạnh hai đường cao AH: 3x + 7y – 15 = 0,AB : x – 3y +11 = 0 và

BI : 3x – 5y + 13 = 0.

a Viết phương trình cạnh BC của tam giác ABC

b Tính góc A của tam giác ABC và diện tích ABC

c Tính bán kính đường tròn tâm C tiếp xúc với AB

2 4

BC

  



  

CN x y 

a Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

b Viết phương trình các cạnh AB và AC của tam giác ABC

c Tính diện tích ABCvà bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

II PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN

Vấn đề 1 : Nhận dạng một phương trình là phương trình đường trịn Tìm tâm và bán kính đường trịn

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng :   2 2 (1)

x a  y b m

* Nếu m0 thì phương trình (1) là phương trình đường trịn tâm I(a ; b) và bán kính R m

* Nếu m0 thì phương trình (1) khơng là phương trình đường trịn

Cách 2 : Đưa phương trình đã cho về dạng : x2y22ax2by c 0 (2)

* Nếu a2b2 c 0 thì phương trình (1) là phương trình đường trịn tâm I(a ; b) và bán kính

.

2 2

R a b c

* Nếu a2b2 c 0thì phương trình (1) khơng là phương trình đường trịn

VD : Phương trình nào sau đây là phương trình đường trịn Tìm tâm và bán kính của các đường trịn

x  y  x2y26x8y100 0

d x2y28x6y75 0 e.2x2y24x8y 2 0 f.2x22y24x8y 8 0

Vấn đề 2 : Viết phương trình của đường trịn (C)

*Phương trình đường trịn (C) tâm I(a ; b) và bán kính R cĩ dạng :   2 2 2

x a  y b R

*Phương trình đường tròn (C) tâm I(a ; b) và đi qua điểm M Khi đó bán kính của đường tròn là

có dạng :

R IM  x a  y b   2 2 2

x a  y b R

*Phương trình đường tròn (C) đường kính AB có tâm I là trung điểm AB : 2 và bán kính

2

I

I

x x x

y y y



 



 



Khi đó phương trình đường tròn có dạng : .

AB

R=

x x  y y R

*Phương trình đường tròn (C) tâm I(a ; b) và tiếp xúc với đường thẳng () Khi đó bán kính của đường tròn là R d I ( ; ) R có dạng :   2 2 2

x a  y b R

*Phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C Khi đó phương trình đường tròn có dang :

(2) Sau đó ta thay lần lượt tọa độ ba điểm A, B, C vào pt (2) ta được hệ

x y  ax by c 

phương trình bậc nhất ba ẩn a, b, c Giải hệ phương trình tìm a, b, c suy ra phương trình của đường tròn (C) cần tìm

*Phương trình đường tròn (C) tâm I(a ; b) tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox và Oy thì a b .

VD1: Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau đây :

a (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R2 2

b (C) có tâm I(-2 ; 3) và đi qua M(2 ; 0)

c (C) có đường kính AB biết A(1 ; 1) và B(7 ; 5)

d (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với ( ) : x2y 7 0

e (C) đi qua ba điểm A(1 ; 2) ; B(5 ; 2) và C(1 ; -3)

f.(C) đi qua M(2 ; 1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

g (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng ( ) : 4 x2y 8 0

VD2: Lập phương trình của đường tròn (C) trong các trường hợp sau đây :

a (C) có tâm I(-1 ; -3) và bán kính R2

b (C) có tâm I(1 ; 2) và đi qua M(4 ; 5)

c (C) có đường kính AB biết A(-1 ; 1) và B(5 ; 3)

d (C) có tâm I(1 ; -2) và tiếp xúc với ( ) : x y 1

e (C) đi qua ba điểm A(1 ; 4) ; B(-7 ; 4) và C(2 ; -5)

f (C) đi qua M(4 ; 2) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

g (C) đi qua A(-1 ; 0) ; B(1 ; 2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : x y  1 0

Vấn đề 3 : Viết phương trình tiếp với đường tròn (C) tại điểm M x y0 0; 0nằm trên đường tròn (C)

Cách 1: Dùng vectơ pháp tuyến n IM 0

 Tìm tọa độ tâm I a b; của đường tròn (C)

 Phương trình tiếp với đường tròn (C) tại điểm M x y0 0; 0 thuộc (C) có dạng :

x0a x x  0  y0b y y  00

Cách 2: Dùng quy tắc phân đôi tọa độ

 Đưa phương trình đường tròn (C) về dạng : x2y22ax2by c 0

 Phương trình tiếp với đường tròn (C) tại điểm M x y0 0; 0 thuộc (C) có dạng :

x x y y a x x   b y y  c

VD1: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):  2 2 tại điểm

Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M0 3;1 thuộc (C) có dạng x0a x x  0  y0b y y  0  0 3 1x  1 1 2y  1 0 2x y  5 0

VD2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):x2y24x2y0 tại điểm M0   1;3  C

Theo quy tắc phân đôi tọa độ thì phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M0 3;1 thuộc (C) có dạng : x x y y a x x0  0    0 b y y 0 0 1.x3y2x 1 y3   0 x 2y 5 0

VD3 : Cho đường tròn (C) có phương trình : x2y24x8y 5 0

a Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M01;0

c Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuông góc với

  : 3x4y 5 0

VD4 :Cho đường tròn (C) có phương trình : x2y2 x 7y0 và đường thẳng   : 3x4y 3 0

a Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C) và tọa độ giao điểm A , B của (C) với ()

b Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A và tại điểm B

c Tìm tọa độ giao điểm M của hai tiếp tuyến tại A và tại B Tính diện tích MAB

d Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) vuông góc với  : 3x4y 5 0

VD5: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết :

a Tại điểm M0 3; 4 thuộc đường tròn (C) :  2 2

x  y 

b Tại điểm M0 4;3 thuộc đường tròn (C) :x2y26x4y 11 0

c (C) :x2y26x2y0 và tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng   : 3x y  4 0

d (C) :x2y26x2y 6 0 và tiếp tuyến đi qua A 1;3

III PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP

Vấn đề 1 : Xác định các thành phần của elip E khi biết phương trình chính tắc của elip đó.Khi biết phương trình chính tắc của elip  E :x22 y22 1 , ta có thể xác định được các thành phần sau của elip

a b 

:

 E

* Độ dài trục lớn : A A1 2 2a * Độ dài trục nhỏ : B B1 2 2b

* Tiêu cự : F F1 2 2c trong đó c2 a2b2 * Hai tiêu điểm F1c;0và F c2 ;0

* Bốn đỉnh của elip: A1a;0 A a2 ;0 B10;b B2 0;b

* Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở : x a y b

VD : Xác định các thành phần của elip E khi biết phương trình của elip :

25 16

x y

25 9

x y

E   4x29y2 36

d  E x: 24y2 4 e. E x: 24y2 1 f. E : 4x29y2 1

Vấn đề 2 : Viết phương trình chính tắc của đường elip (E)

Để viết phương trình chính tắc của elip (E) khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó, ta thực hiện :

 Lập phương trình chính tắc của (E) dưới dạng :  E :x22 y22 1  1

a b 

 Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan tính a và b

 Thay a và b vào phương trình  1 ta được phương trình chính tắc của elip.

Lưu ý các hệ thức sau :

* 0 b a  * Độ dài trục lớn : A A1 2 2a

* Độ dài trục nhỏ : B B1 2 2b * Tiêu cự : F F1 2 2c trong đó c2 a2b2

* Hai tiêu điểm F1c;0và F c2 ;0

* Bốn đỉnh của elip: A1a;0 A a2 ;0 B10;b B2 0;b

* M E F M F M1  2 2a

VD1: Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) trong các trường hợp sau đây :

a (E) có độ dài trục lớn là 10 và độ dài trục nhỏ là 8

b (E) có độ dài trục lớn là 10 và tiêu cự là 6

c (E) có độ dài trục nhỏ là 12 và tiêu cự là 16

d (E) đi qua M(4 ; ) và N(3 ; 9 )

5

12 5

e (E) có tiêu điểm F11;0 và đỉnh B10; 2 (E) có tiêu điểm F1 3;0 và đi qua M(1 ; 3)

2

VD2: Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) trong các trường hợp sau đây :

a (E) có độ dài trục lớn là 2 và độ dài trục nhỏ là 6

5

b (E) có độ dài trục lớn là 26 và tiêu cự là 10

c (E) đi qua M(4 ; 3) và N(2 2 ; 3)

d (E) có tiêu cự là 8 và đỉnh B2 0;3

e (E) có tiêu điểm F17;0 và đi qua M(-2 ; 12)

f (E) có phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là : x 4 y 3

VD3 : Cho đường elip (E) có phương trình : x24y2 16

a Tìm tọa độ các tiêu điểm và các đỉnh của elip (E)

b Viết phương trình đường thẳng   đi qua 1;1 và có hệ số góc bằng 2

3

M  

 

 

c Tìm tọa độ giao điểm A và tại B của   và (E)

d Chứng minh MABcân tại M và tính diện tích MAB

e Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính

VD4 : Cho đường elip (E) có phương trình :  : 2 2 1 và đường thẳng

16 9

x y

a Tìm tọa độ hai tiêu điểm và hai đỉnh ; A1 A2 của elip

b Hai đường thẳng vuông góc với Ox tại ; A1 A2cắt   tại M1; M2 Tìm tọa độ M1; M2

c Tính các góc M F MA 1 1 2 và AM F M1 1 2

d CMR : Tích các khoảng cách từ và F1 F2 đến đường thẳng   bằng bình phương độ dài nửa