Đặt ẩn phụ để trở thành phương trình có 2 ẩn * Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vÉn cßn chøa x * PP này thường được SD đối với[r]
Trang 11 phương trình –bất phương trình cơ bản
a Phương trình cơ bản:
Dạng phương trình: (nếu g(x) có TXĐ là R)
) ( ) (
0 ) ( )
( )
x g x f
x g x
g x f
b.Bất phương trình cơ bản:
Dạng 1:
) ( )
(
0 ) (
0 ) (
0 ) ( )
( )
(
2 x g x f
x g
x g
x f x
g x
f
Dạng 2:
x g x f
x f
x g x
g x f
2
0
0 )
( ) (
Chú ý: Khi hệ chứa từ hai biểu thức căn bậc hai trở lên , để có thể đưa về dạng cơ bản , ta làm như
sau:
+ Đặt một hệ điều kiện cho tất cả các căn đều có nghĩa
+ Chuyển vế hoặc đặt điều kiện để hai vế đều không âm
+ Bình phương hai vế
+ Tiếp tục cho đến khi hết căn
bài tập áp dụng
Bài 1.1: Giải các phương trình sau:
) 1 ( 3 2 5
3
.
) 2 ( 6
3
2
2 x x
Giải 1: Phương trình đã cho tương đương với:
2 7 2 0
14 15
3
x x
x x
11 3
6 0
33 14
6
x x
x
x x
x x
Bài 1.2 Giải phương trình sau 1 x2 6x6 2x1 (1) (ĐH Xây Dựng -2001)
1 2 1 )
1 2 ( 6
1
2 2
x
x x
x x
x
Bài 1.3 Giải phương trình: x 1 x 2 3
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 )
4 ( ) 2 )(
1 (_
4 1
4 ) 2 )(
1
(
1
x x
x
x x
x
x
x
Bài 1.4: Giải phương trình x 1 x 3 x 2
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
3
3 2 6 3
3 2 6 3
3 2
6
4
3
0 8 8 3
4 3
6 5 2
4
3 2
3 1
3
2 2
x x
x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
Bài 1.5: Giải phương trình xx x 1x (ĐHQG Hà Nội 2000)
3
2
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
Trang 2
2 2
2 2
2
3
2 3
2 3 2
1 0 2
1 3
4 3
2
3
2
1
1
0
x x x x
x x
x x
x x
x
x
1
0 1
0
1 0
0 ) 1 (
1 0
2
x x
x
x x
x x
x
x
Bài 1.6: Giải phương trình 34 616 38 2x 4x 3
Giải: Phương trình đã cho tương đương với hệ:
2 2
2 4 3 3
4 2 8 3 16
6
4
3 4
3
x
x x
x x
Bài 1.7: Giải bất phương trình: 7x13 3x9 5x27 (ĐH DL Phương Đông -2001)
Điều kiện:
5
27
x
Bất phương trình đã cho tương đương với:
9 3 27 5 13 7 5 27
x x
x x
23 59
6576 2 229 0
443 458
59
23
5
27
23 27 5 9 3 2 5 27
27 5 9 3 2 36 8
13
7
5
27
2
x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x
Bài tập làm thêm:
15. x 9 x 7 2 5x 1 3x 2 x 1
2
17
x
2
18 1 x x 2x5
19 x x11 x x11 4
20 x 1 1 x x8
2 phương pháp Đặt một ẩn phụ Dạng 1: Giải phương trình: Af x B f x C0
Phương pháp giải : Đặt f x t t 0 f x t2;
Phương trình đã cho trở thành : At2 BtC 0 t 0
Làm tương tự với bất phương trình dạng: Af x B f x C0
Dạng 2: Giải phương trình: A f x g x B2 f x g(x) DC 0 (Với f x g(x)D)
Phương pháp giải : Đặt f x g(x)t t 0t2 D2 f x g x
Phương trình đã cho trở thành : Bt2AtC0 t0
Làm tương tự với bất phương trình dạng: A f x g x 2 f x g(x)DC0
bài tập áp dụng:
Bài 2.1: Giải các phương trình 1 3 x2 5x5 x2 5x7 (1)
(ĐH DL Hồng lạc-2001) )
2 ( 30 12
2
2 x2 x2
Trang 3Giải 1: 1, 3 x25x5 x2 5x7 (1) Đặt x2 5 x 5 t ( t 0 )
Phương trình đã cho trở thành:
2
21 5 4
1 4
5 5
1 5 5 2
1 0
2
2 2
x x
x x
x
x x t
t t
t
Giải 2: 2, 2x2 x212 30 (2) Đặt t x2 12 (t 0) Phương trình đã cho trở thành:
Vậy
) ( 7
) ( 6 0
42
2
L t
tm t
t
Bài 2.2: Giải các phương trình 4 (1) (ĐH Đông đô-2000).
2
4 7 1
2
x x
x
(ĐH Mỏ -2001)
) 2 ( 4
3 2 4
2 x x2 x x2
Giải 2: Đặt y 4x2 (y 0)
Phương trình đã cho trở thành:
2 3
4 2 ) ( 3
2
2 2
xy y x
xy y
x xy
y x
y x
Giải hệ đối xứng này ta được nghiệm:
3
14 2 2
0 0
2
2 0
x x
x y
x
y x
Giải 1: Điều kiện: x0 Đặt x t (t 0)
Phương trình đã cho trở thành: t4 4 t3 7 t2 8 t 4 0
Giải phương trình bậc 4 :
Xét t = 0 không là nghiệm Xét t 0 ,chia hai vế cho t2 và đặt 2 (u 2 2 )
t t u
4
1 2
1 3
) ( 1 0
3 4 2
x
x t
t u
L u u
u
Bài 2.3: Giải các bất phương trình sau
(ĐHDL Phương Đông -2000) 1
2 3 3 4
2
1 x2 x xx2
(ĐH QG HCM -1999) 2
) 2 ( 4 )
4
(
.
2 x x x2 x x 2
Giải 1: Điều kiện:3x1 Đặt: t 32xx2 (t0)
Bất phương trình đã cho trở thành:
2
5 0 0
2
5 1 0
0 5 3
2 2
t t
t t
t t
0 4
13 2
1 3
x x
x x
Giải 2: 2 x(x4) x2 4x(x2)2 2 Điều kiện:0 x4
Đặt:t x2 4x 0 Thay vào BPT Đã cho và giải ra ta được t 1
Thay vào cách đặt ta được:2 3x2 3
Bài 2.4: Giải các bất phương trình sau
(ĐH Thái Nguyên -2000) 7
2
1 2 2
3
3
.
x
x x x
Trang 43 ) 7 )(
2 ( 7
2
2 x x x x
Giải 1: Biến đổi bất phương trình đã cho trở thành:
0 9 2
1 3
2
1 2
9 2
1 1 2
) 2
1 (
3
2
2 2
x
x x
x
x
x x
x
Đặt: 2 BPT đã cho trở thành:
2
1
x x
t
7 2
3 4
7 2
3 4 0
3 2
1
3 0
9 3 2
2
2
x
x x
x
t t
t t
Giải 2: Điều kiện:2 x7 Đặt t 2x 7x (t 0)
Vậy
2
9 )
7 )(
2
(
2
x x t
Bất phương trình đã cho trở thành:
7
2 9
) 7 )(
2 ( 2 9
7 2
3 0
0 15 2 2
x
x x
x x
t t
t
Bài tập Giải các PT sau:
Bài 1:
2
4 ( 5)(2 ) 3 3 ;
2
6 (x4)(x 1) 3 x 5x 2 6;
11 2(x 2 )x x 2x 3 9;
12 (x3) 3x22 x 3x7;
15 x1 2x 1 2x2 ;x
16 2 x 2x x 2x 3 9 0;
17 3x 15x2 x 5x 1 2;
Bài 2:
5 x 3x 3 x 3x 6 3;
7 x 5x 2 2x 5x 9 1;
9 x 1 4 x (x1)(4x) 5;
10.x 4x 2 3x 4x ;
13 2x 5x 2 2 x 5x 6 1;
14 x 3x 2 2 x 6x 2 2;
18. x x 4 x x 1 2x 2x 9;
8. x 4x 8 x 4x 4 2x 8x 12;
19 x x 1 2 x x 1 2;
20.x 17x x 17x 9;
2 2
2
2
2
23 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x2;
2
2 3
x
29 5x 14x 9 x x 20 5 x1;
30 10 x 8 3 x x 6 ;
31. x 1 x 3x 1;
Trang 532.x x 1 (x 1) x x x 0;
Đặt ẩn phụ để trở thành phương trình có 2 ẩn
* Là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển để chuyển PT ban đầu thành 1 PT với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x
* PP này thường được SD đối với những PT khi lựa chọn 1 ẩn phụ cho1 BT thì các BT còn lại không
BD được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu BD được thì công thức BD quá phức tap
* Khi đó thường ta được 1 PT bậc 2 theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là 1 số chính phương.
Bài tập Giải các PT sau:
1 x 1 2x x 2 ;x
2 x 1 2x x 2;
3 (4x1) x 1 2x 2x1;
4 4x 4x(2x) x 2x4;
2
x
3 Phương pháp Đặt hai ẩn phụ Dạng 1: Giải phương trình: An f x n g x B n f x g(x) C 0 (Với f x g(x) D)
Phương pháp giải : Đặt:
g
u x
n
n
Phương trình đã cho trở thành:
D v u
C Buv v
u A
n n
0
Dạng 2: Giải phương trình: An f x n g x B n f x g(x) C0 (Với f x g x D)
Phương pháp giải : Đặt:
g
u x
n
n
Phương trình đã cho trở thành:
D v u
C Buv v
u A
n n
0
bài tập áp dụng:
Bài 3.1: Giải phương trình: x2 6x ( x2 )( 6x ) (ĐH Ngoại Ngữ-2001)
Giải : Đặt ( u , v 0 )
v x 6
u 2 x
0 8 uv 2 ) uv (
v u uv v
u uv
8 v u
2
2 2
Vậy: x 2 6 x 2 x 2
Bài 3.2: Giải phương trình: 3 x 22 3 x 3 1 (An Ninh-01)
Giải : Đặt: Phương trình đã cho trở thành:
v 3 x
u 22 x
3
3
30 x
5 x 2 u
; 3 v
3 u
; 2 v 6
uv
1
v
u
Bài 3.3: Giải phương trình4 56 x 4 x 41 5
Trang 6Đặt: ( uv 0 )
v 41
x
u x
56
4
4
40 x
25 x
2 v
; 3 u
3 v
; 2 u 97
v u
5 v u
4 4
Bài tập làm thêm: Giải các pt:
4
2 6 x x 2 2(1 (6 x x)( 2);
3
3
3
3 3
x
24 cos 2 cos 2 2;
2 x 2 x
3 3
17. x x(1 x) (1 x) 1 x x x (1 x);
4 Phương pháp Nhân liên hợp Dạng : Giải phương trình: A f x B g x C.h x Với A2f x B2g x D.h x
Phương pháp giải : Nhân hai vế với biểu thức: A f x B g x
Ta được phương trình D.h x C h x A f x B g x
Nhóm nhân tử chung và giải hai phương trình:
D x g B x f A C
x
bài tập áp dụng:
Bài 4.1: Giải các phương trình sau:
(ĐH Quân Sự -)
1 ( 5
3 2
3 1
4
.
x
x 2 3(2 x2)2x x6 (2)
2001)
Giải 1: Điều kiện: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp:
3
2
Phương trình đã cho trở thành:
2 )
( 342
2 0
684 344
7
26 3
2
3
2 7
26 2 3 1 4 2
3
2 5
2 3 1 4
3
2 2
3 1 4 5
3 3
2
x L x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x x
x
x x
Giải 2: 2 3(2 x2)2x x6 (2)
Điều kiện: x2 ; Phương trình đã cho tương đương với: 3 x2 x6 2x6
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 3 x2 x6
Trang 7Làm tương tự như phần 1) ta được tập nghiệm:
2
5 3 11
; 3
T
Bài 4.2: Giải các bất phương trình sau 1x 1x x (ĐH Ngoại thương HCM-2001) Giải: Điều kiện: 1 x 1
Nhân hai vế với biểu thức liên hợp 1 x 1 x thì bất phương trình đã cho tương đương với:
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
1 1
2
1 0
1 1
2
0 1 0
) 1 1
2 (
1 1 1
1
2
1
1
1 0 1 0 0
0 1
x x x x
Bài làm thêm: (Nhân liên hợp)
3
5
x
5 Phương pháp Phân chia miền xác định Dạng : Giải phương trình: A f x g x B f x h x f x
Phương pháp giải : Xét ba trường hợp :
Trường hợp 1: f x 0 tm
Trường hợp 2: f x 0 Khi đó phải có
0
0
x h
x g
Phương trình đã cho trở thành A g x B h x f x (Phương trình cơ bản)
Trường hợp 3: f x 0 Khi đó phải có
0
0
x h
x g
Phương trình đã cho trở thành A g x B h x f x (Phương trình cơ bản)
bài tập áp dụng:
Bài 5.1: Giải phương trình sau
(ĐH Bách khoa Hà Nội -2001)
) 1 ( 2 2 1 6
8
2
.
1 x2 x x2 x
Giải: Điều kiện :
1
1 0
2 2
0 1
0 6 8 2
2 2
x
x x
x
x x
Nhận thấy x = -1 là một nghiệm của phương trình đã cho
Với x1: Phương trình tương đương với:
1 1
6 4
2
2
1
1 2 1 )
3 ( 2
1 )
1 ( 2 ) 1 )(
1 ( ) 3 )(
1
(
2
1
x x
x
x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
Trang 8Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = -1
Bài 5.2: Giải các bất phương trình sau
(ĐH Kế toán Hà Nội -2001) 1
1 3 2 3 4
1 x2 x x2 x x
(ĐH Y HCM -2001) 4
5 2
3 4 2
3
2 x2 x x2 x x2 x
Giải 1: Điều kiện:
2 1 3
1 0
) 1 2 )(
1 (
0 ) 3 )(
1 (
x x
x x
x
x x
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của bất phương trình
Với x 3 Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được
1 1
2 3
3
x x
x x
Hệ này vô nghiệm vì x3 x1
Với Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được
2
1
x
2
1 3
) 1 )(
3 ( 2 2 1
1 2
1
3
2
1
x x
x
x x x
x
x
Kết luận: Tập nghiệm
2
1
; 1
Giải2: Điều kiện:
4
1
x x
Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của bất phương trình
Với x 4 Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được bpt x 2 x 3 2 x 4
BPT thoả mãn với x 4 vì: x 2 x 3 x 4
Với x 1 Ta tách căn của bất phương trình đã cho và được bpt 2 x 3 x 2 4 x
BPT vô nghiệm vì 2 x 3 x 4 x
Kết luận: Tập nghiệm 1 ; 4
Bài tập làm thêm:
Bài 3: (PP phân chia MXĐ)
2
2
2
3 ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1);
4 ( 1) ( 2) 2
2
2
6 Phương pháp Khai căn Dạng : Giải phương trình: f x A2 f x A2 B.g x
Phương pháp giải :
Khai căn và lấy đấu giá trị tuyệt đối ta được phương trình f x A g x A B.g x
Phá dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phân chia miền xác định ta được một tuyển hai hệ
Trang 9Giải hai hệ này ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình đã cho.
x
g
B
A
A
x
f
x g
B
x
f
A
x
f
.
2
.
2
bài tập áp dụng:
Bài 6.1: Giải phương trình sau 1 x4 x4 x4 x4 x2 9x2
2
5 2
1 2 2
1
2
x x x
x
Giải 1: (1) x4 2 x4 2 x2 9x24
Nếu x8 pt trở thành:
4 2
4 2
5 4 1
4 5 4
4 2
4 20 9
4 2
24 9
4
x
x x
x x
x
x x x
x x x
Vì x 8 Nên 3 vậy phương trình này vô nghiệm
4 2
4 2
5
x
x x
Nếu 4 x8 pt trở thành: 4 x2 9 x 24 x 4 x 5
Vậy pt đã cho có nghiệm là x = 4 và x = 5
Giải 2:
2
5 1
1 1
Giải tương tự ta được nghiệm là x = -1 và x = 3
Bài 6.2: Giải phương trình sau x2 x1 x2 x1 2
Giải:
Phương trình đã cho tương đương với: x 1 1 x 1 1 2
Tập nghiệm:
2 2
1 1 1
1
2
1
2 1 1 1
1
2
x x
x
x x
x
2;
7 Phương pháp Đạo hàm
Dạng : Bài toán tìm m để phương trình f(x)=m có nghiệm,
Bài toán chứng minh phương trình f(x)=A có nghiệm duy nhất,
Bài toán biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=m theo tham số m.
Phương pháp giải :
* Tìm tập xác định D của hàm số y=f(x)
* Tính đạo hàm f’(x) ,lập bảng biến thiên
* Dựa vào bảng biến thiên để biện luận số nghiệm của phương trình
bài tập áp dụng:
Bài 7.1:Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x x12 m( 5x 4x)
Giải: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp: 5 x 4 x ta được:
m x x
x
x
(
Xét VT f (x) TXĐ D 0;4
; 12 )
( x x x x
12 2
1 2
3 )
x
x x
g
g (x ) đồng biến và luôn dương trên D
Trang 10;
x x
x
4 5
2
4 5
)
x x
x x
x h
đồng biến và luôn dương trên D
x
h
Suy ra hàm số f ( x ) g ( x ) h ( x ) cũng sẽ là hàm số đồng biến trên D
Từ đó f(0)VT f(4) 12 5 4VT 4
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì: 12 5 4m4
8 Phương pháp đánh giá hai vế Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh VT VPVTVPvà tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra
bài tập áp dụng:
Bài 8.1: Giải các phương trình sau: 1 x2 2 x 5 x 1 2
(ĐHQG Hà Nội-2001)
1 1 4
1
4
.
Giải 1: Điều kiện: 1
0 1
0 5 2
2
x x
x x
Ta có: x22x5x12 44 x VT x2 2 x 5 x 1 2 VP
Dấu bằng xảy ra khi x = 1 Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
Giải 2: Điều kiện:
2 1
2 1 4
1
x x
x
Vậy VT 4x1 4x2 11VP Dấu bằng xảy ra khi
2
1 0
1 4
1 1 4
x x
x
Vậy pt đã cho có nghiệm: x 12
Bài 8.2: Giải các phương trình sau: x x2 x x x x3 x
Giải: Điều kiện:x 0 Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của phương trình
x x x x
x x x
3 2
3 2
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x>0
Kết luận: nghiệm x = 0
Bài 8.3: Giải các phương trình sau: 3 x13 x23 x3 0
Giải: Nhận thấy x = -2 là một nghiệm Với x > -2 thì x + 1 > -1 0
1 3
0 2
1 1
3 3
3
x x x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x > -2
1 3
0 2
1 1
3 3
3
x x x
Dấu bằng không xảy ra nên pt vô nghiệm với x < -2
Kết luận : nghiệm x = 0
Bài tập làm thêm : Căn bậc ba.