một số dạng tích phân thường gặp I - TÝch ph©n c¸c hµm ®a thøc, hµm sè luü thõa b.. III- TÝch ph©n hµm chøa c¨n thøc b.[r]
Trang 1A Kiến thức, kĩ năng cơ bản
I Định nghĩa, tính chất:
1) Nguyên hàm
ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K, hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu
F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K Họ các nguyên hàm của f(x) là: f x dx F x( ) ( )C
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
1) 0dx C , dx x C ; 1 , ( 1);
1
x
x dx C
3) 1dx ln x C x; 0.
, 1;
( 1)
4) 1 dx 2 x C x; 0.
3
x x xdx C
5) Với k là hằng số khác 0
a) sinkxdx coskx C;
k
b) coskxdx sinkx C;
k
kx
k
ln
kx
k a
6) a) 12 tan ; b)
cos x dx x C
1
sin x dx x C
2 2
x a
Tính chất của nguyên hàm (SGK)
2) Tích phân
ĐN: Cho hàm số f liên tục trên K, a và b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm
của f trên K thì ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x F b F a
Tính chất: Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là các số bất kì thuộc K Khi đó:
1) a ( ) 0 ;
a
f x dx
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
kf x dx k f x dx k R
f x dx f t dt
3) ứng dụng của tích phân
Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi y f x( ) y g x( ); S =
x a x b
a
a
f x g x dx
( f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] )
Tính thể tích khối vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
, quay quanh trục Ox là : V =
y f x y
y dx f x dx
, quay quanh trục Oy là : V =
x f y x
x dy f y dy
Trang 2Luyện thi ĐH - CĐ Ths Nguyễn Trung Kiên
II Phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân
1) Phương pháp biến đổi.
áp dụng các tính chất, công thức nguyên hàm và định nghĩa tích phân
Ví dụ 1 Tính các tích phân sau:
I = 3 2
1
2
3x 4 dx x
J =
4
2 1
2
x x x
dx x
K = 4 2 0
sin 2xdx
L = 0.25
0
sin 5 cos 3x xdx
M = 2
0
tan 2
x dx
N =
2
3 2 1
x
e dx
Ví dụ 2 Tìm hàm số f(x) biết:
1) df(x) = (3sinx + 2cosx)dx và f(0) = 1 2) df(x) = (x - 12 2)dx và f(1) = 2
x
2) Phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Nếu f(x)dx = g(u(x))u’(x)dx = g(u(x))d(u(x)) Đặt u = u(x) Ta có du = u’(x)dx
Suy ra f x dx ( ) = g u du G u( ) ( ) C G u x( ( ))C
( )
( ) ( ) ( )
u b b
u b
u a
f x dx g u du G x
Hệ quả:
Ví dụ 3 Tính
2
2
x
dx
7
2
3
2
x
dx
x
1
2009 0
x x dx
2
1
1
e
dx
x x
0
2 1 4sin 3 cos 3x xdx
ln 6
x x
e dx
e
Dạng 2 Đặt x = u(t), hàm số u(t) liên tục và đơn điệu trên K chứa t1, t2
dx = u’(t)dt
x = a t = t1; x = b t = t2
Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u’(t)dt = g(t)dt Ta có ( ) = =
b
a
f x dx
1
( )
t
t
g t dt
1
( )t t
G t
Ví dụ 4 Tính
I = 2 2 , Đặt x = 2sint, t
1
4 x dx
2 2
J = 3 2 , Đặt x = tant, t
1
1
3 x dx
2 2
K = 1 2 , Đặt x = sint, t
2
x dx x
2 2
L = 1 22 2 , Đặt x = tant, t
x dx x
2 2
Công thức:
b a
udv uv vdu
Ví dụ 5 Tính:
I = 2
0
(x 1)sinxdx
J = 2
0
(2x sin ) cos 2x xdx
K =
1
0
(x1)e dxx
L =
1
( 1) ln
e
x xdx
M =
1
0
x
e dx
N = 0
(x sin )x e dx x
Trang 3Luyện thi ĐH - CĐ Ths Nguyễn Trung Kiên
B một số dạng tích phân thường gặp
I - Tích phân các hàm đa thức, hàm số luỹ thừa
Chú ý : với 0 và -1,
1 1
b b
u
u du
b
b a a
, , du = u’(x)dx
*
m
n um u un n N 1 n
u
I1 =
5
4
0
(3 )
5
x
dx
I2 =
1
0
(1 )
x x dx
I3 =
1
2
0
(1 )n
x x dx
I4 =
2 2 1
I5 = 4 3 2
1
1 2 x x
dx x
I6 = 3
1
1
x x
I8 = 2 2
0
max 3x 2;x dx
I9 =
2009 1
2 1 2
II- Tích phân các hàm hữu tỉ
( 1)
u n u
ax
dx
b C
b a
2du 2 tant C u; a tan t
a u
I10 =
1
4 1
4
(3 2 )x dx
I11 =
1
0
3 1
x
dx x
I12 = 1
0
3
1
1
dx x
x
x
I13 = 1
0
3
2
) 1
3
x
I14 = dx
x x
0
1
I15 = 1
2 0
4 11
x
dx
I16 = 4
2
2
3 2
1
dx x x x
I17 = 1 2
x dx x
I18 = 1 22
2
dx
I19 = 1
2 2
I20 =
2 2
0 1
x dx x
I21 =
3 2
0 1
x dx x
I22 = 3
3 1
1
dx
x x
I23 =
1
4 1
(x x )
dx x
I24 = 1 2
0
( 2)( 1)
III- Tích phân hàm chứa căn thức
Chú ý:b Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
a
dx x f x
R( , ( ))
+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t t ]
2
; 2 [
+) R(x, ) Đặt x = a cos2t, t +) R(x, ) Đặt t =
x a
x a
2
d cx
b ax
n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) = Với ( )’ = k(ax+b)
ax ) 2
(
Khi đó đặt t = x2 x , hoặc đặt t =
b
ax 1
+) R(x, a2 x2 ) Đặt x = a tan t
+) Rn 1 n 2 n i Gọi k = BCNN(n1; n2; ; ni), Đặt x = tk
Trang 4Luyện thi ĐH - CĐ Ths Nguyễn Trung Kiên
I25 =
1
0
1
x xdx
I26 = 1 3 2
1
1
x x dx
I27 =
2
2 4 3
0
3x 1 x dx
I28 = 4
x
dx
x
I29 =
2
x
dx x
I30 =
7
3
0
2
1
x
dx x
I31 =
3 2
0
1
1
x
dx x
I32 =
0 1
x
dx x
I33 = 2
2
2
3
1
1dx
x x
I34 = 4 x x x dx 0
2
I35 = 3
3 5
1 x dx
x x
I36 = 1
2
x dx
x x
I37 = 2
1 x x3 1
dx
I38 = 1 2
2
0 2
x dx x
I39 =
1
0
1
x x dx
I40 = 3
2 0
1
1 x dx
I41 = 7
2 2
1
3dx
x
I42 =
3 2 2
1
x dx
I43 = 1 2 0
x x dx
I44 = 1
1
2 2
x dx x
I45 = 1
1 3ln
ln
e
x xdx x
I46 =
ln 2 2
x x
e dx e
I47 =
ln 2 2
1
ln
1 ln
x dx
x x
I48 = 2
cos
x xdx
I49 = 2
0
5
61 cos3 sin cos
xdx x
x
I50 = 2
0 1 3 cos
sin 2 sin
dx x
x x
IV- Tích phân hàm số lượng giác
Chỳ ý cỏc cụng thức: Tích thành tổng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x
2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x 2sinax.sinbx = cos(a -b)x - cos(a+b)x
Hạ bậc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+ cos2ax
Biểu diễn theo t = tan ; sinx = ; cosx = ; tanx =
2
x
2
2 1
t t
2 2
1 1
t t
2 1
t t
Các vi phân: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = dx2 =(1+tan2x)dx
cos x
I 51 = 2 x 4 xdx
0
2 cos
sin
I52 = 2
0
3
2 cos
sin
xdx x
I53 = 4
4
0
1
dx
cos x
I54 = 2 5
0
sin xdx
I55 = 2
0
4
4 cos ) (sin
2
cos
dx x x x
I 56 = 4
0
2
2 2 sin cos cos
sin
x x x x
dx
I57 =
4 6
0
tan 2
x dx cos x
I58 = 4 g x dx
6
3
cot
I59 = 4
0 1 1
dx tgx
I60 = 2
0 4 sin 5 cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
I61 = 2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
I62 = 3
4
3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
I63 =
3
6 sin(
sin
x x dx
I64 = 3 0
3
) cos (sin
sin 4
x x xdx
I65 = 2
6
1
3 sinx cosx dx
6
tan x cot x 2dx
Trang 5V- Tích phân tổng hợp các hàm số
I67 =
2
0
sin xdx
I68 =
1
3
e
x
I69 = 3 2
2
ln(x x dx)
I70 = 1
(ln )
e
cos x dx
I71= 0
1
x e x dx
I72 = 3
6 2
cos
) ln(sin
dx x x
0
2
1 2
x
x e x e dx
e
1
ln (2 ln )
e
x
VI – Một số tích phân đặc biệt
I 75 = 2
2
2
cos
4 sin
dx x
I 76 =
3
3
2
2
1
1
dx
x
x
I77 =
2
2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
I78 =
0 2 cos
sin
dx x
x x
I 79 =
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
I80 =
1
1
2 ) 1 )(
1
dx
x
c ứng dụng của tích phân
Ví dụ 6 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x3 - 4x và trục Ox
b) y = x3 ; x+y = 2 và trục hoành;
c) y = 0,25x3-3x và tt của nó tại điểm có
hoành độ x =- 3
d) y = 2 3; y = 3-x
1
x x
e) (P):y = 2x2 và hai tt của (P) qua A( ;0)1
2
Ví dụ 7 Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng A giới hạn bởi các đường sau, khi A
quay quanh trục Ox
a) y = x2 ; y = 0; x = 1
b) y = sinx; y = 0; x = 0 và x =
c) y = xex, trục Ox, x = 1 d) y = x2; x = 0; y = 1
Bài tập:
A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Bài 1 (TN - 2006): y = ex ; y = 2 và đường thẳng x = 1 ĐS: e + 2ln2 - 4
Bài 2 (TN - 2002): y2 = 2x +1; y = x - 1 ĐS: = 16/3
Bài 3 KA-2007 Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi cỏc đường y = (e+1)x và
y = (1+ex)x ĐS: 1
2
e
Bài 4 (ĐH - KB - 2002): y = 4 2 và y = ĐS: = 2 + 4/3
4
x
2
4 2
x
Bài 5 (ĐH - KA - 2002): y = y = x2 4x3 ; y = x+3 ĐS: = 109/6
B) Tính thể tích khối vật thể tròn xoay do hình phẳng D giới hạn bởi
Bài 1 (TN - 2004): y = 1/3x3 - x2; y = 0; quay quanh trục Ox ĐS: 81 /35
Bài 2 (P) y = 2x2 và hai tiếp tuyến của (P) đi qua A(1/2; 0) quay quanh trục Ox
Bài 3 y = x2; y = x quay quanh trục Oy
Bài 4 KB-2007
Cho hỡnh phẳng H giới hạn bởi cỏc đường y = xlnx, y = 0, x = e Tớnh thể tớch khối trũn xoay tạo thành khi quay hỡnh H quanh trục Ox
Trang 6LuyÖn thi §H - C§ Ths NguyÔn Trung Kiªn
Một số bài toán về Nguyên hàm, tích phân trong các đề thi đại học
0
sin 2 sinx
1 3cos
x
dx x
2) KB-2005 I2 = 2 ĐS: 2ln2 – 1
0
sin 2 cos x
1 cos
x
dx x
sinx 0
cos cos
4
e
4) KA-2006 I4 = 2 ĐS:
0
sin 2
os 4sin
x
dx
5) KB-2006 I5 = 2 ĐS: ln3-ln2
0 x 2 x 3
dx
6) KD-2006-2007 I6 = 1 2 ; I7 = ĐS: ;
0
2 x
x e dx
0 ln
x xdx
(5 3 )
4 e 3 4 1
32
e
4 6
0
tan cos 2
x dx x
0
sin
4 sin 2 2(1 sinx cos )
x
dx
2 3 1
ln x
dx x
10) KA-2009 I11 = 2 ĐS:
0
os 1 cos
11) KB-2009 I12 = 3 2 ĐS: ¾(1+ln3) – ln2
1
3 ln ( 1)
x dx x
12) KD-2009 I13 = 3 ĐS: -2 + ln(e2 + e + 1)
1 x 1
dx
e
2
0
2
1 2
x
x e x e
dx e
e
1
ln (2 ln )
x x
0
sinx ( 1)cos sin cos
dx
1
1 ln(x 1)
dx x
3 3 17) KB-2012 I18 = 1 4 32 ĐS:
x
dx
x x
2