19 chuyên đề toán luyện thi đại học môn toán

Tìm tập xác định của hàm số log0,5log3 1.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Giải các phương trình sau 1... Tìm a0 và b để các điểm cực đại, cực tiểu của C m tạo thành tam giác đều.. Tìm m để C m

MÔN TOÁN THEO CHUYÊN ĐỀ

Chủ đề 1

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Giải các phương trình, bất phương trình sau

x x

Trang 4

30 [ĐHQG – 1996] 8sin2x8cos2x10cos 2

y

Chủ đề 3

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Giải các phương trình, bất phương trình mũ sau

1 log (22 x  4) log (22 x12)3

x

2 [Khối D – 2008]

2 1 2

13 [Khối B – 2004] log3xlog 3.x

14 [ĐHYDHN – 1997] log2x64log 162 3

33 Tìm tập xác định của hàm số log0,5log3 1.

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Giải các phương trình sau

1 3 cos2x2 sin cosx x 3 sin2x 1 0

2 cos 7 cos 5x x 3 sin 2x 1 sin 7 sin 5 x x

3 4(sin4xcos4x) 3 sin 4x2

4 [ĐHTH – 1994] 2 sin 4xsinx 3 cos x

5 [Khối D – 2004] sinxsin 2x 3(cosxcos 2 )x

6 [Khối A – 2009] (1 2 sin ) cos 3

9 [NN1 – 1999] sin2x(tanx 1) 3sin (cosx xsin )x 3

10 [Khối B – 2008] sin3x 3 cos3xsin cosx 2x 3 sin2xcos x

Trang 6

14 [ĐHQG – 1999] sinxcosx sinxcosx 2

15 1 sin3 cos2 3cos 2

sin 3xcos 4xsin 5xcos 6 x

19 sin 1, 52 sin2 2, 5 sin 5, 52 sin2 6, 5

20 [ĐH Dược – 1999] sin 42 xcos 62 xsin(10,5 10 )x

21 cos 3 sin 7 2 sin2 5 2 cos29

25 cos 8x3cos 4x3cos 2x8 cos cos 3x 3 x0, 5

26 8 2 cos6x2 2 sin3xsin 3x6 2 cos4x 1 0

27 [ĐHNT – 2000] sin8 cos8 2(sin10 cos10 ) 5cos 2

31 [ĐHCĐ – 1999] 1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

32 [Khối A – 2007] (1sin2x) cosx (1 cos2x) sinx 1 sin 2 x

33 [ĐHYHN – 1996] (cosxsin ) sin cosx x xcos cos 2 x x

2 sin xsinx2 cos xcosxcos 2x

35 [ĐHNT – 1999] sinxsin 2xsin 3xcosxcos 2xcos 3 x

36 [HVNH – 1999] cos3xcos2x2sinx 2 0

37 [ĐHYHN – 1995] (2 sinx1)(2 cos 2x2 sinx  1) 3 4 cos2x

38 [ĐHQG – 2001] 2 sin 2xcos 2x7 sinx2 cosx4

39 cos4xcos 2x2 sin6x0

40 Tìm nghiệm trên [0,14] của cos 3x4 cos 2x3cosx 4 0

41 [ĐH Luật – 1999] 4(sin 3xcos 2 )x 5(sinx1)

42 [HVQY – 1997] (sin 3) sin4 (sin 3) sin2 1 0

48 [HVKTQS – 1998] cos 2x 3 sin 2xcosx 3 sinx 4 0.

49 [Khối D – 2005] cos4 sin4 cos sin 3 3 0

51 [Khối D – 2009] 3 cos 5x2 sin 3 cos 2x xsinx0

52 [Khối B – 2009] sinxcos sin 2x x 3 cos 3x2(cos 4xsin3x )

60 sin sin 2 sin 3 3

cos cos 2 cos 3

62 [ĐHQG – 2000] cotxtanx2 tan 2x4 tan 4x 8 0

63 cot 2x2 tan 4xtan 2x 4 3

64 [ĐHYHP – 2001] 3 tanx2 cot 2xtan 2 x

65 [ĐHGT – 1997] 3(cotxcos )x 5(tanxsin )x 2

66 sin cos 2 tan 2 cos 2 0

23

y





x y x

xy y

60 [ĐHBK – 1991] Cho đường thẳng ( ) : 3d x2y 1 0 và đường tròn

( ) : (C x1) (y2) 2

a) Tìm M x y( , )( )d sao cho x2y đạt giá trị nhỏ nhất 2

b) Tìm N x y( , )( )C sao cho x y đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

1 [Khối B – 2006] Tìm m để phương trình x2mx 2 2x1 có hai

nghiệm phân biệt

2 [Khối B – 2007] Tìm m để phương trình 4x413x   m x 1 0 có

đúng một nghiệm

3 [Dự bị Khối B – 2007] Tìm m để phương trình 4 x2 1 xm có nghiệm thực

4 Lập bảng biến thiên cho hàm số

7 [Khối B – 2004] Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

1  1 2 2 1  1  1

8 [Khối A – 2007] Tìm m để 3 x 1 m x 1 24 x21 có nghiệm thực

9 [Khối D – 2007] Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

Trang 17

b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm

(4x)(6x)x 2xm

a) Giải bất phương trình khi m 12

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với [ 4;6]

13

25 [Khối A – 2002] Cho phương trình 2 2

log x log  1 2m 1 0 a) Giải phương trình khi m2

b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc [1;3 ] 3

26 [Khối B – 2003] Cho phương trình  2

2

Trang 18

Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng (0;1)

27 [ĐHQG – 1997] Cho 0 a 1 Giải bất phương trình sau

a) Giải phương trình khi m2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trên 5; 4

30 [Khối D – 2002] Cho 2(sin4xcos4x)cos 4x2 sin 2x m 0 Tìm

m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;

31 Cho phương trình cos3xsin3xm

a) Giải phương trình khi m1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm trên ;

sin xcos xmsin 2x

33 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2 2

6 5lim

1 cos 4lim

cos 2 sin 2 1lim

x

18

2005

tanlim

x

20

6

cos 3 sinlim

23 [ĐHQG – 2000]

2 3 0

cos 1lim

x đồng biến với mọi x3.

3 Cho hàm số yx3mx2 Tìm m để y nghịch biến trên ( 1;1) và

đồng biến trên các khoảng còn lại

7 Cho y2x39mx212m x2 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

Trang 22

a Tìm m để (C m) có hai điểm chung với Ox

b Chứng minh rằng với mọi ,m đường cong (C m) có ba điểm cực trị tạo

thành tam giác vuông cân

(C m) :yx 2a x b Tìm a0 và b để các điểm cực đại,

cực tiểu của (C m) tạo thành tam giác đều

14 Cho (C m) :yx42mx23m1 Tìm m để (C m) có điểm cực đại,

cực tiểu và các điểm cực trị của nó tạo thành một tam giác có diện tích là 1

15 Cho

2( 1) 1( ) :

x Viết phương trình tiếp tuyến ( )d

của ( )C biết rằng nó cắt Ox tại A, cắt Oy tại B sao cho tam giác OAB cân

tại O

x Lập phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp

tuyến này cắt Ox, Oy lần lượt tại A B, sao cho OA4OB

27 [ĐHMB – 1972] Tìm m để đường cong (C m) :yx3 1 m x( 1) tiếp

x Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của

( )C đều không đi qua giao điểm của hai tiệm cận

x Gọi N là giao điểm của hai tiệm

cận Tìm M( )C để tiếp tuyến tại M vuông góc với MN

x Viết phương trình tiếp tuyến ( )d

của ( )C sao cho ( )d tạo với hai tiệm cận một tam giác cân

x Cho M x y0( ,0 0) thuộc ( )C mà tiếp

tuyến tại M cắt các tiệm cận của 0 ( )C tại các điểm A B,

a Chứng minh rằng M0là trung điểm của AB

b Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi và tìm tọa độ M để bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 0IAB nhỏ nhất

a Tìm M( )C để tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất

b Tìm M( )C để tổng bình phương các khoảng cách từ M đến hai tiệm

x Tìm hai điểm A B, thuộc hai

nhánh khác nhau của ( )C để AB có độ dài nhỏ nhất

( )C ở hai điểm phân biệt A B, mà OA OB, vuông góc

43 [Khối D – 2006] Cho ( ) :C yx33x2 Gọi ( )d là đường thẳng đi

qua điểm A(3, 20) và có hệ số góc là m Tìm m để ( )d cắt ( )C ở ba điểm

phân biệt

44 Cho ( ) :d y x 1 và (C m) :yx3m x(  1) 1 Tìm m để ( )d và

(C m) có đúng hai điểm chung

45 Cho (C m) :yx42m x2 21 Chứng minh rằng ( ) :d y x 1 luôn cắt

(C m) tại đúng hai điểm phân biệt với mọi m

b Chứng minh rằng trung điểm của AB thuộc một đường thẳng cố định

song song với Oy

48 [Khối D – 2008] Cho ( ) :C yx33x24 Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua I(1; 2) với hệ số góc là k mà

a Tìm m để trung điểm M của AB cách điểm I(1;3) là 10

b Tìm quỹ tích trung điểm M của AB khi m thay đổi

Trang 25

52 [ĐH Huế - 1998] Cho (C m) :y  x4 2mx22m1

a Chứng minh rằng (C m) có hai điểm cố định

b Tìm m để các tiếp tuyến của ( C m) tại hai điểm cố định vuông góc

53 [CĐSPHN – 2000] Cho (C m) :yx3mx2mx2m3

a Chứng minh rằng (C m) có hai điểm cố định

b Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua hai điểm cố định và tìm m để

11

2 3

6 3/2

2 2 0

4(4 )

29 [Khối A – 2010]

1 0

2 0

16 sin

.sin 3 cos

40 [Khối A – 2008]

4 6 0

tan

.cos 2

3 6

cos

.sin sin

2 3

cossin

1cos ln

Ứng dụng tích phân để tính diện tích và thể tích (chú ý rằng miền D được

hiểu là miền mặt phẳng hoặc không gian giới hạn bởi các đường tương ứng

cho trong ngoặc)

a) [ĐHQGHN – 2000] Không chia hết cho 5

b) [ĐH Huế - 2000] Chia hết cho 5

19 Từ các chữ số 0,1, 2, 3, 4,5, có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau bắt buộc có mặt chữ số 5?

20 [Khối A – 2003] Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, có thể lập được bao nhiêu

số có 5 chữ số khác nhau mà chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau?

23 [ĐH Thái Nguyên – 2000] Một đội văn nghệ có 20 người gồm 10 nam,

10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người biểu diễn và thỏa mãn:

a Có đúng 2 nam

b Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ

24 [Khối B – 2004] Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,

10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ các câu này, thầy có thể lập được

bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu khác nhau mà có đủ các loại: khó,

dễ, trung bình và số câu dễ không ít hơn 2?

25 [ĐHQG – 2000] Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông

hồng đỏ, người ta chọn ra bó 7 bông Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà:

a Có đúng 1 bông đỏ

b Có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông đỏ

26 [ĐH Huế - 1999] Một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi

vàng Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 viên bi từ hộp đó mà không có đủ 3

màu?

27 [Khối D – 2006] Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có

12 học sinh gồm 5 học sinh lớp A, 4 lớp B và 3 lớp C Cần chọn 4 học sinh

đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên

Trang 31

38 [Khối A – 2006] Tìm hệ số của 26

x trong khai triển 7

41

44 [Khối B – 2006] Cho tập hợp A có n4 phần tử Biết rằng số tập con

gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm

1, 2, 3, , 



k n sao cho số tập con gồm k phần tử của A lớn nhất

45 [Khối A – 2008] Cho khai triển

đó có không quá 1 phế phẩm

2 [ĐHNN – 1997] Một hộp đựng 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 4 bi đen chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để

a Có đúng 1 bi đỏ

b Số bi đỏ bằng số bi trắng

3 Một bình đựng 5 viên bi trắng, 7 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi

a Tính xác suất để được đủ các màu

b Tính xác suất để được 4 viên bi cùng màu

4 Một hộp đựng 4 bi vàng, 3 bi xanh, 2 bi trắng và 1 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi cùng lúc Tính xác suất để có 3 viên bi khác màu mà phải có bi vàng

5 Một nhóm ca sĩ gồm 4 nữ, 6 nam Chọn ngẫu nhiên 3 ca sĩ Gọi x là số ca

sĩ nữ trong mỗi lần chọn Tính xác suất các biến cố xảy ra là

8 Công ty Samsung phát hành 25 vé khuyến mãi trong đó có 5 vé trúng thưởng Một đại lí được cho 3 vé Tính xác suất để đại lí đó có:

Trang 32

a Một vé trúng

b Ít nhất một vé trúng

9 Một hộp đựng 10 tờ bạc 200 ngàn đồng và 5 tờ bạc 500 ngàn đồng

a Lấy ngẫu nhiên 2 tờ bạc Tính xác suất để được 700 ngàn đồng

b Lấy ngẫu nhiên 4 tờ bạc Tính xác suất để được 1 triệu 400 ngàn đồng

11 [HVQY – 1997] Tập hợp E gồm các số có 3 chữ số khác nhau được lập

từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5 Lấy ngẫu nhiên 1 phần tử từ E Tính xác suất để

được một phần tử chia hết cho 5

12 [ĐH Huế - 1998] Cho 8 quả cân 1kg, 2kg, 3kg, , 8kg Chọn ngẫu nhiên

3 quả cân

a Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

b Tính xác suất để tổng trọng lượng của 3 quả cân không vượt quá 9 kg

13 Gieo hai con xúc xắc đồng chất

a Tìm xác suất để tổng số chấm là 8

b Tìm xác suất để tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3

14 [ĐHQG – 1996] Gieo liên tiếp 3 lần một con xúc xắc Tìm xác suất để

tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 16

15 Gieo lần lượt một đồng xu và một quân xúc xắc Gọi A là biến cố đồng

xu mặt sấp và quân xúc xắc xuất hiện số chẵn, B là biến cố quân xúc xắc

xuất hiện là số nguyên tố

a Tính xác suất của A B,

b Tính xác suất của AB A, B

16 [HVTC – 1996] Một hộp đựng 5 viên bi đen và 7 viên bi trắng

a Ngẫu nhiên lấy một lúc 3 viên bi Tính xác suất để trong 3 viên bi đó có 2 viên màu trắng

b Lấy ngẫu nhiên một lần 1 viên bi Tính xác suất để viên thứ nhất màu trắng, viên thứ hai màu đen

c Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 1 viên bi Tính xác suất để viên thứ hai là màu trắng

17 [HVTC – 1997] Trong một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt Lấy ngẫu nhiên 3 bóng Gọi X là số bóng tốt lấy được

a Lập bảng phân bố xác suất của X

b Tìm xác suất để số bóng tốt không vượt quá 1

18 Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có

bảng phân bố xác suất như sau

Trang 33

c Tính xác suất để trang sách có ít nhất 2 lỗi

19 Một hộp có 3 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi

Gọi X là số bi đỏ được chọn

a Lập bảng phân bố xác suất của X

b Tính xác suất để chọn được nhiều hơn 1 bi đỏ

c Tính kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của X

20 Cho hai hộp: hộp I đựng 2 thẻ mang số 1 và 2, hộp II đựng 4 thẻ mang

các số 3, 4, 5, 6 Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ và gọi X là tổng hai số







i z

18 Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp tất cả các điểm biểu diễn số phức z

thỏa mãn điều kiện (2z i)( z là số thực )

19 [Khối B – 2010] Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp tất cả các điểm biểu

Các bài toán dưới đây đều xét trong mặt phẳng Oxy

1 Tìm tọa độ các đỉnh A B C, , của tam giác ABC biết phương trình đường

thẳng chứa cạnh AB: 5x3y 2 0 và các đường cao

3 [Khối B – 2006] Cho tam giác ABC có A(2,1), đường cao và trung tuyến

A Clần lượt có phương trình là 3x4y270,x2y 5 0 Tìm tọa

độ đỉnh C và viết phương trình đường thẳng AC

5 [ĐHCT – 1998] Cho tam giác ABC có A( 1, 3)  , đường trung trực của

AB có phương trình là d: 3x2y 4 0 và G(4, 2) là trọng tâm tam giác Tìm tọa độ các đỉnh B C,

6 [TCKT – 1996] Cho tam giác ABC có M(1, 0) là trung điểm cạnh BC ,

phương trình đường thẳng chứa cạnh AB AC, lần lượt là

Tìm tọa độ các đỉnh B C,

Trang 35

7 Cho tam giác ABC có A(1,3), phương trình đường thẳng chứa hai trung

tuyến BM CN, cùa tam giác lần lượt là

d x y và cạnh BC song song với d, đường cao BH có phương

trinh là x  y 3 0 và trung điểm cạnh AC là M(1,1) Tìm tọa độ các

của AB Tìm tọa độ của A B,

11 [Khối B – 2004] Cho I( 2, 0) và d1: 2x  y 5 0,d2:x y 3 Viết

phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d d1, 2 lần lượt ở A B, sao cho



IA IB

12 [Khối A – 2007] Cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2, 0) , phương

trình đường thẳng chứa các cạnh AB AC, lần lượt là

4x y 140, 2x5y 2 0 Tìm tọa độ của B C,

13 [Khối A – 2009] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6, 2) Điểm

(1,5)

M thuộc đường thẳng AB, trung điểm E của cạnh CD nằm trên

đường thẳng d x:   y 5 0 Viết phương trình đường thẳng AB

14 [ĐHSPHN – 1999] Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là

( 6, 3), ( 4,3), (9, 2).  

a Viết phương trình đường phân giác trong d của góc A

b Tìm điểm Pd sao cho ABPC là hình thang

15 [Khối A – 2006] Cho ba đường thẳng d d d1, 2, 3 lần lượt có phương trình

là x  y 3 0,x  y 4 0,x2y0 Tìm điểm M d3 sao cho

20 [Khối D – 2010] Cho điểm A(0, 2)và d là một đường thẳng đi qua gốc

tọa độ Gọi H là hình chiếu của A lên d Viết phương trình đường thẳng d

biết rằng khoảng cách từ H đến trục hoành bằng độ dài AH

Trang 36

21 Cho điểm I(2, 2) và đường thẳng d1: 2x  y 7 0, :d x 3 0

a Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với 2 d qua 1 d

b Viết phương trình d3 đối xứng với d1 qua I

22 Cho đường thẳng d: 3x y 150 và d2:x3y 3 0 Viết phương

trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d d 1, 2

23 [ĐHKT – 1996] Cho 2 đường thẳng d d1, 2 lần lượt có phương trình là

2x  y 1 0,x2y 7 0 Viết phương trình đường thẳng d đi qua O

sao cho d d d, 1, 2 đôi một cắt nhau tạo thành một tam giác cân có đỉnh nằm

trên d d1, 2

24 [Khối B – 2008] Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu

vuông góc của C lên AB là H( 1, 1)  , phân giác trong của A có phương

trình x  y 2 0 và đường cao BH: 4x3y 1 0

25 [Khối B – 2010] Cho tam giác ABC vuông tại A có C( 4,1) , đường

phân giác trong AD x:   y 5 0 Viết phương trình đường thẳng BC biết

27 [Khối B – 2009] Cho tam giác ABC cân tại A( 1, 4) và các đỉnh B C,

thuộc đường thẳng d x:   y 4 0 Xác định tọa độ B C, biết diện tích tam

giác S ABC18

28 [Khối A – 2010] Cho tam giác ABC cân tại A(6, 6) và đường thẳng đi qua trung điểm các cạnh AB AC, có phương trình x y 4 Tìm tọ độ các đỉnh B C, biết E(1, 3) nằm trên đường cao kẻ từ C của ABC

29 Cho A(1,1) Tìm điểm Bd y: 3 và COx để tam giác ABC là tam

giác đều

30 [Khối B – 2007] Cho điểm A(2, 2), đường thẳng d d lần lượt có 1, 2phương trình là x y 2,x y 8 Tìm các điểm Bd C1, d sao cho 2ABC vuông cân tại A

Chủ đề 15

ĐƯỜNG TRÒN

Các bài toán dưới đây đều xét trong mặt phẳng Oxy

1 [Khối B – 2005] Cho A(0, 5), (2,3).B Viết phương trình đường tròn ( )C

đi qua các điểm A B, và có bán kính R 10

2 [Khối A – 2007] Cho tam giác ABC (0, 2), ( 2, 2), (4, 2) A B   C  Gọi

H là chân đường cao kẻ từ B , gọi M N, lần lượt là trung điểm AB BC, Viết phương trình đường tròn đi qua H M N, ,

3 [ĐHQGHN – 1996] Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC có ba cạnh nằm trên các đường thẳng