Một số sai lầm thường gặp của học sinh trong suy luận tương tự khi giải bất phương trình (SGK đại số 10, chương trình cơ bản)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT LANG CHÁNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRONG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ KHI GIẢI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH Sác

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT LANG CHÁNH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH TRONG SUY LUẬN TƯƠNG TỰ KHI GIẢI TOÁN BẤT PHƯƠNG TRÌNH

(Sách giáo khoa Đại số 10, Chương trình cơ bản)

Người thực hiện: Vũ Đức Tuấn

Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán học

THANH HOÁ NĂM 2018

M C L CỤC LỤC ỤC LỤC

1.2 Các hình thức của phép suy luận tương tự 3

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với công tác giảng

I MỞ ĐẦU:

1 Lí do chọn đề tài:

G.Polya đã từng nói: “ Con người phải biết học từ những sai lầm và những

thiếu sót của mình” [1]

Trong thực tế giảng dạy trong trường phổ thông, tôi thấy rằng nhiều học sinh khi gặp một tình huống mới thì học sinh có xu hướng so sánh đối chiếu với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề Đó là học sinh

đã sử dụng suy luận tương tự vào giải toán Tuy nhiên đã có nhiều học sinh đã mắc sai lầm trong giải toán khi sử dụng phép suy luận tương tự này Xuất phát

từ nhu cầu thực tiễn với mong muốn hạn chế những sai lầm, giúp học sinh phát triển năng lực giải toán bằng việc chỉ ra và phân tích một số sai lầm trong phép

suy luận lý thú này Vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến: “Một số sai lầm

thường gặp của học sinh trong suy luận tương tự khi giải bất phương trình”.

2 Mục đích nghiên cứu:

Thông qua việc chỉ ra và phân tích một số sai lầm của học sinh trong suy luận tương tự, để hình thành và phát triển tư duy, khả năng suy đoán nhằm phát triển năng lực giải toán cho học sinh

3 Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài nghiên cứu và chỉ ra một số sai lầm thường gặp của học sinh trong suy luận tương tự giải bất phương trình, phân tích nguyên nhân và cách khắc phục

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp khảo sát điều tra

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Kết hợp giữa kinh nghiệm và yêu cầu thực tế trong việc dạy học ôn tập cho học sinh

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:

1.1 Phép suy luận tương tự:

Phép suy luận tương tự là một phép suy luận căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau

khác của hai đối tượng đó [2]

1.2 Các hình thức của phép suy luận tương tự:

a) Tương tự là một kiểu giống nhau nào đó Hai đối tượng gọi là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nếu vai trò của chúng như nhau trong

vấn đề nào đó.[1]

Ví dụ: Đường thẳng trong hình học phẳng tương tự với mặt phẳng trong hình học không gian chúng đều là những đối tượng cơ bản, đơn giản nhất

b) Những đối tượng của cùng một khái niệm, của cùng một vấn đề cũng

được coi là tương tự.[1]

Ví dụ: Hình tam giác, hình tứ giác, ngũ giác…coi là tương tự ( do đều được tạo thành bởi đường gấp khúc khép kín)

c) Những đối tượng được nghiên cứu bằng các phương pháp giống nhau

cũng được coi là tương tự [6]

Ví dụ: Phương trình và bất phương trình; phương trình đường thẳng và phương trình mặt phẳng; phương trình đường tròn và phương trình mặt cầu…

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

- Trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy khi thực hành giải toán học sinh thường sử dụng phép suy luận tương tự mà không nắm được bản chất Cụ thể: Thiết lập sự tương tự giữa các đối tượng không chính xác hay suy luận tương tự dẫn đến kết luận sai lầm do nghiên cứu chưa sâu về các thuộc tính của các đối tượng, hay chưa phân tích kỹ về các mối quan hệ của các đối tượng

3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Đưa ra một số ví dụ cụ thể về các bài toán giải bất phương trình mà học sinh thường mắc sai lầm trong suy luận tương tự Những ví dụ đưa ra đó có kèm theo phân tích nguyên nhân sai lầm, để qua đó có thể rút ra kinh nghiệm, khắc sâu kiến thức, hạn chế sai lầm khi giải toán

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: 1 1

1

x  (1) [4]

- Sai lầm thường gặp: (1) 1 0 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T   ( ;1) (1; 2] 

- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải trên đã làm xuất hiện nghiệm ngoại lai

Do học sinh đã làm giống như đối với phương trình là đã nhân chéo , bỏ mẫu Học sinh đã không để ý đối với bất phương trình có một số điểm khác Sai lầm ở đây là học sinh chưa xét dấu của biểu thức x – 1 trước khi nhân 2 vế của bất phương trình với biểu thức đó

- Lời giải đúng:

1

x

    

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T (1; 2]

- Lưu ý học sinh: Đối với bất phương trình khi nhân 2 vế với 1 số âm hoặc

với 1 biểu thức luôn nhận giá trị âm thì bất phương trình sẽ đổi chiều

* Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải bất phương trình: 2 23 1 1

1

x

 



Bài 2: Giải bất phương trình: 2 2 3 1

4

x x x

 





Bài 3: Giải bất phương trình: 3 1

2 x  [5]

Bài 4: Giải bất phương trình: 2 1 1

12 2

x

x x





 

Bài 5: Giải bất phương trình: 0

6 5x 2 x

2 3x 2 2x











Bài 6: Giải bất phương trình: 2

10 7x 2 x

27 16x -2 2x







Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau 1 1

3 4 6

x  x (2) [6]

- Sai lầm thường gặp:

3

3 0

3

2

x x





 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T  [3; )

- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x = 0 vẫn là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải này đã làm mất nghiệm của bất phương trình

Do học sinh đã làm giống như đối với phương trình là đã nhân chéo , bỏ mẫu Học sinh đã không để ý đối với bất phương trình có một số điểm khác Sai lầm ở đây là học sinh chưa xét dấu của các biểu thức ở mẫu số trước khi nhân cả hai vế với các biểu thức đó

- Lời giải đúng:

3

2

x







 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( 3; ) [3;3 )

2

T    

- Lưu ý học sinh: Khi gặp bất phương trình dạng trên, học sinh không

được nhân chéo để bỏ mẫu mà phải chuyển vế, đổi dấu và quy đồng mẫu số

* Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải bất phương trình: 2 5

1 2 1

x  x [4]

Bài 2: Giải bất phương trình: 2

x  x x

Bài 3: Giải bất phương trình:

10 7 2 x

1 4

5x 2 x

1









Bài 4: Giải bất phương trình:

3 -x

1 7 -6x 2 x

5 -2x





Bài 5: Giải bất phương trình:

x

1 x 6 5x 2 x

2









 5x 6 [6]

Ví dụ 3: Giải bất phương trình x2  4x x 3(3) [3]

3

4 ( 3)

2

x

x





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ( ;9 )

2

T  

- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x = 0 vẫn là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải trên đã làm mất nghiệm của bất phương trình

Do học sinh đã làm giống như đối với phương trình đó là sau khi đặt điều kiện thì bình phương hai vế Tuy nhiên đối với bất phương trình dạng này học sinh đã không xét trường hợp dấu của biểu thức ở vế phải là âm

- Lời giải đúng:

2

3

0

2

2

x

x

x

x

  

 







 

 





 

 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ;0] ( ;9 )

2

T     

- Lưu ý học sinh: Khi gặp bất phương trình dạng trên, học sinh cần xét hai

trường hợp đó là trường hợp biểu thức chứa x ở vế phải là âm và trường hợp biểu thức chứa x ở vế phải là dương

* Bài tập đề nghị:[6]

Bài 1: Giải bất phương trình 2

2x  6x   1 x 2

Bài 2: Giải bất phương trình 2

5 62 13

x  x  x

Bài 3: Giải bất phương trình 2(x 2)(x 5)x 3

Bài 4: Giải bất phương trình x2  8x 2(x1)

Bài 5: Giải bất phương trình x2 4x12 2x3

Bài 6: Giải bất phương trình x2 x12 x 1

Bài 7: Giải bất phương trình x2 2x 1 x

Ví dụ 4: Giải bất phương trình 2x 1 2  x 3 (4) [6]

- Sai lầm thường gặp:

2

2 1 0

2 1 (2 3)

1

5

1

2

x

x x

  







  



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [1; ]5

2

T 

- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x=1 không phải là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải trên

đã làm xuất hiện nghiệm ngoại lai

Do học sinh đã không để ý đến điều kiện là cả hai vế đều phải là không âm

- Lời giải đúng:

2

2 1 0

(4) 2 3 0

1 2

5 1

2

x

x

x

  















 





Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: [ ; ]3 5

2 2

T 

- Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng f x( ) g x( )

Ta có

2

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

f x

f x g x g x

f x g x









* Bài tập đề nghị:[6]

Bài 1: Giải bất phương trình x2  x 6  x 1

Bài 2: Giải bất phương trình x2  16 2  x 7

Bài 3: Giải bất phương trình 3 ( 2 1 ) 2 1





x

Bài 4: Giải bất phương trình (x4)(6 x) 2(x1)

Bài 5: Giải bất phương trình x2 4x 12 x 4

Bài 6: Giải bất phương trình x26x82x3

Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 2 2

( 2 3 1) 0

x  x  x  (5)[6]

- Sai lầm thường gặp:

2

2 2

2

x

 





- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x=0 cũng là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải trên đã làm mất nghiệm của bất phương trình

Do học sinh có lẽ đã áp dụng máy móc kiến thức của phương trình đó là khi tích bằng 0 thì các thừa số bằng 0 nên đối với bất phương trình trên cũng cứ nghĩ là tích không âm thì cho hai thừa số không âm

- Lời giải đúng:

2 2 2

0

0

1 1

2

x

x x

x x















Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  0 1;1

2

T    

 

- Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng 2

( ) ( ) 0

f x g x 

Ta có 2

( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

f x

g x







   



 



* Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải bất phương trình (x2  1) ( 2 x2  7x 12) 0 

Bài 2: Giải bất phương trình x x 2 ( 2 3) 0  [6]

Ví dụ 6: Giải bất phương trình (x2  3 ) 2x x2  3x 2 0  (6)[6]

- Sai lầm thường gặp:

2 2

3

3 0

2 1

2

x

x

  

 









 

  

 



 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( ; 1] [1; )

2

T      

- Nguyên nhân sai lầm:

Ta thấy x=2 cũng là nghiệm của bất phương trình Vậy cách giải trên đã làm mất nghiệm của bất phương trình

Do học sinh có lẽ đã áp dụng máy móc kiến thức của phương trình đó là khi tích bằng 0 thì cho các thừa số bằng 0 nên đối với bất phương trình trên cũng

cứ nghĩ là tích không âm thì cho hai thừa số không âm

- Lời giải đúng:

2 2 2

3 0

3 2

3 0

1 1

2 2

2 1 2

x x

x x

x

x x

  

 









 





             















 



 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( ; 1]  2 [3; )

2

T       

- Lưu ý học sinh: Nếu giải bất phương trình dạng f x g x ( ) ( ) 0

Ta có

( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

g x

f x







   



 



* Bài tập đề nghị:

Bài 1: Giải bất phương trình 2

(x 2) x  5x 6 0 

Bài 2: Giải bất phương trình 2

(3x  2 ) 18x x  5 0

Bài 3: Giải bất phương trình (2 7x3x2) 3 5x 2x2 0

Bài 4: Giải bất phương trình (x1) x(x2)0[6]

4 Tác động của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

Sau khi áp dụng đề tài này vào giảng dạy, bước đầu đã thu được một số kết quả khả quan Học sinh có sự tiến bộ hơn trong tư duy, thể hiện qua chất lượng

kì thi khảo sát Đa số học sinh các em đã bắt đầu nhìn nhận được bản chất của vấn đề tránh được sai lầm trong suy luận tương tự nói riêng và một số sai lầm khác khi giải toán nói chung Thông qua đó, chất lượng giảng dạy bộ môn nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung của Nhà trường dần được nâng lên

Đề tài đã được thảo luận, đánh giá ở tổ chuyên môn cho thấy được việc giải quyết nội dung còn hạn chế của đề tài, là nguồn cảm hứng cho đồng nghiệp trong việc nghiên cứu khoa học Có tác động không nhỏ tới phong trào nghiên cứu khoa học của nhà trường

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:

1 Kết luận:

Qua đề tài này, tôi muốn giúp các em học sinh biết cách sử dụng có hiệu quả phép suy luận tương tự vào giải toán Giáo viên cần cho học sinh thấy sự

tương tự giữa các vấn đề, cho các em thấy được việc sử dụng suy luận tương tự đòi hỏi học sinh phải hoạt động dựa trên kiến thức cũ để khám phá ra kiến thức mới Tuy nhiên việc sử dụng suy luận tương tự nếu không xem xét kỹ vấn đề thì cũng dễ mắc các sai lầm khi giải toán Việc chỉ ra và phân tích nguyên nhân các sai lầm trong suy luận tương tự có thể giúp các em khắc sâu được kiến thức, phát triển được tư duy, rèn luyện được tính cẩn thận, chính xác, một phần giúp các em có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải phương trình, bất phương trình nói riêng

2 Kiến nghị:

Nhà trường nên trang bị thêm các sách viết về các sai lầm của học sinh khi giải toán để học sinh được tìm tòi về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm đó trong khi thực hành giải bài tập

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ trong giảng dạy mà tôi đúc kết được và đồng thời có sử dụng một số tài liệu của các đồng nghiệp, do thời gian có hạn nên chắc chắn còn nhiều hạn chế và thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của Quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm này có ích trong việc truyền thụ tri thức cho học sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Giáo viên thực hiện đề tài

Vũ Đức Tuấn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Suy luận nghe có lý - G Polya, NXB giáo dục

[2] Phương pháp dạy học môn Toán - Hoàng Chúng, NXB giáo dục

[3] Sai lầm phổ biến khi giải toán - Lê Thống Nhất - Nguyễn Vĩnh Cận – Phan Thanh Quang, NXB giáo dục

[4] Đại số 10 - Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên), NXB giáo dục

[5] Bài tập Đại số 10 - Vũ Tuấn ( Chủ biên ), NXB giáo dục

[6] Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet