Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí Phương pháp khảo sát hàm số Néi dung c¸c bµi to¸n tiÕp tuyÕn, giíi thiÖu néi dung 3 bµi to¸n tiÕp tuyÕn Bài toán sự tương giao giữa các đồ thị của hàm số, điều k[r]
Trang 1Chuyên đề số 1: Khảo sát hàm số và ứng dụng Bài 1: Khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ
Một số kiến thức cần nhớ
Nội dung các bài toán tiếp tuyến, giới thiệu nội dung 3 bài toán tiếp tuyến
Bài toán sự giao giữa các đồ thị của hàm số, điều kiện để 2 +2 cong tiếp xúc
đi qua các điểm cực trị
Xây dựng điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng hay một đoạn
Các ví dụ
Bài 1: Cho hàm số
) 1 ( 3
6
2
x
m x x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số với m = 0
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+)
Bài 2: Cho hàm số
) 1 ( 1
2 2
2
x
x x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số
2) Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau qua +2 thẳng x-y+4=0
Bài 3: Cho hàm số
) 1 ( 1
2 2
2
x
mx x
y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để hàm số (1) có 2 điểm cực trị A,B CMR khi đó +2 thẳng AB song song với
+2 thẳng 2x-y-10=0
Bài 4: Cho hàm số
) 1 ( 3 ) ( x m 3 x
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
2) Tìm m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x=0
3) Tìm k để hệ sau có nghiêm
1 ) 1 ( log 3
1 log
2 1
0 3
1
3 2
2 2
3
x x
k x x
Bài 5: Cho hàm số
) 1 ( 3
1 2 2 3
1 3 2
y
của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó song song với +2 thẳng D: y=4x+2 2) Tìm m thuộc khoảng (0;5/6) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các +2 thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4
Bài 6: Cho hàm số
) 1 ( 3 1
2
m x
m mx
x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=1 2) Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục tung Bài 7: Cho hàm số
) 1 ( 1
) 2 (
2
x
m x m x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=-1 2) Tìm m để +2 thẳng y=-x-4 cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm đối xứng nhau qua +2 thẳng y=x
Bài 8: Cho hàm số
) 1 ( 1
1
x
x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm 2) Tìm m để +2 thẳng D:y=2x+m cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến của (C ) tại A, B song song với nhau
3) Tìm tất cả các điểm M thuộc (C ) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 +2 tiệm cận là ngắn nhất
Bài 9: Cho hàm số
) 1 ( 1
1 2
x
x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số 2) Gọi I là giao điểm 2 +2 tiệm cận ủa (C ) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại
M vuông góc với 2 thẳng IM Bài 10: Cho hàm số
) 1 ( 1
2 2 2
x m x y
1) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1 2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Bài 11 Cho hàm số
Trang 2) 1 ( 1
2
x
x y
Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ +d 2 tiếp tuyến tới (C) sao cho 2 tiếp điểm
ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox
HD a -1 va a> -2 có 2 nghiệm phân biêt
Y1.y2<0 ĐS a>-2/3 và a khác 1
Bài 2: ứng dụng của khảo sát hàm số
Một số kiến thức cần nhớ
F(x)=m m thuộc [MaxF(X); minF(x)]
F(x)>m với mọi x <=> m<minF(x)
F(x)>m có ngiệm <=> m<MaxF(x)
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [-1;2]
1
1
2
x
x y
Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [1;e3]
x
x y
2
ln
Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn [-1;1] y x6 4 ( 1 x2)3
) 3 5 2 ( )
3 ).(
2 1 ( x x m x2 x
HD Đặt t= ( 1 2 x ).( 3 x ) Từ miền xác đinh của x suy ra
4
2 7
; 0
t
Biến đổi thành f(t)=t2+t>m+2
Tìm miền giá trị của VT m<-6
2 2
2
) 1 (
) 1 ( x x x x
a
HD Đặt t=x2+x dùng miền giá trị suy ra a=-1
m x
x x
x2 1 2 1
HD -1<m<1
0 12 24 36
cos 15 sin
36 3 cos 5 cos 3
2
2 4
m m
x x
x x
HD Đặt t=cosx BBT 0<=m<=2
/2; /2]
2
) cos 1 ( 2 sin 2
2 x m x
Bài 9: Tìm GTLN,GTNN của hàm y 2 sin8 x cos4 2 x
HD : 3 và 1/27 Bài 10: Tìm GTLN,GTNN của hàm y 2x 2x (4x 4 ) voi 0x x 1
HD : 3 và 1/27
Bài 3: Tính giới hạn của hàm số, tính đạo hàm bằng định nghĩa
Một số kiến thức cần nhớ
Tính liên tục của hàm số tại một điểm, liên tục bên trái liên tục bên phải
Đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm bên trái bên phải
Các ví dụ
Bài 1: Bài toán giới hạn hàm số
1) Tìm giới hạn
x
x x
I x
3
0
1 1
lim
2) Tìm giới hạn
3 2 2 1
lim
1
x
I
x
3) Tìm giới hạn
x
x x
I
1 2 1 3 lim
2
4) Tìm giới hạn
3 2 0
0
3 4 7
lim
lim
lim
9 2
x
x
x
I
x
I
sinx
I
x
Trang 35) Tìm giới hạn
4
2
3 3
2
2
2
lim
2
1
lim
lim
x
x
x
x
x x
I
I
6) Tìm giới hạn
2
2
lim 3 2 tach lam 2 chen them x
x
x
x
x
x
7) Tìm giới hạn
2 0
2
0
3 0
0
3
2 1 lim
1 cos 2 lim
.sin sin lim
1 cos cos 2 cos 3 lim
1 cos sin
3 lim
1 2 s
x
x
x
x
x
cosx I
tg x x I
I
x
I
x x
I
co x
6
5 6 lim
x x I
x
9) Tìm giới hạn
3 2 2 0
3
2 1
1 1 lim
lim
1
x
x
x I
x
I
x
Bài 2: Bài toán tính đạo hàm bằng định nghĩa
1) Xét tính liên tục của f(x) tại x=2
khi x 2
1 khi 2
x
x
2) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
1 cos 4
khi x<0 sin 2
( )
x+a khi 0 x+1
x
f x
x
3) Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
Trang 4khi x=0 ( ) cos cos 2
khi 0 x
a
x
4) Cho Tìm a,b để hàm số cá đạo hàm tại x=2
2 4
1( 2) ( )
( 2)
x
f x
ax b x
5) Cho
2
( 1) khi x>0 ( )
-x -ax+1 khi 0
x
f x
x
Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
6) Cho
2
( ) khi x<0 ( )
ax +bx+1 khi 0
bx
x a e
f x
x
Tìm a để hàm số cá đạo hàm tại x=0
7) xét tính liên tục của f(x) tại x=2
8) Cho hàm số
2
( )
3 1
f x
x
hàm tại x=-3
9) Cho
cos cos3
1 khi x 0 ( )
0 khi 0
e
x
Tình đạo hàm của hàm số tại x=0
Bài tập áp dụng
1) Cho hàm số
) 1 ( 1
2
x
m x mx y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m =-1
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ
2) Cho hàm số
) 1 ( 2
2
2
x
m x x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1
b) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [-1;0]
0 1 2 3
).
2 (
91 12 12
a
t
3) Cho hàm số y x4 mx2 m 1 ( 1 ) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt
4) Cho hàm số
) 1 ( ) 1 ( 2
3 3
2
x
x x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số b) Xác định m để +2 thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại 2 điểm A,B sao cho AB=1
2 2
4
2 2
1 1
1 2
) 2 1
1 (
x x
x
x x
m
) 1 ( 0 1 2
2
x
7) Cho hàm số
) 1 ( 1
1 )
1 (
2
x
m x m x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi m=1 b) CMR với m bất kỳ đồ thị ( Cm ) luôn luôn có điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm
đó bằng 20
8) Cho hàm số
) 1 ( )
( 2
4 )
1 2
2
m x
m m x m x
y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số b) Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số
1
2 2
2
x
x x y
a Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số
b Tìm toạ độ 2 điểm A,B nằm trên (C ) và đối xứng nhau qua +2 thẳng x-y-4=0 10) Cho hàm số
) 1 ( 2
3 2
x x y
Trang 5Tìm trên +2 thẳng y= - 2 các điểm từ đó nhìn +2 cong $ một góc vuông
ĐS M(55/27;-2)
1
1
2
x
x x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số khi
b) Một +2 thẳng thayđổi song song với +2 thẳng y=1/2.x và cắt đồ thị hàm số đã
cho tại M,N Tìm quỹ tích trung điểm I của MN
0 1 )
1 (
x
12) Cho hàm sốy x4 4 x2 m ( 1 )
Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía $ đối với trục
hoành bằng nhau
HD: ĐK cắt 0<m<4 vẽ minh hoạ gọi x1, x2, x3, x4, là nghiệm
Strên= Sduói<=>
3
0
x
f x dx f x dx
Vận dụng tính chất đối xứng , định ly viét m=20/9
2
9 2
2
x
x x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số
b) Xác định m để (d) y=m(x-5) + 10 cắt đồ thị (C ) tại 2 điểm phân biệt nhận A(5,10) là
trung điểm
14) Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên đoạn y x 4 x2
2 2
4 3
2
x
x x y
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số
b) Tìm trên đồ thị 2 điểm đối xứng nhau qua +2 thẳng y=x
16) Cho hàm số
2
(1) 1
y x
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số
b) CMR tích các khoảng cách từ M thuộc (C ) dến 2 tiệm cận của (C ) không phụ thuộc
vào vị trí của M
17) Cho hàm số
2
(1) 1
y
x
a) Khảo sát sự biến thiên của đồ thị của hàm số m=1 b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách giữa điểm CĐ,CT nhỏ hơn 2 5
Chuyên đề số 2: Đại số Bài 1: Hệ phương trình phương trình đại số
Một số dạng hệ phương trình thường gặp
Các ví dụ
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
8
) 1 )(
1 (
2 2
y x y x
m y
x xy
a) Giải hệ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm
1 1
2
a
1
Tìm m để hệ có nghiệm
2 2
2
6 a y
x
a y x
a) Giải hệ khi a=2 b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ
y m x
x m y
2 2
) 1 (
) 1 (
Trang 6Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)
2 2
2 2
x y
y x
7)
m y
x x
y y
x
y x
1 1
1 1
3 1 1
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
(KB 2003)
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x
x
y y
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:
35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
) 2 ( 1
) 1 ( 3 3
6 6
3 3
y x
y y x x
HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
f t t3 3 t
x
a x y
y
a y x
2 2
2 2
2 2
HD:
2 2 3
2 x x a
y x
xét f ( x ) 2 x3 x2 lập BBT suy ra KQ Bài 6:
2 2
2 2
x y
y x
Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
) 1 (
) 1 (
2 2
x a y xy
y a x xy
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:
) 2 ( 5
) 1 ( 20 10
2 2
y xy
x xy
HD : Rut ra y
y y
y
x 5 2 5
Cô si 5 y 2 5
y x
x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y
2
) 1 (
3
y x y x
y x y x
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Trang 7Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm
a y
x
a y
x
3
2 1
HD: từ (1) đặt u x 1 , v y 2 "=> hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì E=F trình bậc hai =F ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)
49 5
56 2
6
2 2
2 2
y xy x
y xy x
) ( 3
2 2
2 2
y x y
x
y y x x
3)
0 9 5
18 ) 3 )(
2 (
2
2
y x x
y x x x
4)
2
) ( 7
2 2
3 3
y x y x
y x y
x
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
5) Tìm m để hệ có nghiệm
m xy
x
y xy
26
12
2
2
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
6 4
9 ) 2 )(
2 (
2
y x x
y x x
x
4
) 1 ( 2
2 2 2 2
y x y x
y x y x
9) Đặt x=1/z thay vào +d hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
1 2
1 1
3
x y
y
y x x
HD: x=y V xy=-1
CM x4 x 2 0 vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
11) xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và
a x y
a y x
2 2
) 1 (
) 1 (
đủ
3
3 2 2
xy y x
x
y y
x
13) HD nhân 2 vế của (1) với
78
1 7
xy y xy x
xy x
y y
x
xy
Bài 2: Phương trình và bất phương trình phương trình đại số
Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp
Định ly về dấu của tam thức bậc hai
B A B B
A
B A
B A B A
B A B A
Trang 8Liệt kê các dạng
Một số ví dụ
Bài 1: Tìm m để ( x 1 )( x 3 )( x2 4 x 6 ) m
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2
Bài 2:
Tìm a để hệ sau có nghiệm
2 )
1 ( 2
2
a y
x x
y
y
x
HD:
) 2 ( 1 )
2 ( ) 1 (
) 1 ( 2
2
x
y x
TH1: a+1≤0 Hệ vô nghiệm
TH2: a+1>0 Ve đồ thị (2) là "=U tròn còn (1) là miền gạch chéo : a≥-1/2
1) 8 x2 6 x 1 4 x 1 0
2) x 4 1 x 1 2 x : x=0
3) 2 ( x2 2 x ) x2 2 x 3 9 0 x 1 5
4) x x2 1 x x2 1 2 tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
5) ( x2 3 x ) x2 3 x 2 0 KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm
ĐS m>=4
0 1
2
0 9 10
2 2
m x
x
x x
2 2
1
2 x x x
HD
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích chú y ĐK
7 2
1 2 2
3
x
x x x
HD Đặt , 2 AD BĐT cô si suy ra ĐK
2
1
x x t
4 )
1 1
2
x
HD
Xét 2 =U hợp chú y DK x>=-1
Trong =U hợp x>=4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
m x x x
x 9 2 9
HD
Bình E=F 2 vế chú y ĐK
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t
Sử dụng BBT suy ra KQ
3
7 3 3
) 16 (
2 2
x
x x
x x
Bài tập áp dụng
1) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất Tìmnghiệm duy nhất đ
0
1 2
2 2
a y x
x y x
ĐS a=-1 và a=3 2)
m x
x 2 16 4 4
3) x 4 x 4 2 x 12 2 x2 16
4) x 12 x 3 2 x 1
5) 2 ( 1 x ) x2 2 x 1 x2 2 x 1
Trang 9HD đặt t x2 2 x 1 coi là E=F trình bậc hai ẩn t
6) ( x 1 ) x ( 2 x ) x 2 x2
7)
2
3 1
) 2 ( 1
x
m x
x x
x 4 4 4
1
2
x
x x
10) x2 3 x 4 2 x 3 2 0
11) Tìm a để với mọi x
ĐS a>=4 V a<=0
3 2
)
2
(
)
( x x 2 x a
f
Chuyên đề số 3: Lượng giác Bài 1: Phương trình và hệ phương trình lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
Các công thức biến đổi \d giác
a.sin2x+ b.sinx.cosx+c.cos2x+d=0
a.sin3x+b.sin2x.cosx+
c.sinx.cos2x+d.cos3x=0
a.sin3x+b.sin2x.cosx+
c.sinx.cos2x+d.cos3x+m=0
2nx,cos2nx
Các ví dụ
Bài 1:
x
x tgx
gx
2 sin
4 cos 2 cot
HD: đặt ĐK x= ± pi/3 +k.pi
Bài 2:
) 1 (sin 2
1 3
2 cos
3
HD: Sử dụng công thức hạ bậc
x
3 cos ).
2 cos(
2
ĐS 3 họ nghiệm
Bài 3:
2 sin
2 sin 2 sin
sin
2 2 2
2
x
x x
x
HD: Nhóm , nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm
Bài 4:
8 1 3
6
3 cos cos 3 sin
x tg x
tg
x x x
x
HD: Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS x=-pi/6+k.pi
Bài 5:
0 cos 6 ) sin 2 (
3 tgx tgx x x
HD: Biến đổi theo sin và cos
0 ) cos 2 1 ( sin ) cos 2 1 ( cos
3 2 x x 2 x x
ĐS x=± pi/3+k.pi
Bài 6:
) sin(
6 sin 2 2
) sin(
2 sin 6 2 3
x y x
y tg
x y x
y tg
HD: nhân (1) với (2) rút gọn tg2 y 4 sin2 y đặt
2
tg t
Trang 10t=0, t= ± can 3
Bài 7:
x x
x x x
2
1 sin 4 cos 2 sin 3
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn
Bài 8:
2
1 5
cos 4 cos 3 cos 2
cos
cos x x x x x
HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú y xet =U hợp bằng 0
NX: Trong bài toán chứa tổng
thực hiện rút gọn bằng cách trên
nx x
x
T
nx x
x
T
sin
2 sin
sin
cos
2 cos
cos
Bài 9:
) cos sin 2 (cos 3 sin 2 sin
HD: BĐ sau đó đặt t=tg(x/2)
Bài 10
4 2 log
4
2
9 cos
x
) (sin log
2 log
2 log
sin
sin
x
x
x x
Bài 2: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phương trình có tham số
Một số kiến thức cần nhớ
Các ví dụ
Bài 1: Tìm GTLN,GTNN
x x
x x
y
2 4
2 4
cos 2 sin 3
sin 4 cos 3
HD: t=cos2x, tìm Max,Min trên 1 đoạn
M=8/5 m=4/3
tgx x
m
x cos 1 2
HD: t=tgx, t thuộc [0; căn 3]
Lập BBT f(t) ĐS m ( 1 3 ) 1 3 ; 1
Bài 3: : Tìm GTLN,GTNN
x x
y 2 sin8 cos4 2
HD: t=cos2x, -1≤t≤1 tìm Max,Min trên 1 đoạn f, t 0 8 t3 ( t 1 )3
M=3 m=1/27
Bài 4: : Tìm GTLN,GTNN
1 cos sin sin
y
0 2
sin 2 4 cos ) cos (sin
2 4 x 4 x x x m
HD: [-10/3;-2]
3 cos 2 sin
1 cos sin
2
x x
x x
a
HD: )= về dạng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
ĐS [-1/2,2]
Bài 7: Tìm nghiệm trong khoảng (0, pi)
4
3 cos
2 1 2 cos 3 2 sin
x x
x
Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
+ Cung liên kết + Công thức cần nhớ
2
2
2 Sin A B Cos A B SinB